安徽大学期末试卷近世代数7.doc

《近世代数》试卷

一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分）

1、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。

2、（ ）设G 是群，A 是G 的不变子群，B 是A 的不变子群，则B 是G 的不变子群。

3、（ ）循环群的商群是循环群。

4、（ ）素数阶的群都是交换群。

5、（ ）存在特征是2007的无零因子环。

6、（ ）有乘法单位元的环的同态象也有乘法单位元。

7、（ ）满足左、右两个消去律的有单位元的半群是群。

8、（ ）域只有零理想和单位理想。

9、（ ）主理想整环R 上的一元多项式环][x R 是主理想整环。 10、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

二、填空题（每空2分，共20分）

1、 设有集合

A 和

B ，|A|=|B|=3,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，

_____个满射，______个双射。

2、 设群G 是12阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素2

a 的阶是______，子群)(3

a H =在G 中

的指数是______.

3、 整数环Z 中的单位有________.

4、 模6的剩余类环6Z 的所有零因子是_________.

5、13Z 是模13的剩余类环，在一元多项式环][13x Z 中，=+13

])6[]3([x _________.

6、_______是整数环的商域.

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

1、设)}23(),1{( H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是

3S 的不变子群？为什么？

2、求模12的剩余类加群12Z 的所有子群。

3、在整数环Z 中，求由182和51生成的理想=A )51,182(。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、设Z 是整数集，},|2{},|3{Z k k B Z k k A ∈=∈=证明：（1）B A ,都是整数环Z 的理想；（2）B A I 是Z 的由6生成的主理想（6）。

2、设G 和H 是两个群，f 是群G 到H 的满同态映射，B 是H 的子群，试证明：

})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。

3、设Z 是整数环，证明：多项式环][x Z 能与它的一个真子环同构。