正余弦定理高考题练习
正余弦定理练习题（含答案）
A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。
正弦定理和余弦定理-高考数学一轮复习基础练习试题训练
4.7 正弦定理和余弦定理A 组 基础题组1.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为32,则b=( )A.1+√32B.1+√3C.2+√32D.2+√3答案 B 由条件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-2ac-√3ac,即b 2=4b 2-12-6√3,解得b 1=b 2=1+√3.2.如图,正三棱锥P-ABC 的所有棱长都为4.点D,E,F 分别在棱PA,PB,PC 上,则满足DE=EF=3,DF=2的△DEF 的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C 令PD=x,PE=y,PF=z,则{x 2+x 2-xy =9,x 2+x 2-zy =9,x 2+x 2-xz =4,当x=z 时,{x =x =2,x =1+√6,当x≠z 时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在△ABC 中,BC=2,AC=2√2,则A 的最大值是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 由余弦定理,知cos A=x 2+8-42x ×2√2=14√2(x +4x )≥√22(当且仅当c=2时,取等号),故A 的最大值为45°,故选B.4.(2017浙江台州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-√3c=2acos C,sin C=√32,则△ABC 的面积为( ) A.√32 B.√34 C.√32或√34 D.√3或√32答案 C 由正弦定理知,2sin B-√3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=√32,故A=30°.因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,由x sin x =xsin x,得c=√3,故S=12×√3×1×1=√32;当C=120°时,B=30°,此时b=a=1,故S=12×1×1×sin 120°=√34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动,设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ,当点P 不与B,C 重合时( )A.λ先变小再变大B.当M 为线段BC 中点时,λ最大C.λ先变大再变小D.λ是一个定值答案 D 设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1,r 2,则2r 1=xx sin∠xxx ,2r 2=xxsin∠xxx ,因为∠APB+∠APC=180°,所以sin∠APB=sin∠APC,所以x 1x 2=xxxx ,所以λ=x 12x 22=xx 2xx 2.故选D.6.已知a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边,其面积满足S △ABC =14a 2,则xx 的最大值为( ) A.√2-1 B.√2C.√2+1D.√2+2答案 C 根据题意,有S △ABC =14a 2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b 2+c 2-2bccos A=2bcsin A,令t=xx ,于是t 2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t 2+1,所以2√2sin (x +π4)=t+1x ,从而t+1x ≤2√2,解得t的最大值为√2+1.7.(2017浙江测试)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若a=2√3,C=π3,tan A=34,则sinA= ,b= . 答案 35;4+√3解析 由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sin xsin x a=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴b=acos C+ccos A=4+√3.8.(2017浙江名校协作体)已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 为△ABC 的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c= ,S= . 答案 6;15√74解析 由题意可知,x sin x =x sin x =x sin(π-3x )=xsin3x , 所以asin 3A=bsin A, 即4(3sin A-4sin 3A)=5sin A, 整理得7=16sin 2A, 从而cos 2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sin xsin x ·a=2cos A·a=6. ∴S=12bcsin A=12×5×6×√74=15√74. 9.(2018杭州七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c,若△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2,则sin x1-cos x = . 答案 4解析 因为△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2=a 2-b 2-c 2+2bc=12bc·sin A, 所以由余弦定理可得-2bc·cos A+2bc=12bc·sin A, 所以4-4cos A=sin A, 所以sin x1-cos x =4-4cos x1-cos x =4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知csin A=√3acos C,则C= ;若c=√31,△ABC 的面积为3√32,则a+b= .答案π3;7解析 由正弦定理可得sin Csin A=√3sin Acos C, 因为sin A≠0,所以tan C=√3,所以C=π3. 由12absin C=3√32,得ab=6.又由余弦定理得(√31)2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=√2a,√3cos B=√2cos A,c=√3+1,则△ABC 的面积为 . 答案√3+12解析 由√3cos B=√2cos A,得 √3·x 2+x 2-x 22xx =√2·x 2+x 2-x 22xx, 又b=√2a,c=√3+1,所以上式可化简为a 2=√3-√3+1c 2=2, 所以a=√2,b=2. 所以cos B=x 2+x 2-x 22xx=√22,所以sin B=√1-cos 2B =√22.故△ABC 的面积S=12acsin B=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12. 12.(2017浙江宁波期末)已知△ABC 的三边分别为a,b,c,且a 2+c 2=b 2+ac,则边b 所对的角B 为 ;此时,若b=2√3,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 答案π3;6+4√3解析 由余弦定理得cos B=x 2+x 2-x 22xx =12,∴B=π3,由正弦定理得c=x sin xsin x=4sin C. ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bccos A=8√3sin Ccos A,又C=2π3-A,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8√3(√32cos x +12sin x )cos A=12cos 2A+4√3·sin Acos A=6(1+cos 2A)+2√3sin 2A=6+4√3sin (2x +π3).∵0<A<2π3,∴π3<2A+π3<5π3,故当2A+π3=π2,即A=π12时,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值,最大值为6+4√3.13.(2017浙江金华十校调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3. (1)求角B 的大小;(2)若S △ABC =√3,asin A+csin C=5sin B,求b.解析 (1)2cos 2B-4cos B=-3⇒4cos 2B-4cos B+1=0,所以cos B=12,故B=π3.(2)S △ABC =√3=12acsin B ⇒ac=4. 由asin A+csin C=5sin B 得a 2+c 2=5b,由b 2=a 2+c 2-2accos B 得b 2-5b+4=0,解得b=1或4. 又a 2+c 2=5b≥2ac=8,所以b≥85,所以b=4.14.(2017湖州期末)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知sin Asin C=34,b 2=ac. (1)求角B 的值;(2)若b=√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由b 2=ac 得,sin 2B=sin Asin C, 因为sin Asin C=34,所以sin 2B=34,因为sin B>0, 所以sin B=√32,因为三角形ABC 为锐角三角形,所以B=π3. (2)已知b=√3,则3=a 2+c 2-2accos π3 =a 2+c 2-ac=(a+c)2-3ac, 所以a+c=2√3,所以三角形ABC 的周长为3√3.15.已知f(x)=sin x·(cos x+sin x)-1,x∈R. (1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a 2+b 2+c 2的取值范围. 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin 2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=√22sin (2x -π4)-12.令π2+2kπ≤2x -π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得3π8+kπ≤x≤kπ+7π8(k∈Z).故函数f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z).(2)由f(A)=0得sin (2x -π4)=√22.∵A∈(0,π2),∴2A -π4∈(-π4,3π4),∴2A -π4=π4,∴A=π4. 易得bc=(x sin x )2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(π-A)=√22+cos(B-C),又在锐角△ABC 中,A=π4,故B-C∈(-π4,π4),bc∈(√2,1+√22], 又cos A=x 2+x 2-x 22xx,∴b 2+c 2-a 2=√2bc, ∴a 2+b 2+c 2=√2bc+2∈(4,3+√2].B 组 提升题组1.(2018金华东阳二中高三调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A 的值是( )A.-2√2B.-√2C.2√2D.√2 答案 C 在△ABC 中,由余弦定理得ccos A+acos C=c×x 2+x 2-x 22xx +a×x 2+x 2-x 22xx=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b, 两边约去b,得3cos A=1,所以cos A=13>0,所以A 为锐角,且sin A=√1-cos 2A =2√23,因此,tan A=sin xcos x =2√2.2.若满足条件AB=√3,C=π3的三角形ABC 有两个,则边BC 的长的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2)D.(√2,2)答案 C 设BC=a,∵C=π3,AB=√3, 由正弦定理得xx sin x =xx sin x ,即√3√32=x sin x ,∴sin A=x 2. 由题意得,当A∈(π3,2π3)且A≠π2时,满足条件的△ABC 有两个,∴√32<x2<1,解得√3<a<2,即BC 的取值范围是(√3,2).3.(2017浙江镇海中学模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=c 2,C=π3,则a+b 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(1,2]C.[√3,2]D.(√3,2]答案 D 由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin C·c,即sin(A+B)=csin C,所以c=1. 又x sin x =x sin x =xsin x ,所以a+b=(sin xsin x +sin xsin x )·c=√3sin x +sin (23π-x )]=√3(32sin x +√32cos x )=2sin (x +π6).因为{0<x <π2,0<23π-x <π2,所以π6<A<π2, 所以π3<A+π6<2π3,所以a+b∈(√3,2],故选D.4.(2017浙江绍兴质量检测)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b=√6,△ABC 的面积为3+√32,则c= ,B= .答案 1+√3;π3解析 由三角形的面积公式,知3+√32=12×√6×√22×c,所以c=1+√3.由正弦定理得,sin x sin x =xx ,即sin (34π-x )sin x=x x ,所以√6·(√22cos x +√22sin x )=(1+√3)sin B, 所以√3cos B=sin B,即tan B=√3,所以B=π3.5.(2017浙江杭州二模)设a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 的对边,且S △ABC =12c 2.若ab=√2,则a 2+b 2+c 2的最大值是 . 答案 4解析 由S △ABC =12c 2,知12absin C=12c 2,所以c 2=√2sin C;由c 2=a 2+b 2-2abcos C,可知a 2+b 2=c 2+2abcos C=√2sin C+2√2cos C. 所以a 2+b 2+c 2=2√2(sin C+cos C)=4sin (x +π4)≤4,当且仅当C=π4时,取等号.故a 2+b 2+c 2的最大值为4.6.已知在△ABC 中,M,N 分别为AC,AB 的中点,|AB|∶|AC|=2∶3,当△ABC 在上述条件下变化时,若|BM|≤λ|CN|恒成立,则λ的最小值为 . 答案 78解析 设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,不妨设c=2,b=3,a=x(1<x<5).易求得|BM|2=x 22+x 22-x 24,从而|BM|=√2x 2-12.同理,|CN|=√2x 2+142,∴λ≥√2x 2-12x 2+14(1<x<5),从而λ≥78.7.已知△ABC 的面积为1,∠A 的平分线交对边BC 于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k= 时,边BC 的长度最短. 答案2√105解析 由题可设在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,S △ACD =13=12sin x2·kb 2,又1=12b·2b·sin A,两式联立,消去b 2,得cos x 2=34k.又a 2=b 2+(2b)2-2×b×2bcos A=b 2(5-4cos A)=5-4cos x sin x,所以a 2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知√x 4+16sin(A+φ)=5(tan x =4x 2),所以a 4+16≥25,即a 2≥3(当sin x =35,cos x =45时,取等号),此时cos x2=√1+cos x 2=3√1010,故k=43cosx 2=25√10.8.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由x sin x =x sin x 得sin B=xx sin A=√217, 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得c 2-2c-3=0,解得c=3(舍负).9.(2017杭州四校期中)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围. 解析 (1)由题意得2cos 2A+12=2cos A, 即4cos 2A-4cos A+1=0, ∴(2cos A -1)2=0,∴cos A=12.又∵0<A<π, ∴A=π3.(2)根据正弦定理x sin x =x sin x =xsin x ,得b=√3sin B,c=√3sin C,∴l=1+b+c=1+√3(sin B+sinC),∵A=π3,∴B+C=2π3,∴l=1+√3sin x +sin (2π3-B )]=1+2sin (x +π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴l∈(2,3].10.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3. (1)若△ABC 的面积等于√3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得 {4=x 2+x 2-ab,√3=12ab ×√32,即{4=x 2+x 2-ab,xx =4,解得a=b=2. (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A) =sin(B+A)+sin(B-A),化简得6sin Acos A=2sin Bcos A,又A 为△ABC 的内角,所以cos A≠0,所以sin B=3sin A, 即b=3a,由余弦定理可得a 2=47,故△ABC 的面积S=12absin C=3a 2×√34=3√37. 11.(2017温州中学月考)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 a=2,2cos 2x +x2+sin A=45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,求b 的取值范围; (2)当△ABC 的周长取最大值时,求b 的值. 解析 由2cos2x +x2+sin A=45,得1+cos(B+C)+sin A=45,所以sin A-cos A=-15,又0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,所以{sin x =35,cos x =45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,则有a=bsin A 或a≥b, 则b 的取值范围为(0,2]∪{103}. (2)设△ABC 的周长为l,则l=a+b+c. 由正弦定理得l=a+xsin x(sin B+sin C) =2+103[sin B+sin(A+B)]=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B) =2+2(3sin B+cos B) =2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且sin θ=√1010,cos θ=3√1010,所以l max =2+2√10,且当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到. 此时b=xsin x sin B=√10.。
正弦定理和余弦定理 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习
4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
正余弦定理练习题(含答案)[1]
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在“ABC 中，0, b, c 分別是角4 8. C 所对的边，若^ = 105% 8=45% 则c=（A. 1C. 2在茲 ABC 中，已知 a=3y[2. cosC=j, Sg=4品 则 b= ____________. 在茲ABC 中，b=4{i, C=30。
，c=2,则此三角形有 ________组解. 如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140。
的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110% 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔人的方位角是65。
・则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18. ii ：A ABC 中，0、b 、c 分別为角 A 、8. C 的对边•若 a=2晶 sin|cos|=^r sin Bsin C=cos^.求 A 、 6 及 b 、c.19. （2009年高考四川卷）^A ABC 中，久B 为锐角•角久B 、C 所对应的边分別为6 b 、c,且cos 2A= sin ⑴求 A+B 的值：（2）若 o —/?=匹一1,求 a, b, c 的值.20. 'ABC 中，0b=65/5，sin fi=sinC △ ABC 的面枳为 15 羽，求边 b 的长.在AAfiC 中，Z&=45°, ZB=60°, a=2.2. 3. 已知 0=8, S=60°, C=75°, B ・ 45/3 C. 角A 、B 、C 的对边分別为a 、 B ・ 135" 正弦定理练习题则b 等于（）D. 2& 则b 等于（）4& b. G &=60。
，0=4羽，b=4品则角 5为（ D.以上答案都不对 4. 在△ ABC 中， A. 4迈在△ ABC 中， A. 45°或 135° B ・ 135" C・ 45° 在 A ABC 中，o: b ： c=i: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（ ） A. 1:5:6 B. 6:5:1 C. 6:1:5解析J 选 A.由正弦定理知 siM : 5in8 : sinC=o : b : c=l : 5 : 6.D-不确泄5. 6. 8.9.10. 在^ ABC 中，若签?=夕，则^ ABC 是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 己知A ABC 中，AB=E AC=1, Z 8 = 30% 则A ABC 的面积为（）或或誓'ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b. c •若c=迈，b=E S=120\则o 等于（ B ・ 2 c"在4 ABC 中，角久B 、C 所对的边分別为6 b 、G 若0=1, c=Ql C 岭 则A=_ 已知 a=響,fa=4,4 = 30% 则 sin8= _____________________________________ .li:A ABC 中,11. 12. 在茲ABC 中, 在4 ABC 中, 已知ZA=30°, Z S = 120\ 6=12,贝I] o+c=o=2facosC,贝ijA^fiC 的形状为 ________ • 13.14- 在△AB C 中，人= 60°, O = 6A /3, 6=12, S“8c=18 羽，则;;活三篇行花a — 2b + cc —已知"阮中，ZA ：ZB ：Z C=l: 2:3. a-1,则 sM_2sinB+sinC15. 16. 17.2.3. 4. 5. 6- 1. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14- IS 16. 17. 余弦定理练习题在“ABC 中，如果BC=6, AB=4, cosB=p 那么AC 等于（ A. 6 B. 2& C ・ 3yf6 在A ABC 中，0=2, C=30\ 则 c 等于（ D. 2 在AAfiC 中，Q2=b2+s+羽be.则ZA 等于（ ） A. 60° B ・ 45° C ・ 120° 在4 ABC 中，厶A 、Z 8、ZC 的对边分别为6 b 、c, T 、5n 2n riv tfV 以6 以3 在A ABC 中，0、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cosB+bcosA 等于（ A. o B. b C ・c D.以上均不对D. 150" 若（a^+c^—b2）tanB=dlac,则Z B 的值为（ 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A-锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D ・由增加的长度决；4^ 已知锐角三角形A3C 中，I 為1=4, I 為1=1., A- 2 B. -2 C. 4在4 ABC 中，b=y[3, c=3, 0=30。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正余弦定理知识点总结高考考试题型
一、知识点 〔一〕正弦定理：2,sin sin sin a b c R A B C===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC〔二〕余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 由此可得：222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===. 注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；〔三〕三角形面积公式：〔1〕111sin sin sin .222ABC Sab C bc A ac B === 二、例题讲解〔一〕求边的问题1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=,1a b ==，则c =〔 〕A 、1B 、2 C1- D 、32、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,B C ∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面积为23，则b =〔 〕 A、 B 、31+ C、 D 、32+ 3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，假设C ∠=120°，c =，则〔 〕A 、a b >B 、a b <C 、a b =D 、a 与b 的大小关系不能确定4、在△ABC 中，10a =，B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于〔 〕A 、310+B 、()1310-C 、13+D 、3105、假设△ABC 的周长等于20，面积是310，=A ∠60°，则BC 边的长是〔 〕A 、5B 、6C 、7D 、86、锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值围是〔 〕A 、51<<xB 、135<<xC 、50<<xD 、513<<x7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为〔 〕A 、52B 、213 C 、16 D 、48、假设ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4（）c +-=，且C=60°，则ab 的值为 〔A 〕43 〔B 〕83- (C) 1 (D)239、在△ABC 中，A =60°，C =45°，2b =，则此三角形的最小边长为。
正余弦定理的高考真题
一．正弦定理1（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，c=3，C=3π则A=（ ） 2（06湖北）在ABC ∆中，已知a=,30,4,3340==A b sinB=( ) 3（07北京）在ABC ∆中，若tanA=31，0150=∠C ，BC=1，则AB=（ ） 4（07重庆）在ABC ∆中，AB=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC=（ ） A 3-3 B 2 C 2 D 3+35（06山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3，b=1，则c=（ ） A 1 B 2 C 3-1 D 36（05北京）在ABC ∆中，AC=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC 的长为（ ） 7若ABC ∆的周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则下列式子中成立的个数是（ ）① a ：b ：c=4：5：6 ②a ：b ：c=2：5：6 ③a=2,b=2.5c=3 ④A ：B ：C=4：5：6A 0B 1C 2D 38在ABC ∆中，A=600，13=a ，则=++++CB A c b a sin sin sin （ ） A 338 B 3392C 3326 D23 二．余弦定理1（06江苏）在ABC ∆中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=（ ）2（07重庆）在ABC ∆中，AB=1，BC=2，B=600，则AC=（ ）3（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，b=7，c=3，则B=（ ）4（05上海）在ABC ∆中，若0120=∠A ，AB=5，BC=7，则AC=（ ）5（06辽宁）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，设向量m =（a+c ，b ）,n =(b-a ，c-a)若m//n ，则角C 的大小为（ ） A 6π B 3π C 2π D 32π 6（06全国）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=( ) A 41 B 43 C 42 D 32 7(06辽宁)已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值为（ ） A 23 B 3 C 815 D 715 8（06四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则a 2=b(b+c)是A=2B 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件9（07天津）在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则−→−∙−→−BCAD =（ ）10（07天津）在ABC ∆中，0120=∠BAC ，AB=2，AC=1，D 是BC 上一点，DC=2BD ，−→−∙−→−BCAD =（ ） 11（06全国理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若A ，B ，C 成等差数列，则AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为（ ）三．正弦定理与余弦定理的综合应用1（06北京）在ABC ∆中，若sinA ：sinB ：sinC=5：7：8，则B ∠的大小是（ ） 2在ABC ∆中，sinA ：sinB ：sinC=3：2：4，则cosC 的值为（ ） A-41 B 41 C-32 D 32 3在ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则∠A=（ ）A300 B 060 C 0120 D 01504（05江苏）在ABC ∆中，A=3π，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ） A 3)3sin(34++πB B 3)6sin(34++πB C 3)3sin(6++πB D 3)6sin(6++πB5（05辽宁）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m ，则m 的范围是（ ）A （1，2）B （2，)∞+C [3，)∞+D （3，)∞+6锐角ABC ∆中，B=2A ，则ab 的取值范围是（ ） A （-2，2） B （0，2） C （2，2） D 3,2）7钝角三角形边长为a,a+1,a+2，其最大角不超过1200，则a 的取值范围是（ ） A （0，30 B[23，3） C （2，3] D[1，)25 8(07广东)已知三个顶点的直角坐标分别为A （3，4），B （0，0）C （c ，0）。