相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习

类型一相似三角形中动点问题

例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似?

变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似.

例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题：

（1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由;

（２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ?

A B D C

E

N

N C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２）

(1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？

(2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围.

（3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由.

例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值；

（2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．

变式：如图,在直角梯形ＡBCD中，AB∥DC，∠D=９0o,AC⊥ＢＣ,AB=1０cｍ,ＢC=６ｃm，F点以2cm/秒的速度在线段ＡＢ上由A向B匀速运动，Ｅ点同时以1cｍ/秒的速度在线段ＢＣ上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0＜ｔ<５).

(1)求证:△ＡCD∽△ＢAC;

(２）求：DC的长；

(3）试探究:△BEF可以为等腰三角形吗?若能,求t的值；若不能，请说明理由.

例4：如图①，在△ABC中,AB=ＢC＝5,ＡC=６.

△ECD是△AＢＣ沿BC方向平移得到的,连接AE.ＡC和BＥ相交于点O.

(1）判断四边形AＢCＥ是怎样的四边形，说明理由;

（２)如图②,P是线段BＣ上一动点（不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,ＱR⊥BD,垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化,请说明理由；若不变，求出四边形PＱＥD的面积；当线段BP的长为何值时，△PＱR与△BOC相似？

变式:如图,在Rt △A ＢC 中，∠A=９０°，ＡＢ=6,AC=８，Ｄ,E 分别是边A Ｂ,A Ｃ的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作P Ｑ⊥ＢC 于Q ，过点Ｑ作Q Ｒ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时,点Ｐ停止运动.设ＢQ ＝x ，ＱR ＝ｙ． (1)求点Ｄ到BC 的距离ＤH 的长；

（2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围）;

(3）是否存在点P ，使△ＰＱＲ为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由．

类型二 结合坐标系的解析几何

例1:如图,在平面直角坐标系中，已知Ａ（０，6),B （8,0）,P 从Ａ开始在线段A Ｏ上以每秒1个单位长度的速度向Ｏ移，同时Q 从B 开始在线段B Ａ上以每秒２个单位长度的速度向Ａ移,设P,Q 移的时间为t （s ）．当t 为何值时,△ＡＰＱ与△AOB?并求出此时P 与Q 的坐标.

A B C D E R

P H Q

变式：如图，已知直线l 的函数表达式为4

8

3y x =-+，且l 与x 轴,y 轴分别交于A B ，两点,动点Q

从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,同时动点P 从A 点开始在线段

AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,设点Q P ，移动的时间为t 秒.

(1)求出点A B ，的坐标；

（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？

（3)求出（２）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．

例２：已知:如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠A ＣB ＝90°,点A 、C 的坐

标分别为Ａ(－３,0）,C(1，0)， 43

=

AC BC ，

（1)求过点A 、B 的直线的函数表达式；

(2)在X 轴上找一点D,连接ＤＢ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；

(3）在(２）的条件下，如P 、Q 分别是ＡB 和AD 上的动点,连接PQ ，设AP ＝D Ｑ＝m,问是否存在这样的ｍ使得△AP Ｑ与△ADB 相似,如存在，请求出ｍ的值;如不存在，请说明理由．

变式:如图,在平面直角坐标系中,点(30)C -，

，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上,

且满足x