圆轴的扭转.
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第七章 圆轴扭转 课件
二、圆轴扭转的强度条件
塔库马大桥
讨论塔库马大桥为什么会断裂？如 何防止断裂？
桥在大风中发生振荡扭曲
桥毁坏了
1．圆轴扭转的强度条件
τ max
M T max = ≤[τ ] Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度 （2）选择截面尺寸 （3）确定许可载荷
τ max
M Tmax = ≤[τ ] Wn
Wn ≥M T max / [τ ] M T max ≤Wn [τ ]
解题前须知：
1．在进行三类强度计算前，仍应遵循解题步骤：首先用 截面法求内力，然后应用强度条件进行相关计算。由于扭转 变形通常没有直接给出外力偶，还应增加外力偶矩的计算。 2．对等直圆轴来说，应计算最大扭矩截面的外周边各点 处。对于阶台轴，由于各段抗扭截面系数Wn不同，应将各处 应力均考虑计算。 3．注意区分空心圆与实心圆抗扭结面系数Wn不同。
4 4 4
抗扭截面系数 Wn/mm3
πD 4 D Wn = = / R 32 2 πD 3 = ≈ 0.2 D 3 16 Iρ
πD3 空 I = πD − πd = πD (1 − α 4 ) Wn = = 1−α 4 ) ( ρ R 16 32 32 32 心 4 4 ≈ 0.2 D 3 (1 − α 4 ) ≈ 0.1D (1 − α ) 轴 Iρ
解题过程
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大 扭转截面系数Wn和极惯性矩Iρ。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转使圆轴发生旋转运动， 转动角度和扭矩大小相互关联。
应力分析
圆轴扭转中承受的应力分析是确 保圆轴在运动过程中不会发生破 坏。
圆轴扭转的应用领域
机械传动
圆轴扭转被广泛应用于机械传动系统中，实现能量的传输和转换。
汽车工程
在汽车发动机和变速器中，圆轴扭转起到承载和传输动力的关键作用。
航空航天
航空航天工程中的涡轮机械系统和航空发动机都离不开圆轴扭转。
与圆轴扭转相关的力学概念
弹性模量 剪切应力 扭转角度 Nhomakorabea圆轴材料的弹性变形能力 圆轴扭转引起的应力分布 圆轴扭转的角度变化
圆轴扭转的挑战与解决办法
1
疲劳寿命
圆轴扭转时容易引起疲劳破坏，需采取优化设计和材料选择来提高寿命。
2
动力平衡
圆轴扭转会引起不平衡力，需要进行动平衡设计和校正，减少振动。
3
扭转刚度
圆轴的刚度决定了扭转角度和应力的关系，设计时需考虑刚度的优化。
圆轴扭转的实例和案例分析
风力发电机
风力发电机的转子轴承受着强大 的风力扭转力，充分利用风能。
变速器
汽车变速器中的轴承承载着引擎 输出的扭转力，实现档位切换。
工业机械
各种工业机械设备中都存在圆轴 扭转的应用，如泵、缝纫机等。
结论和启示
结论
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式，应用 广泛且具有挑战性。
启示
通过深入了解圆轴扭转的原理和应用，可以优化设 计和解决实际问题。
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转的定义和背景
1 定义
圆轴扭转是指在机械系统中，圆轴受到一对 作用力使得其进行扭转运动。
2 背景
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式， 广泛应用于各种机械设备和结构中。
应力分析
圆轴扭转中承受的应力分析是确 保圆轴在运动过程中不会发生破 坏。
圆轴扭转的应用领域
机械传动
圆轴扭转被广泛应用于机械传动系统中，实现能量的传输和转换。
汽车工程
在汽车发动机和变速器中，圆轴扭转起到承载和传输动力的关键作用。
航空航天
航空航天工程中的涡轮机械系统和航空发动机都离不开圆轴扭转。
与圆轴扭转相关的力学概念
弹性模量 剪切应力 扭转角度 Nhomakorabea圆轴材料的弹性变形能力 圆轴扭转引起的应力分布 圆轴扭转的角度变化
圆轴扭转的挑战与解决办法
1
疲劳寿命
圆轴扭转时容易引起疲劳破坏，需采取优化设计和材料选择来提高寿命。
2
动力平衡
圆轴扭转会引起不平衡力，需要进行动平衡设计和校正，减少振动。
3
扭转刚度
圆轴的刚度决定了扭转角度和应力的关系，设计时需考虑刚度的优化。
圆轴扭转的实例和案例分析
风力发电机
风力发电机的转子轴承受着强大 的风力扭转力，充分利用风能。
变速器
汽车变速器中的轴承承载着引擎 输出的扭转力，实现档位切换。
工业机械
各种工业机械设备中都存在圆轴 扭转的应用，如泵、缝纫机等。
结论和启示
结论
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式，应用 广泛且具有挑战性。
启示
通过深入了解圆轴扭转的原理和应用，可以优化设 计和解决实际问题。
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转的定义和背景
1 定义
圆轴扭转是指在机械系统中，圆轴受到一对 作用力使得其进行扭转运动。
2 背景
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式， 广泛应用于各种机械设备和结构中。
04.圆轴的扭转
当在轴的右端作用一力偶 矩m时，圆轴各相邻截面之 间也都发生了绕各自截面轴 心的相对转（错）动。假设 圆轴不长，扭转变形又不是 很大，则纵向线在变形后仍 可近似地看成是一条直线， 只是倾斜了一个角度γ。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
工程力学——圆轴的扭转
Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转
圆轴的扭转工程力学
杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
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空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0i 1nFra bibliotekT M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2
I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A
BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0i 1nFra bibliotekT M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2
I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A
BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：