空间几何体的表面积与体积公式大全

(d)正方体体积：正四面体体积＝3：l
(e)正方体外接球半径与
正四面体外接球半径相等
(3) 正方体的内切球与正四面体的关系
(a)正 方体内切球直径；；；；正方 体棱长 (b)正方体内切球与正四面体的四条棱 相切。 (c)与正四面体四条棱相切的球半径；；；；正方体棱长的一 半
(d)设正四面体棱长为 a , 则与其棱都相切的球半径为 ，
nn -2
]＝n（2,-n-l
)]
.1-一l ）（2-一I ）
＝冗 r3�[l-
n 6
n］
当n➔—0 时 ， ＿1 ➔10 n
.
·,·
'tl －一1 ）（2 －一] ）
V 半球＝吁[l-....16.....]＝冗·,..r3I(-l
一一 lx6, 2.）＝-32 冗
空间几何体的表面积与体积公式大全
一、 全（表）面积（含侧面积）
l、 柱体
CD棱柱
＠圆柱}�三门
2 、 锥体
CD棱锥：
1 誰 侧 ＝ 2_ 5
h.
｝
＠圆锥：
l5 ＝ 2-
l
3 、 台体
CD棱台：
c h) l 化
台 侧 ＝ 2_ 这 +下 底
．
｝
＠团公：
c , l 化
) 台 侧 ＝ 2一 这 ＋下 底 臣
最早推导出球体体 积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2 、 阿基米德原理：（圆柱容球）
柱容球原理：在一 个高和底面直径都是2r 的圆柱形容器内装一个最大的
2 球体，则该球体的全面积等于 圆柱的侧面积 ，体 积 等于圆柱体积的于
°
分析：圆柱体积： V闪井 ＝ S h =Ur2)x2r=2兀 r3
4
球体
CD-- 球 .1.
r =4冗 2
＠球冠：略
＠球缺：略
=2
、＿
全＝ 心应十
侧
＿
S全 ＝ S.t ＋ S丁 S下
勹：
｀一
体积
l、 柱体
C归D棱柱 ｝尸三三］
s
2 、 锥体
O棱锥 ＠圆锥厂尸三尸］
3、 台体
s (i) 棱台｝ 几 ＝ ［，h S（ 上 十 立 下）
＠圆台 V,11台 ＝ 扣 h 心护了＋片）
－ 即：
1 6
a3
x
4. +
了1 al 3
=
a3
，
(2) 外接球
正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。（理由：过不共面的
四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所
以它们共球。
回顾： O 两点定线＠三点定面＠三点定圆＠四点定球
如图：
(a)正方体的体对角线＝球直径 3
(b)正四面体的外接球半径；；；；－4 高 (c)正四面体的棱长；；；；正方体棱长x拉
n
。 。 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 2
r：干－（—，r)千[l-（—) ]
n
n
r2
凡＝
/-
12
(�r)
=
/[l-(�1 )2]
n
n
r1
凡＝
r2
-(—2
2
r)
=
r2
[1-（—2 )2
］
n
n
r- 心
-,
（— n-l
土
r)
=
r
2
[1-
（— n-l )2
］
n
n
:v半球 ．．＇， 半球体积为 ·
=
=ch =iC2研）x2r=4兀r·2
r r 因此：球体体积： v玫 =－2 x2冗
34 ＝一冗 3
f 球体表面积： S球 ＝4兀
通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）
即底 面直径和高相等的圆柱 体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体
积之和
3 、 台体体积公式
s 公式： 几＝h．h(S上 ＋ 尽二豆 下）
4 、 球体
s下
r 4 3
©球：贮＝丁兀
＠球冠：略
＠球缺：略
h 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高 计算；而圆锥、圆台的
侧面积计算时使用母线 l 计算。
三、 拓展提高
I、 祖啦原理：（祖睢：祖冲之的儿子）
夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截
面面积都相等，那么这两个几何体的体积相左 o
r3
．．球 ． 体积为：几＝ 上寸 3
球体表面积公式推导
~ 分析：球体可以切割成若干(n个）近似棱锥，当n➔ ，时，这些棱锥的 上
为球体半径，底面积
1 为球面面积的－n ，则每一个棱锥的体积
.V.
=－�31 x-n1 s球，r
,
则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有：— 3ln&r xn=－43'冗 r3
I:V,,=冗x:rn...x1(r;2
2
+r;
,
+..．．．．十仄）
＝冗
仁xy2 n
{,:ixl
一［（一O ）2＋一(-l )2 nn
n-l 2 +-－-－－+— ( n )
］
}
22 2
3r 0 +l +2 +
7 r n [n- ；；；；
，
2
＋仿－ 1)2
]
=—冗n',.r3�[
n-
一61 ,,(n-l)n,(2n-l)
vl 3Sh = 三棱锥
= 3l x (2l a, 2) x a = 61 a1 3
中间剩下的正四面体的体积为：
磷a 心 ✓ V 1 3Sh = 匡枝推
= 31 x ［了1 戍a)2 X sin. 160°] X,/
2
)
一(—2 x
ax -3) = ½1 a
32
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
B F
即： －瓦 牧—＝-，h1h-+ h一（相似比等于面积比的算术平方根） 整理得： h 岱h
又因为台体的体积＝大锥体体积— 小锥体体积
.·.几 ＝ il S下（加 h) 飞l 凡 hlI =3l 九 (S下 － S上）＋ il S下，h
s三s 代入：
hi=
尽h 得：几
二
＝
－1 尽h
忑怎
心
－
下h
正明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点 p 。
设台体上底面积为 S ，下底面积为 L， 下
高为 h °
，．
.，
,｀*
1
l l l '
．｀ ｀ ， ' ｀
易知：战DC (/) 邸症，设PE=.h1
则PF =h+h
A
由相似三角形的性质得：
－ CD－＝P一E－ AB PF
:. s球＝4千 l
n球
。
6
正六面体（正方体）与正四面体
．斗、、
，，，，，/，才，'
,·\.,＼\：，、,::、,. ．,` 、-,、.. ,,.叶,.,.,
(l)体积关系
如图：正方体切下四个三棱锥后，
P1下的部分为正四面体
设正方体棱长为a1 '
则其体积为： V 正方体 = 1d
四个角上切下的每一个三棱锥体积为：
即：几 ＝ 权瓦胪芯斗瓦峙 Si-h ＝ 初S产＄飞干 sT)
:. V厂 hh (S上 十 五豆豆 s下）
4 、 球体体积公式推导
分析：将半球平行分成相同高度的若干层(n层），n越大，每一层越近似于
I柱， n
时， 每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为二，则：
每个圆柱的体积 V=Sh
=元,r2­r