正余弦定理高考真题
高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
正余弦定理典型例题及解析
正余弦定理的应用的典型例题 五大命题热点：五大命题热点：（1）求解斜三角形中的基本元素）求解斜三角形中的基本元素例1(2005年全国高考湖北卷) 在 ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．的值．（2）判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2(2005年北京春季高考题)在ABC D 中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC D 一定是（定是（ ） A ．直角三角形．直角三角形 B ．等腰三角形．等腰三角形 C ．等腰直角三角形．等腰直角三角形 D ．正三角形．正三角形（3）解决与面积有关问题）解决与面积有关问题例3(2005年全国高考上海卷) 在ABC D 中，若120A Ð= ，5AB =，7BC =，则ABC D 的面积S ＝_________（4）求值问题）求值问题例4(2005年全国高考天津卷) 在ABC D 中，C B A ÐÐÐ、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A Ð和B tan 的值．的值．（5）正余弦定理解三角形的实际应用）正余弦定理解三角形的实际应用 ①测量问题；测量问题；例5 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
，求河的宽度。
图1 A B C D ②遇险问题遇险问题例6某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？③追击问题追击问题例7 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？能尽快追上乙船？答案：答案： 例1 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 西北 南东 A B C 30° 15°图2 图3 A B C 北 45°15°解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x在 ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222×-+=， x x 6636223852´´++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=×-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故22123sin 306A =，1470sin =A 例2 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-． ∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 例3 解：分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-··，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴．∴ 21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．例4分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，°=Ð60A在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-°===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=°-°=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B 例5 分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。
正余弦函数高考题集含答案
正、余弦定理高考练习题（1）1.（15北京理科）在中，，，，则．【答案】1试题分析：2.（15北京文科）在中，，，，则．【答案】试题分析：由正弦定理，得，即，所以，所以..3.（15年广东理科）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 【答案】．4.（15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BABC △4a =5b =6c =sin 2sin AC=222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ABC ∆A B C a b c a =1sin 2B =6C =πb =1试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B ．5.(15年安徽理科) 在中，,点D 在边上，，求的长？6.（15年安徽文科）在中，，，，则。
【答案】2试题分析：由正弦定理可知：7.（15年福建理科）若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得 ABC∆,6,4A AB AC π===BC AD BD =AD ABC ∆6=AB 75=∠A 45=∠B =AC45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC ABC∆5,8AB AC ==BC 7ABC ∆1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =(0,)2A π∈3A π=，．8.（15年福建文科）若中，，，，则_______．【答案】试题分析：由题意得．由正弦定理得，则，所以．10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求;(Ⅱ) 若=1，=求和的长.11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC .2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=497BC =ABC∆AC =045A =075C =BC=0018060B A C =--=sin sin AC BCB A=sin sin AC ABC B=BC ==CB∠∠sin sin AD DC 22BDAC ∠（I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.12.(15年陕西理科) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （I ）求； （II ）若，求的面积． 【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 3π2//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为.13.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求； (II)若求的面积.【答案】(I) ；(II). 2222cos a b c bcA 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c 3c ∆133bcsinA 22ABC ∆,,A B C ,,a b c (,3)m a =(cos ,sin )n A B =A 2a b ==ABC ∆3A π=试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得， 又，从而，由于 所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以， 故面积为. 解法二：由正弦定理，得从而 //m n sin 3cos 0a B b A -=sin sin cos 0A B B A -=sin 0B≠tan A =0A π<<3A π=2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=2742c c =+-2230c c --=0c >3c =ABC∆1sin 22bc A=2sin sin3Bπ=sin B =又由知，所以 故， 所以面积为14.（15年天津理科）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】题分析：因为，所以， 又，解方程组得，由余弦定理得，所以.15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为, （I ）求a 和sin C 的值； （II ）求 的值. 【答案】（I ）a =8,；（II ）a b >A B >cos 7B =sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=ABC ∆1sin 2ab C =ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 80A π<<sin 4A ==1sin 2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=224b c bc -=⎧⎨=⎩6,4b c ==2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =12,cos ,4b c A -==-cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭sin C =正、余弦定理高考题练习（2）一、选择题（每题5分）1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59D.1【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。
正弦定理和余弦定理 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习
4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【答案】（1）（2）≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.因为a＋c＝1，cos B＝，有b2＝32＋.又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.3.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】【解析】由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．6.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是( )A．2B．3C．4D．4【答案】C【解析】由余弦定理得:a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc bc≤16，∴S＝bcsinA≤×16×sin＝4．8.在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为，约去，得的值，进而求；（2）已知三角形的面积和，不难想到，得，又根据余弦定理得，联立求即可．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，∴．（2）由余弦定理，又， 10分由解得 13分【考点】1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得所以.在三角形AOB中，由于,所以由余弦定理得,即，所以，的形状为等边三角形.【考点】几何概型概率，余弦定理10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化、概括．由题知，将展开，得，移项合并得，注意到，可求，进而求角A的大小；（2）由（1）知，结合△ABC的面积为，不难想到①，得关系；又根据，利用余弦定理得②，联立求．试题解析：（1）∵，∴可得，∴． 4分∵，可得．∴． 7分=∴，解得bc=8．① 10分（2）由（1）得．∵S△ABC由余弦定理，得， 12分即．②将①代入②，可得． 14分【考点】1、两角差的余弦公式；2、诱导公式；3、余弦定理.11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为( ) A．B．C．－1D．1＋【答案】D【解析】因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝，即cos＝＝＝，得b＝1＋.13.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为()A．3B．4C．6D．7【答案】B【解析】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数得到解.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1),则n+1对的角θ为钝角,由余弦定理得cosθ= ,所以(n-1)2+n2<(n+1)2,解得0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.故最长边的长度为4.14.已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．【答案】(1)（2）sinB=【解析】（1）f(x)的图像经过点,带入函数得到关于的三角等式,再利用常见三角函数值与的范围即可求出的值.（2）利用三角形关于C角的余弦定理与题目已知式子结合即可得出C角的余弦值,进而得到C角的正弦值(三角形内角的正弦值都为正数),再把带入函数解析式即可得到A角的余弦,利用余弦与正弦的关系得到A角的正弦值,而三角形三个角和为180度,则B角的正弦利用和差角公式即可用A,C两个角的正余弦值来表示,进而得到B角的余弦值.试题解析：（1）由题意可得，即． 2分，，，． 5分（2），， 7分． 8分由（1）知，．，， 10分又，． 12分【考点】三角函数的图象与性质，三角恒等变换余弦定理15.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理有：.所以.【考点】余弦定理.16.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－17.已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.余弦定理.18.在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】设BC＝m，AC＝n，则＝，m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mn cos 60°，先求得m＝a，n＝a，代入得4c2＝a2，e＝.19.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．20.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为()．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝＝－.21.在△中，，，，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由余弦定理，代入各值整理可得,解得,三角形面积,所以面积为或【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积公式。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析1.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A.19B．13C．12D．232. (2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.3.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．4.(2020·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小；(2)求sin A 的值；(3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．5．(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案1.答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14. 3.解 (1)∵sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ，由正弦定理可得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，∴AC 2＋AB 2－BC 2＝－AC ·AB ，∴cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)解法一：由(1)可得BC 2＝AC 2＋AB 2＋AC ·AB ＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB ＝3时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.解法二：由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝3sin 2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋23sin B ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋23sin B ＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.4.解 (1)在△ABC 中，由a ＝22，b ＝5，c ＝13及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋25－132×22×5＝22， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由C ＝π4，a ＝22，c ＝13及正弦定理，可得sin A ＝a sin C c ＝22×2213＝21313. (3)由a ＜c 知角A 为锐角，由sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2A ＝31313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝2cos 2A －1＝513，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋513×22＝17226.5.解 选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝437.由正弦定理得a sin A ＝c sin C， ∴8437＝7sin C ，∴sin C ＝32. ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝6 3. 选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝5716.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 378＝11－a 5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形正弦定理、余弦定理高考真题1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += A.153 B ．153- C ．53 D ．53- 解：由2A ＝20，可知A 这锐角，所以＋0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
故选D 。
3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r,若//p q u r r ,则角C 的大小为(A)6π(B)3π (C)2π(D) 23π【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab⇒+-=-⇒+-=u r r，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 33 1515 解：依题意，结合图形可得15tan 2A =，故221522tan15152tan 7151tan 1()2AA A ⨯===--，选D5、（06全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．24 D ．23解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则2，222cos 2a c b B ac +-==222242344a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、3π31，则(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3解：由正弦定理得＝12，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =，若△中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+， 所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.8、（06北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π.9、（06湖北卷）在∆中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，.解：由正弦定理易得结论＝。
10、（06江苏卷）在△中，已知＝12，A ＝60°，B ＝45°，则＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，sin 45sin 60AC BC=o o解得AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国）已知△的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且＝1，＝4，则边上的中线的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得2B 而π可得3B π∠=为边上的中线可知2,由余弦定理定理可得AD =本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .解：由三角形面积公式，得1sin 20sin 122BC CA C C ⋅⋅==，即3sin 5C =．于是27cos 212sin 25C C =-=从而应填725．13、（06湖南卷）如图3是直角△斜边上一点,记∠α,∠β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2,求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-Q ，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得B DCαβA图3,.sin 3sin sin sin()sin sin DC AC DC DCβααπβαβ=⇒=∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 3cos 23(12sin ),βββ∴=-=-- 即23323sin sin 30.sin sin 23ββββ--===-解得或． 30,sin ,.223ππβββ<<∴=⇒=Q14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， 已知22sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值． 解：（1）因为锐角△中，A ＋B ＋C ＝，22sin 3A =，所以＝13，则 22222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 223•V V 因为＝，又＝＝，则＝3。
将a ＝2，＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝ 解得b ＝315、（06江西卷）如图，已知△是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边、上的点，线段经过△的中心G ，设∠＝α（233ππα≤≤） （1） 试将△、△的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数 （2）求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形的中心，所以 ＝233323⨯＝，＝6π，由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得3GM 6sin 6πα＝（＋）则S 1＝12＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）（2） y ＝221211S S ＋＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋2），因为233ππα≤≤，所以当＝3π或＝23π时，y 取得最大值＝240 当＝2π时，y 取得最小值＝21616、（06全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++ 取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由π, 得 = － , 所以有 . 2 2 =1－22 + 2 =－2( － )2+ 当 = , 即时, 2取得最大值为17、（06全国）在2545,10,cos ABC B AC C ∆∠=︒==中，求 αDACM N（1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由255cos sin 55C C ==得 2310sin sin(18045)(cos sin )A C C C =--=+=o o由正弦定理知10310sin 32sin 2AC BC A B =⋅=⋅= （2）105sin 2sin 22AC AB C B =⋅=⋅=，112BD AB ==由余弦定理知2222cos 1182132132CD BD BC BD BC B =+-⋅=+-⋅⋅⋅= 18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=u r r，且1m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B 解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴()()1,3cos ,sin 1A A -⋅= 即3sin cos 1A A -=312sin cos 12A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123+=--85311+= 19、（06天津卷）如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin 8BC C A AB ==。