高三年级理数试卷
高三理科数学试题及答案
高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。
高三数学试卷理科及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。
A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。
A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。
A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。
A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。
A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
陕西省安康市2023—2024学年高三年级第三次质量联考理科数学试题及参考答案
陕西省安康市2023—2024学年高三年级第三次质量联考理科数学试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()2341i i i i z +=++，则z =（）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22--D ．11i 22-+2．集合{M x y ==，{N y y ==，则下列选项正确的是（）A ．M N =RB ．M N N= C ．M N N= D ．M N =∅3．已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()()10121013f a f a =，则2024S =（）A ．1012B ．2024C ．3036D ．40484．若实数x ，y 满足约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．0B ．2C ．9D ．115．甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中的一天值班．则甲、乙被安排在同一天值班的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．126．在ABC △中，M 是AB 的中点，3AN NC = ，CM 与BN 相交于点P ，则AP =（）A ．3155AB AC+B ．1355AB AC+C ．1324AB AC+D ．3142AB AC+7．已知tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7210-B ．210-C ．210D ．72108．侧棱长与底面边长均为a 的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a =（）A ．12B ．8C ．6D ．49．已知直线l 与椭圆2213y x +=在第四象限交于A 、B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于C 、D 两点，若AC BD =，则l 的倾斜角是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π1210．已知()72345670123456712x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则012345672345678a a a a a a a a +++++++=（）A ．－15B ．－6C ．6D ．1511．若直线y ax b =+是曲线e xy =的一条切线，则b =（）A ．()1ln a a +B ．()1ln a a -C ．()1e aa +D ．()1e aa -12．已知直线1l ：()30mx y m m --+=∈R 与直线2l ：()50x my m m +--=∈R 相交于点P ，则P 到直线270x y ++=的距离的取值集合是（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．(二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个对称中心为()1,0的奇函数()f x =______．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S =+，则79a S +=______．15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，则OPF △外接圆的半径为______．16．已知函数()ln sin f x x ax x =++，()12,0,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()21211f x f x x x ->-，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT 走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面．百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如荼的发布上线．现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元．后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半．（1）完成如下用户类别与购买意向的2×2列联表；购买6元购买24元总计个人用户公司用户总计（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=临界值表如下：()20P K k ≥0.100.050.0250.010.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）在三边均不相等的ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若()()2222sin sin sin sin a A C b B C -=-．点D 在线段AB 上，且CD 平分角C ．（1）求C ；（2）若3a =，5b =，求CD 的长度．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP ⊥，CD DP ⊥，2PA =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值．20．（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于．（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求PQ 的最小值．21．（12分）已知函数()e cos xf x ax b x =+-．（1）当0b =时，求()f x 的单调区间；（2）当()20a f ='且1b =时，讨论()f x 在R 上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系x Oy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为()21121x t t y t ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）．（1）分别求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过线段AB 的中点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，求点P 的横坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()124f x x x =+++．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若a ，b ，c 为正实数，且()()()27f a f b f c ++=，求149a b c++的最小值．参考答案一、选择题1.D解析：由条件可得()()i i z i -=+-+-=+111，∴()()()()221211111i i i i i i i i z --=--=-+--=+-=，则221iz +-=.2.A 解析：由条件可得{}1≤=x x M ，{}0≥=y y N ，∴R N M = .3.B 解析：由题可知函数()x f 的图象关于直线1=x 对称，∴121013102=+a a ，∴21013102=+a a ，又()()2024220242202410131012202412024=+=+=a a a a S .4.D解析：由约束条件画出可行域，目标函数y x z -=2，化为斜截式方程得z x y -=2，联立⎩⎨⎧=+=+7115y x y x 得⎩⎨⎧==16y x ，即()1,6C .由题可知，当直线z x y -=2过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大.即最大值11162=-⨯=z .5.C 解析：由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六、日值班共有6种情况，甲、乙倍安排在一天有2中情况，∴甲、乙被安排在同一天的概率为3162=.6.B 解析：设AC AB AP μλ+=，由M 是AB 的中点，得AM AB 2=，由NC AN 3=，得AN AC 34=.∴AC AM AP μλ+=2，且AN AB AP μλ34+=.由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+13412μλμλ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5351μλ，∴AC AB AP 5351+=.7.A 解析：由24tan tan 14tantan 4tan =+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθπθπθ，解得3tan -=θ，∴531tan tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 222-=+=+==θθθθθθθθθ，54tan 1tan 1sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222-=+-=+-=-=θθθθθθθθθ，∴10272cos 222sin 2242sin -=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθπθ.8.C 解析：由球的表面积公式ππ8442==R S ，解得外接球半径21=R .∵点三角形是边长为a 的等边三角形，∴三角形的外接圆半径为a a 3332321=⨯⨯，又正三棱柱的外接球的特点可得，2222321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a R ，解得6=a 9.C 解析：由BD AC =可得线段AB 的中点，也是线段CD 的中点，设()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点坐标为()00,y x M ，则()()002,0,0,2y D x C ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x .又点A,B 在椭圆上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+131322222121x y x y ，两式相减可得0322212221=-+-x x y y ，即()()()()321212121-=-+-+x x x x y y y y ，∴321212121-=--⋅++x x y y x x y y ，∴32200-=⋅AB k x y ，即300-=⋅AB k x y .又因为A,B,C,D 四点共线，∴00002002x yx y k k CD AB -=--==，综上可得3±=AB k ，由A,B 在第四象限得0>AB k ，即3=AB k ，∴直线的倾斜角为3π.10.A 解析：令()8732210x a x a x a x a x f ++++= ，即()()721x x x f -=，对函数()x f 求导可得，()772210832x a x a x a a x f ++++=' ，且()()()()22172167-⋅-⋅+-='x x x x f ，∴()()()()151412*********77210-=--=-⋅-⋅+-='=++++f a a a a .11.B 解析：设切点坐标为()00,y x Q ，则切点在直线上，也在曲线上，∴⎩⎨⎧=+=000x e y bax y ，又切线斜率()00x x x xe ek ='==，且a k =，∴0x e a =，a x ln 0=，代入可得()a a a a a ax e ax y b x ln 1ln 0000-=-=-=-=.12.D解析：由两直线垂直的判断条件02121=+B B A A ，可知()011=⋅-+⋅m m ，∴直线1l 与2l 始终垂直，又由条件可得直线1l 恒过定点()3,1M ，直线2l 恒过定点()1,5N ，∴两直线的交点P 是在以线段MN 为直径的圆上，∴该圆的圆心坐标为()2,3，半径为5，但需挖去点()1,1，此点()1,1是过定点()3,1M 且斜率不存在的直线与过定点()1,5N 且斜率为0的直线的交点，故点P 到直线072=++y x 的距离的最大值与最小值可转化为圆心()2,3到直线072=++y x 的距离53再加减半径5，又需要去掉点()1,1到直线072=++y x 的距离为52，∴取值集合是(]5452，.二、填空题13.xπsin 解析：∵奇函数关于原点对称，且此函数又关于点()0,1对称，∴此函数可类比于正弦函数，∵正弦函数x y sin =是奇函数，且关于点()0，π对称，∴可联想到()x x f πsin =.14.4-解析：当1=n 时，2211+=S a ，解得21-=a .当2≥n 时，22+=n n S a ，2211+=--n n S a ，两式相减得1--=n n a a ，∵021≠-=a ，∴01≠-n a ，∴11-=-n na a ，∴数列{}n a 是首项为2-，公比为1-的等比数列，∴()()112--⋅-=n n a ，即数列{}n a 是，，，，， 2,22,222---故27-=a ，29-=S ，∴497-=+S a .15.1629解析：由题可得()01，F ，由PF PO =，可得点P 的横坐标为21，∴⎪⎭⎫⎝⎛2,21P ，∴23121=+==PF PO ，322232sin ==∠POF ,设OPF ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得82924932223sin 2===∠=POFPF R ，∴外接圆的半径1629=R .16.[)∞+，2解析：由()2121,,0,x x x x ≠+∞∈∀，不妨设21x x <，则012>-x x ，∴()()11212>--x x x f x f ，可变形化简为()()2211x x f x x f -<-，构造函数()()x x f x g -=，则()()21x g x g <，∴()x g 在()∞+，0上是单调递增函数，∴()()01cos 11≥-++=-'='x a xx f x g 恒成立，即1cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 在()∞+∈，0x 上恒成立，当0>x 时，[]1,1cos ,01-∈>x x ，又+∞→x 时，01→x ，而[]1,1cos -∈x ，∴1cos 1->+x x，∴21cos 1<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ，∴a 的取值范围为[)∞+，2.三、解答题17.解：（1）设购买24元的个人用户数为x ，则购买24元的公司用户数为20+x ，设购买6元的公司用户数为y ，则购买6元的个人用户数为y 2，则有⎩⎨⎧=+=+602140202y y x ，解得20,60==y x ，∴用户类别与购买意向22⨯列联表如下：（2）由（1）中22⨯列联表得∴有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.18.解：（1）由()()C B b C A a 2222sin sin sin sin -=-，得()()2222c bb c a a -=-，化简得()()0222=-++-cab b a b a ∵△ABC 三边均不相等，∴b a ≠，即0222=-++c ab b a .由余弦定理得212cos 222-=-+=ab c b a C ，在△ABC 中，由︒<<1800C ，得︒=120C .（2）在△ABC 中，49222=++=ab b a c ，故7=c 由A aC c sin sin =得14337120sin 2sin =︒=A ，易得141314331cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 在△ACD 中，︒=∠60ACD ，︒=∠+∠+∠180ACD A ADCC ，∴()73414332114132360sin sin =⨯+⨯=+︒=∠A DC .在ACD ∆中，由ADCbA CD ∠=sin sin ，得81573414335sin sin =⨯=∠⋅=ADC A b CD .19.解：（1）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB CB ⊥,又∵BP CB ⊥，B BP AB = ，⊂BP 平面ABP ，∴⊥CB 平面ABP ∵⊂P A 平面ABP ，∴P A CB ⊥，同理P A CD ⊥，又∵C CD CB = ，⊂CD CB ,平面ABCD ，∴⊥P A 平面ABCD （2）由（1）知⊥P A 平面ABCD ，即AP AD AB ,,两两相互垂直，如图，以点A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系.则()000，，A ,()002，，B ,()020，，D ,()200，，P ,()101，，E ,()110，，F ，()101，，=AE ,()110，，=AF .设平面AEF 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅011z y n AF z x n AE ，令1=x ，则1,1-==z y ，得()1,1,11-=n，由（1）知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0=BC ，∴平面AEF 与平面PAB夹角的余弦值是33cos ==.20.解：（1）由题意得2==ace ，32=b 又∵222b ac +=，解得2=a .∴双曲线方程为：112422=-y x .（2）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点，∴OP ⊥OQ ，即0=⋅OQ OP .①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为n x =，设()t n P ,，()t n Q -,()0>t ，由0=⋅OQ OP 可得022=-t n ，又点P,Q 在双曲线上，代入可得112422=-t n ，解得6,622==t n .∴622==t PQ .②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为m kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=112422y x m kx y 整理得()()*01223222=----m kmx x k ，∵直线l 与双曲线交于P,Q 两点，∴032≠-k ，且判别式()()()()0124121234222222>+-=----=∆k m mkkm .设()()2211,,,y x Q y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=+222122131232k m x x k km x x 由0=⋅OQ OP 得到：02121=+y y x x ，∴()()01221212=++++m x x km xx k，∴()032312122222=+-⋅--+⋅+m kkmkm k m k ，化简得6622+=k m .∴()()[]()6233842441222212212≥-+=-++=kk x x x xk PQ .当0=k 时上式取等号，其方程（*）有解.综上可得PQ 的最小值是62.21.解：（1）显然()x f 定义域为R ，由()ax e x f x +=得()a e x f x+='当0≥a 时，()0>'x f ，()x f 单调递增区间为()∞+∞-，，无减区间；当0<a 时，由()0>'x f 得()a x ->ln ，∴()x f 单调递增区间为()()∞+-，a ln ；由()0<'x f 得()a x -<ln ，∴()x f 单调递减区间为()()a -∞-ln ，.（2）由题可得函数()()x x f e x f x cos 02-'+=，∴()()x f e x f xsin 02+'+='.()()()0210sin 0200f f e f '+=+'+='，解得()10-='f .∴()x x e x f x cos 2--=.①当0≤x 时，有1sin ,1≤≤x e x ，∴()02sin ≤-+='x e x f x恒成立，∴()x f 在(]0，∞-上单调递减，()()00=≥f x f ，0是一个零点；②当0>x 时，()2sin -+='x e x f x，设()2sin -+=x e x g x ，则()0cos 1cos ≥+>+='x x e x g x恒成立，即()x f '在()∞+，0上单调递增.又()010<-='f ，()021sin 1>-+='e f ，根据零点存在定理可知，()1,01∈∃x ，使得()01='x f 当10x x <<时，()0<'x f ，∴()x f 在()1,0x 上单调递减；当1x x >时，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，1x 上单调递增又()0110=-=f ，∴()01<x f .∵()042cos 4222>->--=e e f ，根据零点存在定理可知()2,12x x ∈∃，使得()02=x f 综上所述，()x f 在R 上的零点个数为2.22.解：（1）由1-=t y 可得1+=y t ，代入()t t x -+=1212消去参数t ，可得C 的直角坐标方程为：xy 22=化简433sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπρ可得43sin 21cos 23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθρ，∴()23sin cos 3=-θθρ.将θρcos =x ，θρsin =y 代入l 的极坐标方程，可得l 的直角坐标方程为：0233=--y x .（2）曲线C ：x y 22=是抛物线，其焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线21-=x ，直线AB ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213x y ，恰好过抛物线的焦点由⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y x y 22132，消去y ，整理得0320122=+-x x ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则3521=+x x ，线段AB 的中点Q 的横坐标65221=+=x x x Q ，中点Q 的纵坐标33=Q y .过点Q 作x 的平行线交C 于一点P ，则点P 的纵坐标也等于33，∴点P 的横坐标为61.23.解：（1）()⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<≤-+-<--=+++=1,55312,32,53421x x x x x x x x x f ，()x f 在()2-∞-，上单调递减，在()∞+-，2上单调递增，∴()()12min =-=f x f ，即当2-=x 时，函数()x f 取得最小值（2）由（1）可得当x 为正实数时，()53+=x x f ，则由()()()27=++c f b f a f 可得：4=++c b a ，∴()cc b a b c b a a c b a c b a 494941++++++++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=494949444c b c a b c b b b a a c a b a ac b b c c a a c b a a b c b b c c a a c b a a b 4924942422749494449141⋅+⋅+⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=9492169241227=+++=当且仅当c b b c c a a c b a a b 49,494,4===时，又4=++c b a ，即当2,34,32===c b a 时，等号成立.∴c b a 941++的最小值为9.。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
高三数学理科期末统测试卷及答案
第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、方程4220x x +-=的解是 。
2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。
3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。
4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。
6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。
8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。
（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。
10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。
12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。
2024届陕西省西安中学高三上学期期末考试高三理数试题及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三 数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分）9.关于函数()222cos 1f x x x =-+有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）A ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π3x =对称C ．()f x 的图象关于7π,024⎛⎫⎪对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥上单调递增上，过点二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{}n a 的公差为 ．三、解答题：本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x （单位：cm ）与树干最大直径偏差y （单位：mm ）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差x201513325-10-18-直径偏差y 6.53.53.51.50.50.5- 2.5- 3.5-(1)若x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为120cm ，树干最大直径平均为31.5mm ，试由（1）的结论预测高度为128cm 的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．参考数据：81324i i i x y ==∑，8211256i i x ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．18.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin B b A c α+=．(1)求角A 的大小；(2)若a =△ABC ，求b c +的值．19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）如图1所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．(1)若的中点为，求证：平面；(2)求二面角的正弦值．图121.（本小题满分12分）P ABCD -ABCD //,,CD AB AB BC PA PD ⊥⊥1,2BC CD PA PD AB =====PAD ⊥PBC PB N //CN PAD P AD B --（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sinxyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πcos(4ρθ+=.(1)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；(2)设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标.23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲](1)作出函数()f x的图象，并求(2)若存在x，使得不等式西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试理科数学答案一.选择题（本大题共12小题，共60分）123456789101112AABDABCBCCDD二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13.314.()2211x y -+=（答案不唯一，只要方程满足()()2220x a y a a -+=>即可）15.715-16.①③④三、解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.(1)证明：（1）20151332(5)(10)(18)582x +++++-+-+-==,56.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)(2.5)(3.5)988y +++++-+-+-==，（2分）1221593248128ˆ5412568()2ni i i nii x ynxy bxnx==--⨯⨯==-⨯-∑∑，9151ˆˆ8422a y bx =-=-=，（5分）故y 关于x 的线性回归方程为1142y x =+（6分）（2）当树干高度为128cm 时，高度偏差1281208x =-=(cm)，（8分）118 2.5(mm)42y =⨯+=，所以树干直径约为2.531.534(mm)+=，（11分）即预测高度为128cm 的这种树苗的树干最大直径为34毫米.（12分）18.（本小题满分12分）（1）由已知及正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，（2分）∵()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∵sin sin cos sin B A A B =，sin 0sin cos B A A≠∴= （4分）∵()0,πA ∈∴π4A =.（6分）（2）∵11sin 242ABC S bc A bc === ∴2bc =,（8分）又∵2222cos a b c bc A =+-∴()(222b c bc =+-,（10分）所以()24,2b c b c +=+=．（12分）19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）（2）如图，延长AD和BC⊥，垂足为点过点B作BM PQ因为：平面PAD ⊥平面PBC 所以：BM ⊥平面BDM ，因为：,,AD BD AD BM ⊥⊥所以：AD ⊥平面BDM ，所以：21.（本小题满分12分）（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分22.（本小题满分10分）解：（1）由题意，在1sin :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）中，化为普通方程为2213yx +=（3分）在2π:cos()4C ρθ+=ππcos cos sin sin 244ρθρθ-=∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴2:40C x y --=.（5分）（2）由题意及（1）得，设点()sin P αα，则P 到直线40x y --=的距离为：d =，（8分）当且仅当πsin(13α-=，即ππ2π,Z 32k k α-=+∈，5π2π(Z)6k k α=+∈时，min PQ =，此时13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（10分）23.（本小题满分10分）由()f x 的图象可知()f x 的值域为（2）由()0f x =，解得12x =由40-=x a ，解得4a x =.y =若存在x，使得不等式()f x≥则由图象可知，1224≤≤a，解得求实数a的取值范围[]28,.。
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高三年级理数试卷本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。
一共6页。
共24题。
本试卷共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2.若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( )A ．i +-3 B.i --3 C.i +3 D.i -33．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示， 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( ) A ． 乙甲x x < 22x x S S <<乙甲，乙甲 B. 乙甲x x < 22x x S S <>乙甲，乙甲 C. 乙甲x x >22x x S S >>乙甲，乙甲D. 乙甲x x > 22x x S S><乙甲，乙甲4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．135．设x ，y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z=ax+y （a>0）的最大值为14，则a=（ ）A ．1B ．2C ．23D ．5396.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足4020s s =，则下列结论中正确的是（ ） A 、30s 是n s 中的最大值 B 、30s 是n s 中的最小值 C 、30s =0 D 、60s =0乙 甲 8 6 4 3 1 58 6 3 2 4 58 3 4 9 45 01 3 1 6 797．阅读右面程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ ）A ．13B ．23 C ．14D ．348.若函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且⋅=0，（O 为坐标原点）则A ω⋅=（ ） A 、6πBCD9.已知双曲线221916x y -=，其右焦点为F ，P 其上一点，点M=1，0=⋅，则的最小值为（ ）A 3C 210.设D 是正123P P P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域11．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的 交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ， 使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值是（ ）A239 B 536 C 12 D 2412．已知函数()||,()xxaf x e a R e =+∈在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0,1]a ∈ B ． ]0,1[-∈a C. [1,1]a ∈- D. ),[],(22+∞⋃--∞∈e e aβαA CBP D第Ⅱ卷（ 90分）角为，则塔高为14.已知函数()f x 满足：(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．15.在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为||||),(2121y y x x Q P d -+-=。
若),(y x C 到点)9,6(),3,1(B A 的“直角距离”相等，其中实数y x ,满足93,100≤≤≤≤y x ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为__________16半径为1的鸡蛋（视为球体）放入 其 中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为三、解答题（共6个小题，共70分）17. （本小题满分12分）对于给定数列{}n a ，如果存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n a 是 “M 类数列”．（Ⅰ）已知数列{}n b 是 “M 类数列”且2n b n=，求它对应的实常数,p q 的值；（Ⅱ）若数列{}n c 满足11c =，()*12n n n c c n N +-=∈，求数列{}n c 的通项公式．并判断{}n c 是否为“M 类数列”，说明理由．18. （本小题满分12分）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）； ②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）． 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．（I ）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望； （II ）求这名同学被该大学录取的概率．19. （本小题满分12分） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，AB ，4BC =． ⑴求证：BD ⊥P C ；⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角； ⑶设点E 在棱P C 上，PC PE λ=， 若DE ∥平面PAB ，求λ的值.20.设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。
21. 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++. APECDB（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长；（II ）求证：BE ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．（I ）求证：6221<+<x x ，2||21<-x x ；（II ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．参考答案1—5:DBDCB,6—10:DACBD,11—12：CC 13:50米 14：12 151618.解：（I ）4,2=ξ， …………（2分）55.05.09.0)9.01()2(=⨯+-==ξP45.0)5.01(9.0)4(=-⨯==ξP …………（4分） （或45.055.01)4(=-==ξP ）6分） （II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是1P 、2P ，则48.05.09.03.01.01=⨯+⨯=P …………（8分） 243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02=⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯=P ………（10分） 该同学被该校录取的概率=+21P P 0.723 …………（12分）19. 解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P D C P C P D C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面A B C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠，∴∠60F D G =︒.即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ，∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .174分PEFB CDA GPEA又∵1,4,1,A DB CB F === ∴1,4P E B F PC B C ==∴14PE PC = ，即1.4λ= （12分） 【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(0),)B D P a =， ∵330B D P C ⋅=-= ，∴B D P C⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B P D C ⊥ 面就是平面， 由条件知A （1，0，0），B （1，0），0),0)A D . 设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n ||||D B A B D B A B θ⋅=⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒ ， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－30），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a = ，P A a = （1，0，-），P C a =-- ）， 而P E P Cλ= ，所以P E a =- （，）， D E D P P E D P P C λ=+=+ (0,0,)()a a =+-，=3,.aa λ--）设n x y z = （，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩. 1z x a==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， （12分）20. 解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b +=（a,b>0）过M （2 ，两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,B则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥或3m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥. 因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,||AB ===== ①当0k ≠时||AB =，因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++, 所以2232321[1]1213344k k<+≤++,所以||AB ≤当且仅当k =时取”=”.② 当0k =时,||3AB =. ③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为(,)33±或(33-±,所以此时||AB =综上, |AB |||AB ≤: ||AB ∈ 21. 221ln 11ln '()(1)(1)1(1)x xf x x x x x x x =--+=-++++. ……2分故当(0,1)x ∈时，'()0f x >， (1,)x ∈+∞时，'()0f x <.所以，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 由此知()f x 在(0,)+∞的极大值为(1)l n f =，没有极小值. ……4分 （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时， 由于(1)ln(1)ln ln(1)(ln(1)ln )()011x x x x x x x x f x x x++-+++-==>++，故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,).+∞ ……8分（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x =+++ 知(2)n f =ln 21ln(1)122n n n+++，其中n 为正整数，且有22211ln(1)1log (1)222a a n n a e n e +<⇔<-⇔>--. ……10分又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)12n n n n n n n n =<=-+++-. 且2ln 24ln 2112a n a<⇔+-. 取整数0n 满足202log (1)an e >--，04ln 21n a >+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln(1)12222n n n n a a f a =++<+=+， 即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0,)+∞.综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞，且a 的取值范围为(,0]-∞. ……12分22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………（2分）又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABAC AC PC =∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………（5分） （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………（8分）2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………（10分） （23）（本小题满分10分）解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4c o s ()3πρθ=- 为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分) （2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q= ， 所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()33πρθ=-，即6c o s 3s i nρθ=， ∴26c o s s i n ρ=，226x y x +=,∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分)（24）（本小题满分10分）证明：（I ）∵1|2|1<-x ，∴1211<-<-x ，即311<<x ， …………（2分）同理312<<x ，∴6221<+<x x ，∵|2||2||)2()2(|||212121-+-≤---=-x x x x x x ，∴2||21<-x x ； …………（5分）（II ）|1||||||)()(|212121222121-+-=+--=-x x x x x x x x x f x f ，…………（8分） ∵6221<+<x x ，∴51121<-+<x x ，∴||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-…………（10分）。