[数学]p52微分方程的定性分析
微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。
在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。
本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。
稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。
在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。
局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。
稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。
线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。
通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。
解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。
在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。
其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。
利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。
柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。
除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。
比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。
总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。
通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。
而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。
这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。
微分方程的相图法与定性分析
微分方程的相图法与定性分析微分方程是数学中重要的研究对象，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
其中，相图法和定性分析是微分方程研究中常用的方法。
本文将介绍微分方程的相图法和定性分析，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相图法的基本概念相图法是一种通过绘制微分方程解的轨迹图来研究微分方程行为的方法。
在相图中，横轴表示自变量，纵轴表示因变量，每个点代表微分方程解的一个状态。
通过观察相图的形状和轨迹的走向，可以得到微分方程解的一些重要信息，如稳定性、周期性等。
二、相图法的应用举例以一阶线性微分方程为例，考虑一个简单的弹簧振子系统。
该系统的运动方程可以表示为：m * x'' + k * x = 0其中，m为质量，k为弹簧的劲度系数，x为位移。
通过对该方程进行变换，可以得到关于速度v的一阶微分方程：m * v' + k * x = 0将上述方程化为标准形式：v' = -k * x / m利用相图法，可以绘制出相图，观察振子的运动状态。
在相图中，可以观察到振子的轨迹是一个椭圆形状，且椭圆的大小和形状与初始条件有关。
如果振子处于平衡位置附近，椭圆的长轴较小，表明振子的振动幅度较小，系统稳定。
如果振子偏离平衡位置较远，椭圆的长轴较大，表明振子的振动幅度较大，系统不稳定。
三、定性分析的基本原理定性分析是通过对微分方程进行数学推导和分析，得到微分方程解的一些性质。
通过对微分方程解的性质进行分析，可以得到微分方程解的稳定性、周期性等重要信息。
定性分析的基本原理是将微分方程转化为一个更简单的形式，如线性方程、二阶方程等，从而得到微分方程解的一些特征。
通过对微分方程解的特征进行分析，可以得到微分方程解的定性行为。
四、定性分析的应用举例以一阶非线性微分方程为例，考虑一个经典的生物学模型——Logistic模型。
该模型可以描述一个种群的增长过程，其方程可以表示为：dy/dt = r * y * (1 - y/K)其中，y表示种群数量，t表示时间，r为增长率，K为环境容量。
微分方程解析
微分方程解析微分方程在数学和物理学等领域中起着重要的作用。
通过对微分方程进行解析，我们能够深入理解系统的行为和性质。
本文将介绍微分方程的解析方法及其应用。
一、常微分方程的解析常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程的解析方法包括定性分析、分离变量法、变量代换法和特殊解法等。
1. 定性分析：通过观察方程的特点，确定解的性质和行为。
例如，可以确定方程是否存在平衡解、稳定解或周期解等。
2. 分离变量法：将方程中的未知函数与导数分离，然后进行积分得到解。
这种方法适用于可以将方程两边分别写成只包含未知函数和导数的形式。
3. 变量代换法：通过引入新的变量，将原方程转化为一个新的方程，使得新方程更容易求解。
常见的变量代换方法包括线性代换、指数代换和三角代换等。
4. 特殊解法：通过观察方程的特殊形式或者利用已知特殊解，求解整个方程。
例如，可以通过插值法、对称性、线性组合等方法得到特殊解。
二、偏微分方程的解析偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
解析求解偏微分方程是一项复杂的任务，需要结合具体的问题和方程类型选择合适的方法。
1. 分离变量法：假设解可以分解成多个未知函数的乘积形式，然后将分离出的每个未知函数分别满足独立的常微分方程。
2. 特征线法：根据方程中的特殊性质，通过引入特征线将偏微分方程转化为常微分方程，然后利用常微分方程的解析方法求解。
3. 变量代换法：通过引入新的变量，将原方程转化为一个新的方程，使得新方程更容易求解。
常见的变量代换方法包括直角坐标系转换、极坐标系转换和球坐标系转换等。
4. 本征函数展开法：利用偏微分方程的特殊结构，通过将解表示为一组特殊函数的展开形式，通过求解级数展开系数的方程组得到解。
三、微分方程的应用微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：1. 力学中的运动方程：通过将物体的运动描述为微分方程，可以研究物体的轨迹和运动规律。
常微分方程的定性分析
常微分方程的定性分析常微分方程是研究自变量只涉及一个变量的微分方程，在科学和工程中具有广泛的应用。
定性分析是常微分方程中重要的一部分，它是指通过分析方程的性质和图像来揭示方程的解的行为。
在本文中，我们将讨论常微分方程的定性分析的基本方法和技巧。
一、平衡点和稳定性分析在进行定性分析之前，首先需要确定方程的平衡点。
平衡点是指微分方程中导数为零的点，即解保持恒定的点。
通过求解方程等于零的情况，我们可以找到方程的平衡点。
确定平衡点后，我们需要分析平衡点的稳定性。
稳定性是指当初始条件接近平衡点时，解是否会趋向于平衡点。
通过线性化的方法可以分析平衡点的稳定性，即在平衡点附近做泰勒展开，然后分析展开式的特征根。
二、相图和相轨线相图是用来描述微分方程解的整体行为的图形表示。
在相图中，自变量通常表示时间，因变量表示微分方程的解。
通过绘制相图，我们可以看到解的轨迹和相位变化。
相轨线是相图中的曲线，表示微分方程解在相空间中的轨迹。
通过绘制相轨线，我们可以直观地了解方程的解的行为。
相轨线可以通过数值方法或者解析方法进行求解。
三、参数分析和稳定性改变在定性分析中，我们可以通过改变微分方程中的参数来观察解的行为的变化。
通过参数的分析，我们可以看到解在不同参数取值下的定性变化。
特别是可以通过稳定性分析，观察参数的改变对平衡点的稳定性有何影响。
四、存在性和唯一性在进行定性分析之前，我们需要先讨论微分方程解的存在性和唯一性问题。
存在性指的是在给定的初始条件下是否存在解。
唯一性指的是解是否是唯一的。
通过利用积分器的理论可以证明微分方程解的存在性和唯一性。
五、应用实例下面通过几个实例来说明常微分方程定性分析的具体应用。
例1：考虑简谐振动方程m*x''+c*x'+k*x=0。
分析方程的解的稳定性和相轨线。
解：首先确定平衡点。
当加速度为零时，m*x''+c*x'+k*x=0，可得平衡点为x=0。
微分方程稳定性理论简介
.
(13)
q det A
将特征根记作1, 2，则
1,
2
1 2
( p
p2 4q ).
(14)
8
方程(9)的一般解具有形式 c1e1t c2e2t (1 2 )
或 c1e1t c2te1t (1 2 ),
c1, c2为任意常数.
(注意：课本p199是否误为 c1e1t c2te1t (1 2 )
)
9
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性有稳的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
到1913年的军事预算，表中第5行(x1 + y1)是(x1 + y1) 的年增加量，最后一行是相应的年平均值.
1909 1910 1911 1912 1913
法俄x1 德奥匈y1
115.3 83.9
119.4 85.4
127.8 87.1
145.0 93.7
166.7 122.3
x1 + y1
199.2 204.8 214.9 238.7 289.0
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
微分方程的稳定性与局部解的存在性
微分方程的稳定性与局部解的存在性微分方程是描述自然界中各种变化规律的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在研究微分方程时，人们常常关注两个重要性质，即稳定性和局部解的存在性。
本文将介绍微分方程稳定性和局部解存在性的概念、判定方法和应用。
一、微分方程的稳定性稳定性是指当初始条件发生微小变化时，系统最终状态是否保持不变。
在微分方程中，稳定性有两种类型：稳定和不稳定。
稳定性的判定方法有多种，其中一种常用的方法是利用线性化原理。
对于非线性微分方程，在某一平衡点附近进行线性化处理，通过分析线性化方程的特征根，可以判断原方程在该平衡点附近的稳定性。
例如，考虑一阶常微分方程$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$，其中$f(t,y)$是关于$t$和$y$的函数。
如果该方程的一个平衡点$(t_0,y_0)$满足以下条件：当$t > t_0$时，$f(t,y)<0$；当$t < t_0$时，$f(t,y)>0$，则该平衡点是稳定的。
二、微分方程局部解的存在性局部解的存在性是指在微分方程中，是否存在一个具有一定条件的函数，能够满足方程的要求。
对于一阶微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，可以得到一个局部解的存在性的条件。
皮卡-林德洛夫定理指出，如果微分方程的右端函数满足局部利普希茨条件，即存在常数$L>0$和$M>0$，使得对于$t_0$附近任意两个点$(t,y)$和$(t,y')$，有$|f(t,y)-f(t,y')|\leq M|y-y'|$，则在$t_0$附近存在一个函数$y=\varphi(t)$，满足微分方程和初始条件$y(t_0)=y_0$。
三、稳定性与局部解的应用稳定性和局部解的存在性在科学研究和工程应用中具有重要意义。
在物理学中，通过研究微分方程稳定性，可以分析系统的运动趋势。
例如，在力学中，通过分析质点在势能场中的受力情况，可以判断系统的平衡点是否稳定，进而确定质点在该势能场中的稳定位置。
微分方程定性与稳定性分析解析
微分方程定性与稳定性分析解析微分方程是描述自然界中变化规律的重要数学工具，在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程的定性与稳定性分析是研究微分方程解行为的一种方法，通过分析解的性质和稳定性来了解方程的整体行为。
本文将介绍微分方程定性与稳定性分析的基本概念和方法，并通过具体的例子来阐述其应用。
一、微分方程定性分析微分方程定性分析是指通过对微分方程解的性质进行分析，得到关于解的定性描述。
在定性分析中，我们主要关注解的长期行为和整体趋势，而不是具体的解析形式。
1. 平衡解与稳定性在微分方程中，平衡解是指满足方程右端为零的解。
对于一阶微分方程dy/dx = f(x)，平衡解即为使得f(x) = 0的x值。
平衡解的稳定性是指当初始条件接近平衡解时，解的行为是否趋于平衡解。
2. 等式右端的符号分析对于微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分析f(x)的符号来推断解的行为。
当f(x) > 0时，解呈现上升趋势；当f(x) < 0时，解呈现下降趋势；当f(x) = 0时，解为平衡解。
3. 相图分析相图是描述微分方程解的图形，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
在相图中，曲线表示解的轨迹，平衡解表示曲线与纵轴的交点。
通过绘制相图，我们可以直观地了解解的行为和稳定性。
二、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析是指通过分析微分方程解的稳定性来了解方程的整体行为。
稳定性分析可以分为局部稳定性和全局稳定性两个方面。
1. 局部稳定性局部稳定性是指当初始条件接近某个平衡解时，解的行为是否趋于该平衡解。
局部稳定性可以通过线性化的方法来分析，即将微分方程在平衡解附近进行泰勒展开，并分析展开式的特征根。
2. 全局稳定性全局稳定性是指当初始条件在整个定义域内变化时，解的行为是否趋于某个平衡解。
全局稳定性的分析较为复杂，通常需要借助于Lyapunov函数或者Poincaré-Bendixson定理等方法。
三、定性与稳定性分析的应用微分方程的定性与稳定性分析在各个学科领域中都有广泛的应用。
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2 bx0
0.1 (10000) 10 10
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn1 ) (n 1, 2 ,) xn xn1 f ( xn1 ) 称为牛顿迭代公式
a
解 决 方 法
求微分方程的数值解 对微分方程进行定性分析
微分方程定性分析 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在 整个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形 状, 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
研究对象：驻定系统
若微分方程组
dxi f i ( x1 , x2 ,, xn ), i 1,2,, n dt
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统). 例 单一质点非受迫直线运动满足方程
d2x
dx a1 ( x ) a2 ( x ) 0 2 dt dt
y
Y方胜
( x 0, y 0)
X方胜
0 证明 令 y =0, 由轨线方程得
2 ay0
x
b( x
2
2 x0 )
x
22 bx0Fra bibliotek2 ay0
不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形, 即X方获胜的情形.
b
0
矛盾
令x 0, 得
2 2 y (ay0 bx0 ) / a
即Y方获胜时的幸存士兵数. 3） 测算失败一方开始应投入兵力.
有如下四种情况: y y y y b a a b o a x o o a o x x x b b f0 f0 f0 f0 f 0 f 0 f 0 f 0
牛顿切线法的基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 . 记纵坐标与 f ( x) 同号的端点为
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵 才能赢得这场战斗？ 4. 战斗持续时间？ 记 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
有微分方程组：
dx ay, (a 0) dt dy bx , (b 0) dt
（ 4）
初始条件为 模型分析: 1. 分析方程组
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数 的积分表示微分方程的解.
数值解法举例：牛顿切线法
f ( x) 满足 : 1) 在 [a, b] 上连续, f (a) f (b) 0
2) 在 [a, b] 上 f ( x) 及 f ( x) 不变号 方程 f ( x) 0 在 (a, b) 内有唯一的实根 .
将战斗力参数值a=0.15, b=0.1 (人/h)代入方程(4)
dx dt 0.15 y , dy 0.1 x , dt x (0) x 0 10000, y(0) y0 5000,
因
2 ay0 0.15 (5000) 2 3.75 106
代入初始条件，有
ay0 bx0 c
双曲 线族
2
2
a( y
2
2 2 2 y0 ) b( x x0 )
2） 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵.
2 2 ,解曲线方程化为 (1) 若 ay0 bx0
ay bx
2
2
y
b x a
一场势均力敌的,导致 相互毁灭的战斗
2 2 , 从相位图观察出Y方将获胜. （2）若 ay0 bx0
令
dx v, dt
得一个二维驻定系统
dx v, dt dv a ( x )v a ( x ). 1 2 dt
一般二维驻定系统形式为 dx P ( x , y ), dt dy Q( x , y ). dt
( 2)
若其解
x(0)=x0, y(0)=y0
1）变量 x≥0，y≥0，有唯一平衡点(0, 0); 2）x(t)，y(t)都是单降函数, 且随着x, y 的减小， 衰减速度也在降低. 2. 分析相位图
1） 求相轨线方程，将两个方程相除，得
dy bx dx ay
2 2
aydy bxdx
ay bx c
定性定量分析
定性--用文字语言图像进行相关描述 定量--用数学语言进行描述
定性分析与定量分析应该是统一的，相互补充 的；定性分析是定量分析的基本前提，没有定 性的定量是一种盲目的、毫无价值的定量；; 定量分析使之定性更加科学、准确，它可以促 使定性分析得出广泛而深入的结论
随着科学技术的发展，常微分方程定性分 析在各个学科领域已成为必不可少的数学工 具，也是数学建模的必备基础理论.
y
( x0 , f ( x0 )) , 在此点作切线 , 其方程为 o x2 x1 x b0 x y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
t
(x, y, t) 解曲线 y 投影曲线 相轨线
t0
o
x
轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相 点的运动方向由原方程确定.
使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的 (x0, y0)称为方程
(2)的平衡点. 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
二. 战斗模型分析
续例 两方军队交战,希望为这场战斗建 立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
x x( t , t 0 , x0 , y0 ) y y( t , t0 , x0 , y0 )
（ 3 ）
存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0, y0, t0). 基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析.
定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.