自考离散数学教材
自考离散数学课件
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散数学自考第一章(课后习题和答案)
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，则（Ｐ↔Ｑ）的真值 为“Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。
（３）举例：
▪ 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 ▪平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 ▪２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 （两者没有关系，但是确实命题）
举例： （a）P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 （b P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
３．析取词（或运算） （１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则 （Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的“析取”，读作： “Ｐ或Ｑ”。
（a）P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 （b）P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。（善意推定）
５．双条件联结词（“等价”词、“同”联结词、 “等同”词） （１）符号“↔”设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔ Ｑ读作：“Ｐ当且仅当Ｑ”，“Ｐ等价 Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要条件”。 （２）定义（见真值表）：
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ 交换位置不会改变真值表中的值。
６．命题联结词在使用中的优先级 （１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ → ↔ （由高到低） （３）联结词按从左到右的次序进行运算
∨
¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号，因为“Ｖ”运算是可结合的。 （ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ可省去括号，因为符合上述规定 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满足结合律。
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
自考离散数学第2章
定义2.1.1 由一个谓词，一些个体变元组成的表达式简称为谓词变项或
命题函数。
谓词变项中，个体变元的数目称为谓词变项的元数。 如F(x)为一元谓词，L(x,y)为二元谓词。F(a)（a为常量）为0元谓词
2.1 谓词的概念与表示
例：以谓词表达下述命题。 某人大于18岁，身体健康，无色盲，大学毕业，则他可参加飞行员考
R(x):x是资深专家。
前提 结论
(x)(M ( x) H ( x) G(s)) (x)(M ( x) R( x)) (x)(M ( x) R( x) G( x))
域E，若对 A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称 谓词公式A和B在E上是等价的，并记作 A B
定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA，其个体域为E，对于A的所有赋值
WffA都为真，则称WffA在E上有效的（或永真的）
定义2.3.3 一个谓词公式WffA，如果在所有赋值下都为假，则称WffA
式称为复合命题函数。
定义2.2.2 谓词演算的合式公式，可由下述各条组成（合式公式A记为
WffA）：
（1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则¬A是一个合式公式。 （ 3 ）若 A 和 B 都是合式公式，则（ A ˅B ），（ A ˅B ），（ A → B ），
（A↔B）是合式公式。
等词。用符号“ x ”表示。 表示个体域里所有个体，都有性质F。 等词。用符号“ x ”表示。 表示存在个体域中的个体具有性质F。
表示对个体域里所有的 x，而 xF ( x)
2. 存在量词：对应日常语言中的“存在的”“有一个”“至少有一个”
表示存在个体域中的个体，而 xF ( x)
02324 成人自考教材 离散数学 2014版
标题：深入探讨《02324成人自考教材：离散数学2014版》序随着社会的不断发展和个人学习的需求，越来越多的人选择成人自考来提升自己的知识水平和学历。
在成人自考中，离散数学作为一门重要的课程，对于理工科和计算机科学专业的学生来说尤为重要。
本文将通过深入探讨《02324成人自考教材：离散数学2014版》，来帮助读者全面理解离散数学的基本概念和重要内容。
一、《02324成人自考教材：离散数学2014版》概述《02324成人自考教材：离散数学2014版》是一本系统介绍离散数学基本理论和方法的教材。
该教材包含了离散数学的基本概念、基本逻辑与集合论、证明方法、关系与函数、图论、布尔代数、代数系统等内容。
通过学习该教材，学生可以系统地了解离散数学的基本理论和方法，为进一步深入学习计算机科学和相关专业打下坚实的基础。
二、深入探讨1. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散对象及其关系和性质的数学学科。
在《02324成人自考教材：离散数学2014版》中，对离散数学的基本概念进行了全面而系统的介绍。
离散数学的基本概念包括集合论、关系和函数、图论等内容。
通过学习这些基本概念，学生可以建立起对离散数学的整体认识，为后续学习奠定基础。
2. 离散数学的证明方法在《02324成人自考教材：离散数学2014版》中，对离散数学的证明方法进行了详细的介绍和讲解。
证明是离散数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解离散数学的理论框架有着重要意义，同时也培养了学生的逻辑思维能力。
通过学习证明方法，可以帮助学生更好地理解和应用离散数学的知识。
3. 离散数学的应用除了基本概念和证明方法之外，离散数学在现实生活和计算机科学中也有着广泛的应用。
在《02324成人自考教材：离散数学2014版》中，也会对离散数学的应用进行介绍。
比如在计算机科学领域，离散数学的图论和布尔代数等知识在算法设计、数据结构等方面有着重要的应用价值。
学生可以通过学习这些知识，更好地将离散数学的理论知识与实际应用相结合。
自考离散数学 PPT课件
第一章 命题演算
设命题公式 A 中含有 n 个命题变元，且 A 的主析取范式中含有 k 个小项 mi1，mi2，…，mik，则 A 的主合取范式必含有 2n-k 个大项。如果命题公 式 A 的主析取范式为∑(i1,i2,…,ik)，则 A 的主合取范式为： ∏(0，1，2，…，i1-1，i1+1，…，ik-1，ik+1，…，2n-1)。 从 A 的主析取范式求其主合取范式步骤为：
本章的学习主要是在掌握命题逻辑的基础上，理解个体，谓词，量 词等概念，学会将命题进一步用谓词逻辑表示；在熟记谓词逻辑中的等 价式和蕴含式的基础上，将一个谓词演算公式化为与它等价的前束范式； 并能运用 US、UG、ES、EG 等规则，进行谓词演算的推理。
本章的重点是带量词的公式变换，即前束范式。难点是谓词演算的
具有确切真值的陈述句称作命题。 所谓真值就是命题为真或为假的性质。
判断一个语句是否为命题，首先要判断它是否是陈述句，然后判断 是否具有唯一的真假值。
在判断一个陈述句是否具有唯一的真假时，要注意：一个陈述句的 真假暂时不能唯一地确定，但总有一天可以唯一确定，与一个陈述句的 真假不能唯一确定是两件事。
第一章 命题演算
第一章 命题演算
等值公式表和蕴含公式表整理归纳如表 1.表 2
第一章 命题演算
（3） 构造论证法
常用的推理规则有：
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称 P 规则。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续 证明的前提，称为 T 规则。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都 可以用与之等值的命题公式置换。亦记为 T 规则。
推理理论。
自考离散数学第3章
3.3 笛卡尔积与关系
定义3.3.5 设R为二元关系，由<x,y> R的所有x组成集合domR，称为
R的前域。domR= {x | (y)( x, y R)} 使<x,y> R的所有y组成 的集合ranR称作R的值域，即 ranR = {y | (x)( x, y R)}
2.A-B=A-(A∩B) 3.~(AUB)=~A∩~B 4.~(A∩B)=~AU~B
3.2 集合的运算
（3）集合的补 例：设E={a,b,c,d,e,f}，A={c,d,e},B={b,e,f},求～A，～AU~B,~A∩~B,
~A∩B. 解：～A=E-A={a,b,f} ～B=E-B={a,c,d}
3.1 集合的基本概念
集合常用的表示方法： （2）叙述法：集合的元素，用谓词概括其所属特性 例：A={X|是中国的高等学校}，
2-1=0}， B={x|x是实数˄x
C={x|x为小于500的质数}，
叙述法实际可用谓词描述属性，实际上上述各例可描述为B={x|P(x)}，
如果P(b)为真，即b是B的元素，记作b
合A的幂集，记为P(A)
例: A={a,b,c}，求P(A)。
解：P(A)={
例：设G={ 解：P(G)={
，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
，a,{b}} ,求P(G) ，{ },{a},{{b}},{ ,a},{a,{b}},{ ,{b}},{ ,a,{b}}}
B，否则bB
3.1 集合的基本概念
集合常用的表示方法： （3）特定字母集：有些数集用特定字母表示 N-自然数集 Q-有理数集 C-复数集
自考2324离散数学第三章课后答案
2、判定下列各题的正确与错误。
a) {x}{x};正确b) {x}∈{x};正确晓津观点:本命题错误。
理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。
c) {x}∈{x,{x}};正确d) {x}{x,{x}};正确----------------------------------------------------------------3、设A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。
a) {2}∈A; b) {2}∈B c) {2}Ad) {2}B; e) ∈A f) A解：jhju、晓津和wwbnb 的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。
理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。
因此不能说{2}属于A，当然如果说2∈A则是正确的。
对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f式则是正确的。
空集包含于任何集合中，但空集不一定属于任一集合。
6、设某集合有101个元素，试问：a) 可构成多少个子集；2n个元素(子集吧)b) 其中有多少个子集元素为奇数；其中有2n-1 个子集元素为奇数晓津不同意见：我认为这个答案不成立,如集合有3个元素，则它的幂集中有5个子集中元素个数为奇数，而不是7个。
可是我也还没找到这个式子。
sphinx提供的答案是2100 ，可通过多项式分解找到规律，空集不算。
晓津想，应该算上，若算上则是2n-1+1c) 是否有102个元素的子集。
无3.2习题答案1、给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8} B={i|i^2<50}={0,1,2,3,4,5,6,7}C={i|i可被3整除0≤i≤30}, ={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}D={i|i=2^K,K∈Z+,1≤K≤6}={2,4,8,16,32,64}求下列各集合。
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旧版关于一些教材勘误的讨论（2003-12-3 17:19:00）--------------------------------------------------------------------------------一串重要问题的讨论。
晓津和虫虫。
|jinxbin|虫虫：我先和你探讨一下.:)（1）、在第18页，倒数第3行第2个式子应由"│PVQV"修改为“│PVQV│R”.应该是倒数第8行，呵呵，害得我找了半天，算你行！:)))（2）、P74的例2 :我认为“f 。
g”和“g。
f”中的元素整个颠倒了。
这个理解开始时我也像你一样，但是后来发现他是对的。
f。
g=f(g(x),你用x=1,2,3代入算一下，是不是符合他的结果（3）、在P75的定理中的（1）应为“f^-1。
f = Ix ”“f。
f^-1 = Iy”，你可以结合P75的例3看一下！你的意思是不是要将Ix和Iy换一下这个也一样，我开始时也这么理解，但是他是对的。
（4）、对于节的第3小题的第二个空我觉的答案应为（R是自反的）.这个答案阮同学指出是因为A≠φ（5）、对于节的第1小题、在证明S具有传递性质的时候，我决的这样证明比较合适：设＜a，b＞，＜b，d＞∈S则存在c使＜a，c＞，＜c，b＞，＜b，c＞，＜c，d＞∈R∵R是传递的有＜a，c＞、＜c，d＞∈R => ＜a，d＞∈R∴＜a，d＞∈S 即:sS = {<a,d> │存在某个c,使＜a，c＞∈R且＜c，d＞∈R }故， S具有传递性.*****我觉得你的证明没证到点子上，最后结结果就是把b换成了d,这也不用证呀，就算是正确吧，证出传递性后呢，怎么样还有自反和对称呀。
:)******(6)、对于节的第8小题，你的答案有在П1=П2 的情况下，它们能构成A的划分。
当П1-П2时，是个空集。
空集是A的划分吗******你说得对，空集肯定不是划分，俺没辙啦，你的答案是。
****（7）、对于节的第2题，A的极大元集合应为{4，5，6}同意你的观点。
:)（8）、对于节的第4题，我觉的（b）和（c）小题的断言是真的，因为它们之间是交集的关系同意。
你很酷！(9)、对于节的第4题，我觉的（c)不是函数，因为0不是自然数。
同第1题的（g)道理一样。
哈哈，这道题你出问题啦，难道这两天没看论坛，自然数中的成员又添新丁，0已经挤入自然数家族啦。
（10）、对于节的第1题，这道题目让我们求X的覆盖，是不是让我们通过相容关系来确定覆盖，如果是这样那我们可以利用书节的最后一端的“不同覆盖可以在A上构造相同的相容关系”来反向应用之“同一个相容关系对应不同覆盖”随意给出一种符合覆盖定义的集合。
如果不是这样，那我是不是就可以给出一种符合覆盖定义的集合这个问题我和jhju也讨论过，因为覆盖有很多，根据一个相容关系不可能得到唯一的覆盖，所以我只随意给了一个。
但是jhju说得根据相容关系来求，现在的问题是是不是所有的覆盖都能构成同一相相容关系如果你能给出所有的符合条件的覆盖，我想谁也不会说你错的|4|一串重要问题的讨论。
晓津和虫虫。
|jinxbin|“0已经挤入自然数家族啦”。
这你没逗我玩吧是不是官方消息我已经习惯0不是自然数十几年了那我考试可就把0按照自然数对待了。
> （4）、对于节的第3小题的第二个空我觉的答案应为（R是自反的）.> 这个答案阮同学指出是因为A≠φ对着定义你仔细体会一下我觉的我的答案更有道理。
> （1）、在第18页，倒数第3行第2个式子应由"│PVQV"修改为“│PVQV│R”. > 应该是倒数第8行，呵呵，害得我找了半天，算你行！:)))为了表示我的歉意，向你致敬并鞠躬（3个）。
> (5）、对于节的第1小题、在证明S具有传递性质的时候，我决的这样证明比较合适：> 设＜a，b＞，＜b，d＞∈S 则存在c使＜a，c＞，＜c，b＞，＜b，c＞，＜c，d＞∈R> ∵R是传递的> 有＜a，c＞、＜c，d＞∈R => ＜a，d＞∈R> ∴＜a，d＞∈S 即:S = {<a,d> │存在某个c,使＜a，c＞∈R且＜c，d ＞∈R }> 故， S具有传递性.>> *****我觉得你的证明没证到点子上，最后结结果就是把b换成了d,这也不用证呀，就算是正确吧，证出传递性后呢，> 怎么样还有自反和对称呀。
:)******自反、对称我和你们的一样。
我已经证明出了关键的并且是和条件相符S = {<a,d> │存在某个c,使＜a，c＞∈R且＜c，d＞∈R }成立。
怎么还"就算正确"呢你有什么高见> （2）、P74的例2 :我认为“f 。
g”和“g。
f”中的元素整个颠倒了。
> 这个理解开始时我也像你一样，但是后来发现他是对的。
> f。
g=f(g(x),你用x=1,2,3代入算一下，是不是符合他的结果> （3）、在P75的定理中的（1）应为“f^-1。
f = Ix ”“f。
f^-1 = Iy”，> 你可以结合P75的例3看一下！> 你的意思是不是要将Ix和Iy换一下这个也一样，我开始时也这么理解，但是他是对的。
这两道题目容我在细细体会一下！|9|我也谈几点看法|ryzzpp|1、首先我要澄清的是在第3题的第二个空，我是填因为“a∈[a]r”2、第1题“设＜a，b＞，＜b，d＞∈S则存在c使＜a，c＞，＜c，b＞，＜b，c＞，＜c，d＞∈R（这样的c一定存在吗问题就在这里）∵R是传递的有＜a，c＞、＜c，d＞∈R => ＜a，d＞∈R∴＜a，d＞∈S 即:sS = { │存在某个c,使＜a，c＞∈R且＜c，d＞∈R }故， S具有传递性.”3、至于P74页，P75页这些是没有问题的，之所以会在这个问题中混淆，不是我们的错，而是“左孝淩”我错。
他自己都没搞清楚。
大家请看：“定义设R为A到B的关系，S为从B到C的关系，则R·S称为R和S的复合关系表示为：R·S＝｛<x,z>│x∈A∧z∈C∧(存在y)(y∈B∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S}.....”“定义设.........合成关系g·f={<x,z>│(x∈X)∧(z∈Z)∧(存在y)(y∈Y)∧(y=f(x)∧z=g(y))}................”从这两个定义中大家有没有发现出问题。
我觉得两个定义中，前后关系不一致，把前一个定义改成S·R＝｛……………}就OK了。
（我因此去看了其它书，结果就是S·R，我是对的)5、0是自然数没错，哎！看来你跟不上时代了，教材都改了好几年了。
|4|一串重要问题的讨论。
晓津和虫虫。
|菜青虫|3、至于P74页，P75页这些是没有问题的，之所以会在这个问题中混淆，不是我们的错，而是“左孝淩”我错。
他自己都没搞清楚。
大家请看：“定义设R为A到B的关系，S为从B到C的关系，则R·S称为R和S的复合关系表示为：R·S＝｛│x∈A∧z∈C∧(存在y)(y∈B∧∈R∧∈S}.....”“定义设.........合成关系g·f={│(x∈X)∧(z∈Z)∧(存在y)(y∈Y)∧(y=f(x)∧z=g(y))} ................”从这两个定义中大家有没有发现出问题。
我觉得两个定义中，前后关系不一致，把前一个定义改成S·R＝｛……………}就OK了。
（我因此去看了其它书，结果就是S·R，我是对的)这又是个BUG。
晓津把他也加上吧！教材BUG大全（2003-11-23 19:46:00）--------------------------------------------------------------------------------实出无奈，由于本站内原有的勘误页面打开不了，所以本人将手头存有的勘误发上，修改时希望大家注意对比。
本教材BUG大全适用于左孝凌主编<<离散数学>>，经济出版社 2000年9月第一版另：由于本人所发页面实为以前ezikao中关于离散的勘误页面，中间“倒A”、“倒E”、空集标志以及p49页，倒数第4行，原文为“∴(B∪C)……(A×B)∪(A×C)。
”，中“……”位置的符号输入不了。
所以大家在对照勘误的时候需要特别注意。
--------------------------------------------------------------------------------为了方便新同学对本课程的学习，在学习过程中少走弯路，特对本版离散数学的教材中出现的主要BUG进行了整理汇总，希望对大家有所帮助。
p7, 倒数第8行，原文为“……但PV→Q，┓P∧R等都不是命题公式。
”错误之处：┓P∧R 应是命题公式。
p14，倒数第4行，习题2 e)原文为“ (P→R)∨(Q→R)〈＝〉(P∨Q)→R”，应更正为“(P →R)∨(Q→R)〈＝〉(P∧Q)→R”p15，第7行，习题4 d)原文为：“(P→Q)∨(Q→R) ＝〉CP→R”，错误之处：此蕴含式无法证明，CP→R不是合式公式。
p18页，定义中“三个命题变元P,Q,R构成的大项有：……”其中的第6个大项少了一个变元，应补齐为“┓P∨Q∨┓R”。
p19，第13行，例3中原文为“解：本题p∧q∨r，实际是(p∧g)∧r”，应更正为：“……实际是(p∧q)∨r”。
p20，倒数第10行，原文为：“(a)若A可化为与其等价的、含有2^n个小项的主合取范式，则A为永真式。
”应将其中的“主合取范式”更正为“主析取范式”。
p22，不计表格倒数第6行，原文为：“〈＝〉p∨┓q=m01〈＝〉m00∨m10∨m11=Σ(0,2,3)”，其中“m01”应更正为“M01”，表示大项。
p32,习题1，b)式中少一括号，可在(x)(y)之后加一"("。
p32，习题4中也少一括号，致使无法判断。
p32,习题5,d)式中“┓(x)(┓y)(x+y=0)”中“(┓y)”无意义，可更正为“(y)”。
p32,习题6，d)式中“xyx(x-y=z)”中的“x”也无意义，似应更正为“z”。
p36,习题4,a)式中“→”后多了一个括号“(”。
p40,习题4中最后一句"因而有的人爱步行"应更正为"有的人不爱步行"。
p41页起，所有的空集符号中，有的表示为Φ，有的表示为，它们是同一个符号。