江西省南昌二中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

南昌二中2017—2018学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷命题人：周启新 审题人：姚翠兰一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．证明不等式最适合的方法是（ ） A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．数学归纳法2．命题“x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x >---”的否定形式是（ ） A ．x R a R ∃∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- B ．x R a R ∀∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- C ．x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- D ．x R a R ∃∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- 3．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．经过点(2,4)-且与双曲线2212y x -=有同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22184y x -= B ．22184x y -= C ．22148x y -= D ．22148y x -= 5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()ln (1)f x x x f '=+，则(1)f '=（ ） A ．e -B ．eC ． 1-D ． 16．设x ，y ，z 都是正数，则三个数1x y+，1y z +，1z x +（ ）A ． 至少有一个不小于2B ．至少有一个大于2C ．都大于2D ．至少有一个不大于27．若关于x 的不等式|2|||4x x a -++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)(2,)-∞-+∞ B ．(6,2)- C ．(,6)(2,)-∞--+∞ D ． (6,2)-- 8．在下列结论中，正确的结论为（ ）①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件 ②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件 ③“p 或q”为真是“p Ø”为假的必要不充分条件 ④“p Ø”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件 A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．若不等式|23||25|4x x -+-<的解集为(,)a b ，则曲线1y x=与直线3y x =-及直线x a =，x b =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ． 89B ． ln 3C ．8ln 39+D ．ln 32+10．已知函数()33f x x x =-，若过点()3,M t 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数t 的取值范围是( ) A ．()9,18-B ．()18,18-C ．()18,6-D ．()6,6-11．若关于x 的不等式|||2|0k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32(,)53B ．32(,]53C ．3(,1)5D ．3(,1]512．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时,()()2'01f x xf x x +>-,若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-,则 ()1f =（ ）A ．12- B ．0C ．12D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若21a i bi +=-，则复数z a bi =+的模||z = ；14．已知函数()sin f x x =，则11()f x dx -=⎰；15．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线221x y m n+= 的焦点，顶点C 在该曲线上．一同学已正确地推得：当0m n >>时，有(sin sin )sin e A B C +=．类似地，当0m >，0n <时，有____________；16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则1212e e +的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为42{(4x cosa a y sina=+=为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.18．（本小题满分12分）已知函数()f x x a a =-+.(Ⅰ)若不等式()2f x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点,求实数b 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：112n n na S a =+-，且0,n a n N *>∈. (I)求123,,a a a ；(Ⅱ)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（本小题满分12分）设顶点在原点，焦点在x 轴上的拋物线过点()1,2P ，过P 作抛物线的动弦PA ，PB ，并设它们的斜率分别为PA k ，PB k . (Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若0PA PB k k +=，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出其值； （III ）若1PA PB k k =，求证：直线AB 恒过定点，并求出其坐标.22．（本小题满分12分）已知函数2()ln 2a f x x x x x a =--+（a R ∈）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x （12x x <），求证：2111a x x <<.南昌二中2017—2018学年度上学期高二期末考试数学理参考答案一、选择题BDCAC AABDA BC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1314．2π15．|sin sin |sin e A B C -= 16三、解答题17．解：（Ⅰ）将方程42{4x cosa y sina=+=消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ρρθ+==，代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．………5分（Ⅱ）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 16{ 6ρρθπθ-==消去θ得2120ρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，∴121212ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-=………10分18．解：（Ⅰ） 2x a a -+≤，222a x -≤≤，即得221a -=，得32a =.………5分（Ⅱ）∵()()f n m f n ≤--，∴()()m f n f n ≥+- 33322n n =-+++. ∵min 33(322n n -++=），且存在实数n 使()()f n m f n ≤--，∴6m ≥.………………12分19．解: (Ⅰ)2()2f x x ax '=- ，由题意知: (2)440f a '-=+=,得a =1-, …… 2分 ∴2()2f x x x '=+, 令()0f x '>,得2x <-或0x >, 令()0f x '<,得20x -<<, ∴()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(0,)+∞, 单调递减区间是(2,0)-……… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,321()3f x x x b =++, 4(2)3f b -=+为函数()f x 的极大值,(0)f b =为极小值 ………………… 8分 又∵f (-3)=f (0)=b要使得函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点则(2)0(3)0f f -<⎧⎨≥⎩, 即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ , ∴4183b -≤<-,即b 的取值范围是4[18,)3-- …………………… 12分20．解： (Ⅰ)111111,2a a s a ==+-，所以11a =-±又因为0n a >，所以11a =22122112a S a a a =+=+-，所以2a = 331233112a S a a a a =++=+-，所以3a = …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)猜想n a =n N +∈.…………………… 6分 下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由（1）知11a 成立．②假设n k =(k N +∈)时，k a =当1n k =+时，111111(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a ++++=-=+--+-11111122k k k k a a a a ++++=+=+所以21120k k a+++-=,解得：1k a +=，所以1k a +=即当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n N +∈都成立．…………………… 12分21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为()220y px p =>,因拋物线过点()1,2P ，故222,2p p ==，拋物线的方程为24y x =. …………… 2分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-， 同理21244,,2PB AB k k y y y ==++ 12440,022PA PB k k y y +=∴+=++ ,∴1222y y +=--，124y y +=-. 1241AB k y y ∴==-+，即直线AB 的斜率恒为定值，且值为1-. …………… 7分（III ）1PA PB k k = ，∴1244122y y ⋅=++，∴()12122120y y y y ++-=. 直线AB 的方程为2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()12124y y y y y x +-=.将()1212212y y y y -=+-代入上式得()()()12243y y y x ++=+即为直线AB 的方程， 所以直线AB 恒过定点()3,2--，命题得证. …………… 12分22．解：（Ⅰ）依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根，即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00(,ln )A x x ，所以0'1x x k y x ===，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =， 解得，0x e =，于是1k e=，所以10a e <<.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1x ，2x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即1122ln ,ln x ax x ax ==.作差得，2211ln ()xa x x x =-，即2121lnx x a x x =-.所以不等式2111a x x <<，等价于212211ln11x x x x x x <<-，………………8分 下面先证21221ln1x x x x x <-，即证2211122ln 1x x x xx x x ->=-，令21x t x =，∵120x x <<，∴1t >，即证1ln 1t t >-（1t >），令1()ln 1g t t t =+-（1t >），则22111()0t g t t t t -'=-=>， ∴1()ln 1g t t t=+-在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，即1ln 1t t >-得证，从而21221ln1x x x x x <-得证；………………10分再证21211ln1x x x x x <-，即证2212111ln 1x x x xx x x -<=-，即证ln 1t t <-（1t >），令()ln 1h t t t =-+（1t >），则11()10th t t t-'=-=<，∴()ln 1h t t t =-+在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，即ln 1t t <-得证，从而21211ln1x x x x x <-得证， 综上所述，212211ln 11x x x x x x <<-成立，即2111a x x <<.………………12分。