三角形专项训练解析附答案

5．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（）
A．2B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连结EG并向两端延长分别交AB、CD于点M、N，连结HF，
【详解】
题干中作图方法是构造角平分线，①正确；
∵∠B=30°，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠ADC=60°，②正确
∵∠DAB=∠B=30°
∴△ADB是等腰三角形
∴点D在AB的垂直平分线上，③正确
在Rt△CDA中，设CD= ，则AD=2
在△ADB中，DB=AD=2
【答案】B
【解析】
【分析】
由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
解：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x．
∵DF=DB，
∴∠B=∠F=x，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
15．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ． 的周长为 ， 的周长为 ，则 的长为（）
C、∵ED∥AG，∴∠1=∠F，∠2=∠AEF，∵∠1=∠2，∴∠F=∠AEF，∴ ，所以本选项结论正确，不符合题意；
D、∵AG⊥BC，∴∠1+∠B=90°，即 ，所以本选项结论正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，则点E在AB的垂直平分线上，
∵ ≌ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，则点G在CD的垂直平分线上，
∵四边形 为正方形，
∴AB的垂直平分线与CD的垂直平分线重合，
∴ 即为AB或CD的垂直平分线，
则 ， ，
∵正方形 的边长为4，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，
解得xห้องสมุดไป่ตู้44°，
∴顶角是44°；
②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，
解得x=50°，
∴顶角是2×50°-20°=80°；
③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，
解得x=20°，
∴顶角是180°-20°×2=140°；
【解析】
【分析】
如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD的周长.
【详解】
如下图，连接AC、BD，交于点E
∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，且DE=EB
又∵B ，D
∴E(2，1)
∴A(2，0)
∴AD=
∴菱形ABCD的周长为：
故选：C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A的坐标，从而求得菱形周长.
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
∵正方形 的面积与 面积相等，
即 ，解得： ，
∵ 不符合题意，故舍去，
∴ ，则S正方形EFGH ，
∵ ， ， ， 全等，
∴ ，
∵正方形 的面积 ， ， ， ， 也全等，
∴ S正方形ABCD− S正方形EFGH ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得 的面积．
D．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等
【答案】C
【解析】
A.一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；
B.一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；
C.一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；
D.一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，
【详解】
根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．
A、2+2=4＜5，此选项错误；
B、1+ ＜3，此选项错误；
C、3+4＜8，此选项错误；
D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
A．2B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【详解】
解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM= CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
解：如图，AB= ．
故选：B．
【点睛】
此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（ ）
A．30B．36C．45D．72
故选C.
【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.
12．如图，在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标轴为 ,点 的坐标为 ，则菱形 的周长等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
3．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）
A．9 cmB．10 cmC．11 cmD．12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
10．如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（）
① 是 的平分线；② ；③点 在 的垂直平分线上；④
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题干作图方式，可判断AD是∠CAB的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选：A．
【点睛】
此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．等腰三角形的一个角比另一个角的 倍少 度，则等腰三角形顶角的度数是（）
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD-OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：