青岛大学信号与系统第八章 离散时间系统的z域分析
青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析
则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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第八章 离散时间系统的z域分析
收敛域为 z > a
(2) x(n) = ebnu(n) 当上面(1)中 当上面(1)中 a = e b 时
z Z[e u(n)] = b z e
bn
收敛域为 z > e
b
(3) x(n) = na u(n) ∞ n 1 n 已知 Z[a u(n)] = ∑(az ) =
n
n=0
1 1 (az1 )
1. x(n) 为因果序列（右边序列） 为因果序列（右边序列） X(z) 为z -1的幂级数，收敛域为 z > Rx1 的幂级数，
X(z) = ∑x(n)z
n=0 =0 ∞ n
= x(0) + x(1)z + x(2)z +L+
1 2
用降幂次序作长除法。 用降幂次序作长除法。
例 8-3 已知
z X(z) = , z >1 2 (z 1)
8 .3
z 变换的收敛域
一、收敛域定义 二、收敛域的重要性 三、级数收敛的判定条件 四、序列收敛域讨论
8.3
z 变换的收敛域
一、收敛域定义 对于任何给定的有界序列x 对于任何给定的有界序列x(n)，使 z变换定义式级数收敛之所有 z值的集 收敛域。 合，称为 z变换 X(z)的收敛域。 简写为 ROC (Region of convergence)
8.5 z变换的基本性质 一、线性 若 Z [x(n)] = X(z), (Rx1 < z < Rx2 ) Z [ y(n)] = Y(z), (Ry1 < z < Ry2 )
则 Z [ax(n) + by(n)] = aX ( z ) + bY ( z ), ( R1 < z < R2 )
第八章 离散时间信号与系统的z域分析
| z |< a
（3）余弦序列的Z变换
z ]= Z [e jω 0 z−e z − jω 0 n ]= Z [e − jω 0 z−e Z [cos ω 0 n ] = Z [( e jω 0 n + e − jω 0 n ) / 2 ]
jω 0 n
z z =( + )/2 jω 0 − jω 0 z−e z−e z ( z − cos ω 0 ) = 2 z − 2 z cos ω 0 + 1
n =−∞
g[n] = f [n]r − n 代入上式得 将
G (Ω) =
n =−∞
∑
∞
f [n]r − n e − jΩn =
n =−∞
∑
∞
f [n](re jΩ ) − n
z = re jΩ ,则上式既可看成实数 Ω 的函 令复变量 数，也可看成复数 z 的函数，用 F ( z ) 代替 G (Ω) ， ∞ 则有： −n F ( z ) = ∑ f [ n ] z = G (Ω )
复数 z = re 是沿圆心在原点，半径为 r 的圆， 按逆时针方向绕行一周，即关于 z 的积分是闭合 曲线积分。
Im
jΩ
z 平面
re jΩ
r
Ω
Re
Z变换：F ( z ) =
n =−∞
∑
∞
f [ n] z − n
1 F ( z ) z n −1dz 逆Z变换： f [n] = 2πj ∫C
Z 记为： f [n] ←⎯→ F ( z )
n =−∞
根据离散时间傅氏逆变换，信号 g[n] 可表示为
1 g[ n] = 2π
∫
2π 0
G ( Ω ) e j Ωn d Ω
离散时间系统的Z域分析
第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若 则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示 所以例8-2，求其逆变换。
方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即 其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。
，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则 所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则 所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：
1
X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n
z z a1
当
z a1
j Im{z}
anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)
[(1)n
(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为
1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n
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1
x(n)zn x(n)zn
n
n0
z Rx2
z Rx1
若 Rx2 Rx1, X (z) 收敛域：Rx1 z Rx2
若 Rx2 Rx1, X (z) 不收敛。
x (n )
0
n
j Im z
Rx2
R x1
Re z
例： x(n)anu(n)bnu( n 1 )
求 X ( z ) 并确定收敛域，其中 (ba 0)。
0,1,0,1,0,1,L37015n
1
§8.3 变z 换的收敛域
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z[anu(n1)] z , z a
z a
Z[anu(n1)] anzn a n z n (a 1z)n
n1
n 1
n 1
a 1z 1 a 1z
z za
,z a
x(n) X(z),收敛域 下面讨论各种类型序列的 z 变换的收敛域。
第八章 z变换、离散时间系统的 域z 分析
§8.1 引言
§8.2 变z 换定义、典型序列的 变z换 §8.3 变z 换的收敛域 §8.4 逆 变z 换 §8.5 变z 换的基本性质 §8.6 变z 换与拉氏变换的关系 §8.7 利用 变z 换解差分方程
§8.8 离散系统的系统函数 §8.9 序列的傅里叶变换（DTFT） §8.10 离散时间系统的频率响应特性
（1）有限长序列
序列仅在有限的区间 (n1 n具有n2非) 零的有限值
n2
X(z) x(n)zn
x (n )
nn1
（a） n10,n20时
n1
n2 n
X (z) 收敛域：0 z
例：x(n)[1,2,3,2,3] X(z)z22z323
z z2
（b） n 2 0 时 X (z) 收敛域： z
（c） n1 0 时 X (z) 收敛域： z 0
（2）右边序列
x (n )
x(n)x(n)u(nn1)
X(z) x(n)zn
n1
nn1
（a） n1 0 时 X (z) 收敛域：z R x1
（b） n1 0 时 X (z) 收敛域：Rx1 z
n
j Im z
R x1
Re z
（3）左边序列
n0
1
1 z 1
z z1
,z 1
••
••
-2 -1 0 1 2 n
u (n)
1
...
••
-2 -1 0 1 2 3 n
（3）Z[nu(n)]zddzzz1
(z
z 1)2
,z 1
z 变换的 z 域微分特性：
nu (n)
2 1
若 x(n) X(z)
•0 1 2
则 nx(n) zdX(z) dz
X(z) 2z z z1 z0.5
(1) z 1
x(n)(20.5n)u(n)
j Im z 0 0 .5 1 R e z
(2) 0.5 z 1 x(n ) 2 u ( n 1 ) 0 .5 nu (n )
(3) z 0 .5
x (n )
x(n)x(n)u(n2n)
n2
X(z) x(n)zn
n
（a） n 2 0 时 X (z) 收敛域：z R x 2
Rx2
n2 n
j Im z
（b） n 2 0 时 X (z) 收敛域：0 z Rx2
Re z j Im z
Rx2
Re z
（4）双边序列
X(z) x(n)zn n
a nu (n )
1
（4）Z [anu(n)] anzn
az 1 n
n0
n0
11az1
z z a
,z a
0 1 234
3
...
3n
5n
（5）Z[cos(0n)u(n)]12[zzej0
z zej0
]
z(zcos0) z2 2zcos0 1
ej0nu(n)zzej0 ,ej0nu(n)zezj0
x(n)zn zRezjImz z变换的收敛域 n
序列 x ( n的) 单边 变z 换:
X (z)Z[x(n )u(n )]x(0 )x(1 )z 1x(2 )z 2 L
x(n) z n n0
（二） 典型序列的 z变换
（1） Z[(n)]1
(n) 1
收敛域：整个 z 平面
（2） Z
[u(n)] zn
j Im z
解：X(z)Z[x(n)]
Z [a n u (n )] Z [ b n u ( n 1 )] z z ,a z b
za zb
ab
Re z
由于 X ( z ) 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含
任何极点。
通常，X ( z ) 的收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右
边序列之收敛域是从 X ( z ) 最外面有限极点延伸至 z（可能包 含 ）；左边序列之收敛域是从 X ( z ) 最里面非零极点延伸至 z 0 （可能包含 0 ）。
,z 1
Z[cos(0n)u(n)]z2z(z2z ccooss00
) 1
,
z
1
Z[sin(0n)u(n)]z2
z sin0 2z cos0
1
,z
1
cos( n)u(n)
cos2nu(n)
z2 z21
,
z
1
1
2
2
6
1,0,1,0,1,0,L
0
4
8n
1
sin2nu(n)
z z21
,
z
1
1
sin( n)u(n) 2
§8.4 逆 变z 换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
x(n)Z1[X(z)]
j Imz
C
Rez
Ñ 1 X(z)zn1dz
2j C
C 是位于 X ( z ) 收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合
积分路线。
逆 z变
换方法
围线积分法（留数法）：P433 例8-2 幂级数展开法： P434 例8-3、8-4 部分分式展开法：仅适用于X ( z ) 为有理分式的情况
部分分式展开法
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z[anu(n1)] z , z a
za
X(z) Am
z
m z zm
X(z) Amz m z zm
例1：讨论
X(z)z2
z2
可能的收敛域，并求对应的序列。
1.5z0.5
解： X(z)
z
2 1
z z21.5z0.5 z 1 z 0.5
§8.1 引言
z变换将差分方程转化为代数方程。 z 变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间
系统中的拉氏变换；
§8.2 变z 换定义、典型序列的 变z 换
（一） z变换的定义
序列 x ( n的) 双边 变z 换: X(z)Z[x(n)]
以x ( n )为系数的 z 的1 幂级数
L x ( 2 ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 L