相似三角形综合题解析Word版

相似三角形综合题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G．（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D 作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？11．已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME（如图2）．若△MEF与△ADF相似，求EB的长．12．已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．（1）找出图中与△BEC相似的三角形，并选一对给予证明；（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；（3）请说明BD2=DH•DE的理由．13．（2010•奉贤区一模）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．14．已知：如图，正方形的边长为1，可以算出一个正方形的对角线长为．（1）求两个正方形并排成的矩形的对角线长及三个正方形并排成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排成的矩形的对角线长；（2）在图（2）中找出一对相似三角形并加以说明；（3）由图（3）在下列所给的三个结论中，选择一个正确的结论加以证明：①∠BCE+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．15．（2011•莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：①_________ ∽_________ _，②_________ ∽_________ ，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM 与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．16．（2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．CE∥DA，CE∥DA（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[]①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想．（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．17．如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长．18．阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形_________ （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？19．如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC 都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）20．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．21．定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．（1）如图1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，则直线CP就是△ABC的相似分割线．①若∠A=90°，请在图1中作出过点P的△ABC的其余的相似分割线；②如图2，在△ABC中，若直线CF是△ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出△ABC的过点P的所有相似分割线的条数．（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，H、G是⊙O上不同的两点，B是的中点，C是的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点．①求证：AG和AH都是△ABC的相似分割线；②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．22．（2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E 是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．思考验证：（1）求证：DE=DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；归纳结论：（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB 上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）探究应用：（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE 的长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G．（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；矩形的性质．专题：开放型．分析：根据判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL可知使△ABF≌△ECF，可添加BF=CF；根据矩形的性质求出矩形的边长，利用相似的性质可求得CE：DE=2：3，所以DE=12．解答：解：（1）没有．添加条件为：点F是BC的中点，即BF=CF，即可得到△ABF≌△ECF；（2）有相似三角形，如：△CEF∽△EDA，设CD=x，则BC=10﹣x，在RT△BCD中，x2+（10﹣x）2=52，解得x=4或x=6，因为BC＞DC，所以BC=6，DC=4，若，△CEF∽△DEA，相似三角形的相似比为2：3，则CE：DE=2：3，∴DE=12．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及矩形的性质，相似三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．判定两个三角形相似的一般方法有：1，两个角相等；2，三边对应成比例；3，两边对应成比例，夹角相等．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）作三角形相似，保证两角相等即可；（2）利用相似三角形的性质解答．解答：解：（1）如图所示：图（2）中仅有△ABC∽△ACD；图（3）中仅有△ABC∽△ACD，△CBD∽△DBE；（2）在图（3）中，由△ABC∽△ACD，得AD==4，CD==∴BD=AB﹣AD=5．（1分）由△CBD∽△DBE，得DE==．点评：本题利用三角形相似的结论解题，考查了同学们的转化能力，解三角形问题往往用到相似．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D 作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．考点：作图—相似变换．专题：作图题．分析：在AC上取点D，过点D作∠ADF=∠B，画出草图，找到相应的对应点，根据对应边成比例求得AD的长即可．解答：解：∵∠ADF=∠B，∠A=∠A．∴△ADF∽△ABC，∴AD：AF=AB：AC，设AD=3x，∴CD=2﹣3x，∴AF=2x，∴FB=3﹣2x，∵∠A=∠CDE=∠DEF=∠EFB，∠ADF=∠DEC=∠DFE=∠B，∴△ADF∽△DEC∽△EFD∽△FBE，由AD：AF=BF：EF，3x：2x=（3﹣2x）：3x，x=，∴AD=3x=．点评：考查相似三角形的画法及性质的应用；判定出4个相似三角形的对应点是解决本题的突破点．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．考点：相似形综合题；相似三角形的判定．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）易证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可得，又由BC=2CE，即可求得的值；（3）易证得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：，，又由BC=k•CE，即可求得的值．解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，∴△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∵BC=2CE，∴AD：BE=2：3，∴=；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，∴，，∵BC=k•CE，∴，∴，∴，∴．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，然后求出∠ADE=∠BEC，再根据两角对应相等两三角形相似求出△ADE和△BEC相似；（2）先判断出∠DEC=90°，再根据△ADE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可根据AE=BE可得AE=AB=CD，然后求出CD的长，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解；（3）分清况讨论，①∠CED=90°，再根据“点E是强相似点”判断出CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，然后根据△ADE和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，根据△BCE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，整理即可得到AE=BE．②∠CDE=90°，同理可得AE与BE的数量关系．解答：解：（1）由三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，∵∠A=∠DEC，∴∠ADE=∠BEC，又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）∵点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，∴∠DEC=90°，由△ADE∽△ECD得，=，∵AE=BE，AB=CD，∴AE=AB=CD，∴=，解得CD=6，∴AE=×6=，在Rt△ADE中，AD===，∴矩形ABCD的面积=6×=9；（3）∵点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，∠B=90°，①若∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=180°﹣90°=90°，∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE，若∠BCE与∠ECD互余，则四边形ABCD是矩形，所以，∠BEC和∠ECD只能相等，同理∠ADE与∠EDC也相等，即CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，由△ADE∽△EDC得，=，∴AE•CD=DE•EC，由△BCE∽△ECD得，=，∴BE•CD=DE•EC，∴AE=BE．②若∠EDC=90°，∵△AED与△BEC相似，∴只有∠ADE=∠BCE，∠BEC=∠AED，∴EC是∠DEB的角平分线，∴CD=CB，∴△CBE≌△CDE，∴∠BCE=∠DCE，DE=BE，∵∠ADC+∠BCD=90°，∴∠BCE+∠DCE+∠CDE+∠ADE=180°，即可得3∠ADE=90°，∴∠ADE=30°，∴AE：DE=1：2，∴AE：BE=1：2．综上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2．点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△A BC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．专题：几何图形问题．分析：（1）作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分成的四个矩形和原来的矩形相似．（2）在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F，就可以将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1．解答：解：（1）如图2，作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分得的四个矩形与原矩形相似．（2分）（2）如图3，在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB 于点F，易证：△CDE∽△DBF∽△CBA，四边形AEDF为平行四边形，设CE=x，则AE=4﹣x，∵△CDE∽△CBA，可得，∴DE=x，∴AF=DE=x，（6分）如果：△AEF∽△ABC，可得，∴CE=，∴AF=，CD=．（8分）（其他类似方法同样给分）点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例以及应用与设计作图的知识点．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）根据△ABC与△EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60°，相等，再结合平角等于180°，可以找出另外的相关的两个角的和等于120°，然后即可确定出图中所有相似的三角形；（2）只要证明另外和等于120°的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN 都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在△ABC内；（iii）当点E在线段BA 的延长线上，三种情况进行讨论；（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB 上，则△GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则△GMN是有一个角是30°的直角，分别求出两直角边，面积可求．解答：解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，（1分）∴△BEF∽△AME；（1分）解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，本题难点在于点E的位置不确定，要分情况进行讨论，综合性较强，难度较大．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形．专题：证明题；开放型．分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，（4分）而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当。