专题：相似三角形综合题型

专题：相似三角形综合题型
1.如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ，
∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.
【答案】
4
3
3- 2.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
3.（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点
P ．求证：
QC
PE
BQ DP =． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接
AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2
=DM·EN ．
【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP/BQ ＝AP/AQ ．
同理在△ACQ 中，EP/CQ ＝AP/AQ ． ∴DP/BQ ＝EP/CQ ． （2）
9
2． （3）证明：∵∠B ＋∠C =90°，∠CEF ＋∠C =90°． ∴∠B =∠CEF ，
又∵∠BGD =∠EFC ， ∴△BGD ∽△EFC ． ∴DG/CF ＝BG/EF ， ∴DG·EF ＝CF·BG
又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2
＝CF·BG
由（1）得DM/BG ＝MN/GF ＝EN/CF ∴（MN/GF ）2＝(DM/BG )·(EN/CF ) ∴MN 2
＝DM·EN 4.如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）矩形（长方形）；
4
7
BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，
COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''， 即668CP =， 9
2
CP ∴=，72
BP BC CP =-=
． 同理B CQ B C O '''△∽△ CQ B C C Q B C '∴
='''
， 即106
68CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． 722
BP BQ ∴
=． ②在OCP △和B A P ''△中，
）
（图3）
（图2）
x
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪
'∠=∠=⎨⎪''=⎩
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△ OP B P '∴=． 设B P x '=， 在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得
254x =
． 12575
6244
OPB S '∴=⨯⨯=△．
（3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =
． 点P
的坐标是19P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，2764P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH = △， PQ OP ∴=． 设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=， ① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=， 在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，
解得11x =，21x =-9PC BC BP ∴=+=+ 19P ⎛⎫
∴-
⎪⎝⎭
．
②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-． 在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =
．PC BC BP ∴=-257
844
=-
=， 2764P ⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
，．
综上可知，存在点19P ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =．
5.正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和M （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°， 90CMN AMB ∴∠+∠=°， 在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠， Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，
（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，
44AB BM x
MC CN x CN ∴=∴=-，， 244
x x CN -+∴=， ()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10．
（3）90B AMN ∠=∠= °， ∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=， 由（1）知
AM AB
MN MC
=， BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =。