客货运量预测模型
客货运交通需求预测方法
实验一：交通需求预测一、实验内容1、采用回归分析法进行一元和多元线性相关分析，建立客、货运量同各种因素的回归方程，对未来的客货运量进行预测。
2、采用指数平滑法进行客、货运量预测；二、实验工具OFFICE EXCEL三、实验目的掌握平均增长率法、弹性系数法、回归分析法、指数平滑法进行客货运交通需求预测四、实验方法（一）根据授课内容利用EXCEL进行平均增长率法、弹性系数法客运量预测；（二）利用EXCEL中的数据分析工具进行一元线性、非线性相关分析预测客、货运量。
1、一元回归分析利用EXCEL进行一元线性、非线性相关分析时，可以形成平面趋势图形，一般按以下工作程序进行相关分析：①选定参与相关分析的数据所在列或行，其中第一列（或行）可作为横坐标。
②点击（打开）图表向导。
③按图表向导选定图表类型，选XY散点图。
④根据图表向导，形成趋势线图。
⑤用鼠标激活刚形成的趋势线图表，下拉EXCEL主菜单中的“图表”菜单，选“添加趋势线”，在“类型”菜单中选定添加的趋势线类型⑥.在选“添加趋势线”时，完成类型选择后在“选项”菜单中选定“显示公式”及“显示R（相关系数）平方值”。
⑦根据图表向导，形成趋势线图、回归公式及相关系数。
2、利用EXCEL进行多元线性相关分析。
（1）执行[工具]菜单中的[数据分析]指令，这时在屏幕上出现对话框。
注意：如果此时[工具]菜单中无[数据分析]指令，该如何处理？具体解决方法，请自行查看Excel帮助。
（2）选择[回归]选项，弹出另一对话框。
（3）单击“Y值输入区域”对话框右边的折叠对话框按钮，然后选取y值区域，确认输人无误后，再次单击折叠对话柜按钮。
同样方法，可完成X 值的输入。
（4）若输入的第1行(不论X ，Y)为标志，则应打开[标志]复选框。
（5）输出范围的输入与X 和Y 的输入相同，指明输出的左上角单元格即可。
（6）如果需要，可打开[残差]、[残差图]、[标准残差]、[线性拟合图]、[正态概率图]复选框。
基于灰色预测模型的铁路货运量预测
基于灰色预测模型的铁路货运量预测铁路货运量是衡量铁路运输发展水平的重要指标之一。
铁路货运量预测是铁路运输管理的重要组成部分，对于制定合理的投资和运输规划具有重要的指导意义。
目前，国内外运输管理部门普遍采用灰色预测模型对铁路货运量进行预测，本文将从灰色预测模型的基本原理、模型构建、模型评价等方面对铁路货运量预测进行探讨。
一、灰色预测模型基本原理灰色系统理论是由中国科学家李纪周教授提出的一种新型的系统分析和预测方法，简称灰色预测。
灰色预测是一种非常有效的模型，不需要大量的数据，只需少量的数据就可以对未来进行预测。
其基本思想是将数据分为灰色部分和白色部分，对灰色部分进行建模，通过对白色部分的分析，确定模型参数，进而预测未来的发展趋势。
灰色预测模型基本原理包括灰色数学和灰色建模两个方面。
灰色数学是指将不确定的因素通过内部联系表示为确定的因素，从而使模型有可预测性。
灰色建模是将灰色数学应用到实际问题中，通过对数据的特性进行分析，建立灰色预测模型，对未来的趋势做出预测。
二、铁路货运量预测模型构建铁路货运量预测是基于历史数据建立预测模型，通过对历史数据趋势进行分析，建立适合未来预测的模型。
在建立铁路货运量预测模型时，需要考虑以下几个方面。
1、数据的准备铁路货运量预测模型建立的第一步是准备数据。
数据应具有代表性、完整性、可靠性和连续性。
数据的时限应根据预测所需预测时段的长短而确定，过长或过短都不利于预测。
2、数据的稳定性和平稳性分析为了建立有效的预测模型，必须首先对数据的稳定性和平稳性进行分析。
只有稳定和平稳的时间序列才能够进行有效的预测。
3、模型的构建灰色预测模型的具体构建包括确定级数、构建GM(1,1)模型、验证预测模型和修改预测模型。
其中GM(1,1)模型是经典的灰色预测模型之一，其基本思想是通过对原始数据进行累加生成新的数据序列，再建立一阶微分方程的模型，预测未来发展趋势。
4、模型的优化建立铁路货运量预测模型并不止于构建GM(1,1)模型，模型的优化和改进也是关键的一步。
综合交通运输概论-第二章第三节 几种常用的客、货运量预测方法
第二章
第三节
运输需求与运量预测
几种常见的客、货运量预测方法
五、产运系数法
公式为： 点击添加标题
Байду номын сангаас
第二章
第三节
运输需求与运量预测
几种常见的客、货运量预测方法
六、产销平衡法
产销平衡法是指在一定范围内，把用途相同的 点击添加标题 某种物资的生产管理、消费量和运输量之间进行 平衡的方法。 通过产销平衡计算，可推算出该物资在一个车 站、一个枢纽、一条线路或一个地区的发送量和 达到量。 对于产量大于当地消费量的地区，物资是输出 的，反之则是输入的。
综合交通运输交通概论
点击添加标题
第二章
运输需求与运量预测
点击添加标题 主讲：吴海顺
系别：建筑工程系 单位：石家庄工程职业学院
第二章
第三节
运输需求与运量预测
几种常见的客、货运量预测方法
点击添加标题 【学习内容】
第一节 运输需求的概念及其特征
第二节 运输需求的产生和影响因素
第三节 几种常见的客、货运量预测方法
第二章
第三节
运输需求与运量预测
几种常见的客、货运量预测方法
点击添加标题
1、运输需求和运输量是两个不同的概念。
2、运输需求是社会经济活动在人与货物空 间位移方面所提出的有支付能力的需要。 3、运输量则是指一定的运输供给条件下所能 实现的人与货物的空间位移量。
客货运量预测模型
n
(k) 0.5345%
n 1 k2
可见相当精确！
6、预测 第1、2、3、4、5步预测值：
2005
104813
2006
111076
2007
117713
2008
124746
2009
132200
有什么感想？
仅差6车，精 确得真是太令 人惊讶了！
预测2006年怎 么样？
2005年实际日装车为104819车。
2、级比平滑检验
(k) x(k 1)
x(k)
(2), (3), (4), (5) 0.939994, 0.936704, 0.947605, 0.956928
0.1353， 7.389
可容区检验通过，表明序列是平滑的，可做 数列灰预测。
3、级比界区检验
为x在k点的差异信息，简称差异。
x
(k
)或(k
)
（2）级比
x (k ) x(k ) x(k 1)
x(k)
x(k 1) x(k)
（3）级比偏差
x(k)
1 x(k)
1
x(k 1) x(k)
x (k ) x(k)
4、数据处理（变换） （1）数据处理原则
其中，x(0)是建模原始序列，x (1) 是 x(0) 的AGO序列，
z(1)是 x (1)的均值序列， a 称作发展系数，b 称作灰
作用量。
z(1) (k) 0.5 x(1) (k) x(1) (k 1)
2、 参数辨识
令中间参数 则
n
C z(1) (k ) k2 n
2、级比平滑检验
高速公路客流量预测模型与方法分析
高速公路客流量预测模型与方法分析随着我国经济的不断发展和人民生活水平的提高，高速公路系统在人们的日常出行中扮演着至关重要的角色。
为了更好地管理和规划高速公路的运营，预测客流量成为一项重要的研究课题。
本文将对高速公路客流量预测模型与方法进行分析，以期提供有效的预测方法。
一、模型选择与建立高速公路客流量预测可以使用多种模型和方法，其中一些常用的包括时间序列分析、回归分析、神经网络和决策树等。
选择适当的模型需要综合考虑数据特征、预测准确性和计算效率等因素。
1. 时间序列分析时间序列分析是一种常见的客流量预测方法，通常假设预测数据具有一定的周期性或规律性。
常用的时间序列模型包括ARIMA、ARCH和GARCH等。
通过对历史客流量数据进行分析，可以建立时间序列模型并进行预测。
2. 回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的依赖关系。
在高速公路客流量预测中，可以考虑一些相关因素，如节假日、天气条件和经济指标等，并利用回归模型来建立客流量与这些因素之间的关系。
通过提取相关特征并进行回归分析，可以预测客流量的变化。
3. 神经网络神经网络是一种模拟人脑神经元工作原理的数学模型，其在模式识别和预测领域有着广泛的应用。
在高速公路客流量预测中，可以利用神经网络来学习历史数据的模式，并预测未来的客流量。
通过调整网络结构和参数，可以提高预测准确性。
决策树是一种基于树状结构的分类和预测方法。
在高速公路客流量预测中，可以利用决策树算法来分析历史数据中的特征，并建立规则集用于预测客流量。
决策树具有可解释性强的特点，便于理解和应用。
二、数据处理与特征提取高速公路客流量预测需要使用历史数据进行模型训练，因此对数据的处理和特征提取非常重要。
以下是一些常用的数据处理和特征提取方法。
1. 数据预处理数据预处理包括数据清洗、去除异常值和缺失值处理等步骤。
在高速公路客流量预测中，可能会出现数据缺失或异常情况，需要对这些问题进行处理，以保证建立的模型具有良好的准确性。
需求预测方法及模型总结
需求预测方法及模型总结学院：交通运输工程学院专业：交通工程班级学号：071412127学生姓名：刘学鹏指导教师：秦丹丹完成时间：2015-11-26需求预测方法及模型总结交通需求预测是交通规划中的核心内容之一。
交通发展政策的制定、交通网络设计以及方案评价都与交通需求预测有密切的关系。
现代交通规划理论中的交通需求预测习惯上被分为四个阶段，即交通产生预测、交通分布预测、交通方式分担预测及交通网络分配。
下面就对交通需求预测的四阶段法以及其各自的模型进行总结。
一、交通生成预测Ⅰ、增长率法增长率法是根据预测对象（如客货运量、经济指标等）的预计增长速度进行预测的方法。
预测模型的一般形式为： Qt =Q（1+α）t增长率法的关键在于确定增长率，但增长率随着选择年限及计算方法的不同而存在较大的差异。
所以增长率法一般仅适用于增长率变化不大且增长趋势稳定的情况，其特点是计算简单，但预测结果粗略，较适用于近期预测。
Ⅱ、乘车系数法乘车系数法又称为原单位发生率法，类似于城市交通预测中的类别发生率法，它用区域总人口与平均每人年度乘车次数来预测客运量。
模型的形式为：Q t =Ptβ乘车系数可以根据指标的历年资料和今后变化趋势确定，但是乘车系数本身的变动有时难以预测，各种偶然因素会使其发生较大波动。
此外，人口、职业、年龄的变化也使系数很难符合一定规律。
Ⅲ、产值系数法产值系数法是根据预测期国民经济指标值（如工农业总产值、社会总产值、国民收入等）和确定的每单位指标值所引起的货运量或客运量进行预测的方法。
模型的形式为：Q t =MtβⅣ、弹性系数法弹性系数法是通过研究单位社会经济指标产生的小区交通出行量，预测将来吸引、发生量的一种方法。
此法是综合考虑我国经济发展水平和产业结构和发展趋势，参考O、D调查区域社会经济有关文献资料，确定弹性系数的大致范围，结合所得出的历史弹性系数及所处区域位置及相关运网历史交通量与直接影响区历史经济量的回归分析作为进一步的分析手段，确定出项目影响区的交通增长弹性系数，依此进行发生、吸引交通量预测。
灰色BP网络串联式组合模型在铁路客货运输量预测中的应用
赵海龙 ， 吕安涛 ， 张俊友 ， 姚 （ １ ． 山东理工大学， 山东 淄博 宁 ， 代 洪娜 ２ ５ ５ ０ ４ ９ ； ２ ． 山东省交通科学研 究所， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ３ １ ）
ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｅ ｄ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
关键 词 ： 灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型； Ｂ Ｐ神 经 网路 ； 组 合
预 测
引 言
研究铁路客货运输量未来的发展趋 势， 对正确制 定铁路旅客和 区域物 流的运输发展规划 和决策极 为 重要 。由于旅客运量 和货 物运量 的变化 受多种 因素 影 响， 用线性 回归、 指数平 滑和灰色模型等时 间序列
Ｈｕ ｎ ａ ｎ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ：ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
摘要： 针对铁路客货运输量发展趋势的研究， 建立
一
种基 于灰 色理 论 和 Ｂ Ｐ神 经 网络 的 串联 式组 合
Ｚｉ ｂ ｏ ２ ５ ５ ０ ４ ９ Ｃ ｈｉ ｎ ａ： ２ ． Ｓ ｈ ａ ｎ ｄｏ ｎ ｇ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
预测 中， 为铁路旅客和货物发展趋势的研究 提供有效
参考 。
１ 灰 色模 型
１ ． １ 基本 原 理
Ｉ ｓｔ ｎ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｊ ｉ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ ３ １ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
量发展趋势的准确性 ， 有必要探索新 的预测方法。近 些年 ， 神经 网络、 遗传算法 和支持向量机等知识 已被 尝试运用到 交通运输量预测 领域。本文 将灰色理论 和Ｂ Ｐ神经网络协同运用到铁路客货运输量发展趋 势
客运交通量预测模型构建与分析
毫， ＋＝ｑ＋
式 中 ： 毫 ， — 期 预测值 ；ａ ＋— ｔ，６ 广
从 而 有 Ｆ＝９５ ＞ ｏ １ ，）９１ ， ．２ Ｆ ０ ４ ＝ ．５ 故回归效果是 显著 的。 （６ 即回 归方 程 中全 部 自变量 的总体效果是 显著的 ，
．
但并不意 味着 每个效 果都是显 著的 ，需对各回 归系数分别进 行检验 ，如下 ：
ｂ ｌ
ｔ １＝
０
蕊７ ＝ ２ ． ８ ３７ １
（ ）利用 最小二乘法 ，将上 表中的数据代 入 多元 线性 回归模 型的正规方 程组 中最 终可得： ２
ｂ ０＝ ９ ．２ ｂ ４９ ４ ｌ＝ ０．７ ｂ １８ ２＝ 一 ２ ｂ ３ ４ ３＝ Ｏ ３１ ｂ ． ５ ４＝ 一０．９ １５
．
（ ）建 立 多 元 线 性样 本 回归 模 型 ３
ｌ ｌ ３ ． ＞ｔ０ ６ ０９ ； Ｏ３ ｏ ４ ） ． ｔ ３ １ ．（ １ ｌ ｌ ０６ ｏ ４ ） Ｏ９ ．７＜ｔ （ ．１ ｔ ４ ６ ｏ
所 以应从回归方程将 ３ ４ 除出去。 ， 剔
从 回 归 模 型 中将 Ｘ， ４ 除 后 得 到 的 多元 线 性 回 归 模 型 ： Ｙ＝ｂ ＋ ｌ ＋ ２ ３ 剔 ０ ｂＸｌ ｂＸ２ 根 据 整 理 后 的数 据 ，利 用 最 小 二 乘 法对 回 归模 型 重 新 计算 得 到 回 归 方 程 ：
关键 词 ：客运 量 ；预 测模 型 ； 多元 线性 回归 ；二 次指数 平滑 法
摘 要 ：客 运量预 测是在 客运 市场调查 的基础 上以及 历年 的客 运统 计数据 为依 据 ，采 用科 学的方 法和 手段 ，对 未来一 定时期 内客 运 量的 需求的 变化趋 势 以及 与之相 关 的各种 因素 的 变化 的影响进 行分 析 、测算 并做 出预 见和判 断 。通过 对公 交票价和 市 区人 口数 以及 市 区 自行 车保 有量 数据进行 分析 ，利 用 多元 线性 回 归方法建 立 了城 市客运 量的预 测模 型。其 次 又运 用二 次指数 平 滑 法对某 市 下一 年 的客 运量做 出了科 学的预测 ，同时建立 客运量 预测模 型 。并对 两种预 测模 型的精 度进行 了 比较 ，将 两种预 测模型下 的拟 合值 与 实际值进行 了对 比 ，进 一步检 验 了模 型 的应 用 。 中图分类 号 ：Ｕ ９ ． ３ 文献标 志码 ：Ａ ２ ３１ ＋
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拓扑灰预测——对于大幅度摆动序列建模预测 摆动序列未来发展态势。
系统灰预测——对于有多个行为变量的系统， 通过嵌套方法预测各行为变量的发展变化。
（二）灰预测数据
1、灰生成——将原始数据通过某种运算变换为新
数据称为灰生成，新数据称为变换数据。
D x(0) (k ) k2 n
E z(1) (k ) x(0) (k ) k2 n
F z(1) (k )2 k2
a
CD (n 1)E (n 1)F C 2
＝
a
b
DF CE (n 1)F C
2
＝
b
（四）灰预测检验
1、分类
事前检验——建模的可行性检验， 即级比检验。
2、级比平滑检验
(k) x(k 1)
x(k)
(2), (3), (4), (5) 0.939994, 0.936704, 0.947605, 0.956928
0.1353， 7.389
可容区检验通过，表明序列是平滑的，可做 数列灰预测。
3、级比界区检验
11600 = 9.61% 120600
可见，总体来说愈远精确性愈差。
例子变通：
国家铁路2002~2006年平均日装车如下表：
年份 02 03
04
05
06
车数 87457 93040 99327 104819 109537
1、原始序列
x x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) 87457, 93040, 99327, 104819, 109537
（4）例子2
有两个原始序列：
x(0) 1
1,
3,
1.5,
2
x ( 0 ) 2
1.5,
1,
4， 3
均为摆动序列，不具有可比性。若分别求出AGO，则可 看出递增规律，且有了可比性。
x1(1)＝AGOx
(0 1
)
1,
4,
5.5,
7.5
x2(1)＝AGOx
(0) 2
1.5,
2.5,
（一）灰预测的特点和类型
特点：1、允许少数据预测 2、允许对灰因果律事件进行预测
灰因白果律事件——原因很多，但结果确 定；
白因灰果律事件——原因具体确定，但结 果不清楚。
3、具有可检验性（事前、事中、事后 检验）
类型：
数列灰预测——级比落入可容区的大惯性序列 直接建立灰预测模型。
灾变灰预测——级比不全落入可容区的小惯性 序列，预测跳变点（异常点）未来的时分布。
运输模型及优化
（硕士研究生课程）
目录
第1节 客货运量预测模型 第2节 描述简单货车集结过程的群论模型 第3节 专用线取送车问题 第4节 车站技术作业整体统筹模型 第5节 编组站配流问题 第6节 货物配装问题 第7节 货物配送问题 第8节 危险品存放问题 第9节 机车周转问题 第10节 旅客列车合理开车范围问题 第11节 双线自闭区段旅客快车越行点问题 第12节 目标规划在重载运输组织中的应用 第13节 统计指标影响因素的矩阵分析法 第14节 枢纽节点平行进路问题
（六）例子
国家铁路2000年以来平均日装车如下表所示：
年份 00
01
02
03
04
车数 77645 83693 87457 93040 99327
1、原始序列
x x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) 77645, 83693, 87457, 93040, 99327
为x在k点的差异信息，简称差异。
x
(k
)或(k
)
（2）级比
x (k ) x(k ) x(k 1)
x(k)
x(k 1) x(k)
（3）级比偏差
x(k)
1 x(k)
1
x(k 1) x(k)
x (k ) x(k)
4、数据处理（变换） （1）数据处理原则
灰建模序列的级比 (k )必须落在可容区
（0.1353，7.389）
中，才能作GM(1,1)建模。这是基本条件，但不是实用条
件。为了获得精度较高的GM(1,1)模型，级比 (k )应落入
尽量靠近1的子区间 1 ， 1 内，称此子区间为级比
界区。级比界区的计算公式：
(
k
)
7 [0.778800783，1.284025417]
8 [0.800737402，1.248848869]
9 [0.818730753，1.221402758]
10 [0.833752918，1.199396102]
11 [0.846481724，1.181360413]
12 [0.857403919，1.16631144]
k 1,2,, n
（2）物理意义——为什么要累加生成？
原始序列可能毫无规律可寻，累加后则易于找出规 律，特别是当 x(0)非负，其AGO序列一定是递增的， 这种递增特性具有显化内在规律的功能，有变不可比 为可比的功能。
（3）例子1
A 君以工资为主要经济来源，其消费原则是量入为 出，收支平衡。若以日消费作为第一层次，则往往毫无 规律可言，若将日消费按月累加，变为月消费，则其消 费曲线应在月工资线上下摆动，呈现出明显的规律性。
层次变换 累加生成AGO 累减生成IAGO
数值变换
初值化生成 均值化生成 区间值化生成
上限效果测度
极性变换 下限效果测度
适中效果测度
2、AGO生成
（1）算式
记原始序列为
x(0) x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n)
x(0) 的AGO序列为
k
x(1) (k ) x(0) (m) m 1
2001
实际值
x(0)
83693
模拟值
xˆ (0)
83100
残差
(k)
593
相对误差(%)
(k)
0.709
2002 87457 88065 -608 -0.695
2003 93040 93327 -287 -0.308
2004 99327 98904 423
0.426
平均相对误差 (avg) 1
2、级比平滑检验
(k) x(k 1)
x(k)
(2), (3), (4), (5) 0.927736, 0.956962, 0.939994, 0.936704
0.1353， 7.389
可容区检验通过，表明序列是平滑的，可做 数列灰预测。
3、级比界区检验
116514
116514
可以认为还是很精确的。
2008年实际日装车为120455车，预 测124746车，差4291车，计算相对误 差为
124746 -120455 = 4291 = 3.56%
120455
120455
2009年实际日装车为120600车，预 测132200车，差11600车，计算相对误 差为
其中，x(0)是建模原始序列，x (1) 是 x(0) 的AGO序列，
z(1)是 x (1)的均值序列， a 称作发展系数，b 称作灰
作用量。
z(1) (k) 0.5 x(1) (k) x(1) (k 1)
2、 参数辨识
令中间参数 则
n
C z(1) (k ) k2 n
y(k) x(k) Q(k), Q(k) const,k
（三）灰预测模型
1、GM(1,1) 预测模型
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b
a
a
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k )
G
M
货物发送量 总产量
当产运系数比较稳定时，可以根据某种货物的 未来产量来预测其未来的运量。
Gt Mt （ t ——预测年份）
例如，某矿务局历年统计资料表明，该局煤炭 产量中的约15%用于地销，85%外运。明年计划产 煤150万吨，由此可估计明年的外运量接近130万 吨。
二、灰色预测法
(avg) 1
n
(k )
n 1 k2
1 (avg)
若 大于指定精度，则认为检验合格。
（五）数列灰预测步骤
1、级比检验，建模可行性判断； 2、对级比检验不合格的序列，作数据变 换处理； 3、GM(1,1)建模； 4、事中检验和事后检验； 5、作出预测。
事中检验——建模精度检验，常用 残差检验或级比偏差检验。
事后检验——预测检验，包括滚动 检验和实际检验。
2、残差检验
残差值 残差相对值 平均残差 平均精度
(k ) x(0) (k ) xˆ (0) (k )
(k)
(k) x(0)(k)
x(0) (k ) xˆ (0) (k ) x(0)(k)
GM(1,1)预测模型：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b
a
a
1390751.8exp(0.058035k) 1313106.823721
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k)
5、事中检验——残差检验
当上述条件不满足时，必须作数据变换处理。 （2）数据处理方法 对数变换：令x为原始序列，ym为x的m次对数序列，则
ym (k) lnm x(k)