2017-2018 南昌二中高一上学期第一次月考试卷

南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高一数学试卷命题人：孙涛 审题人：曹开文一、选择题（每小题5分，共60分。

） 1．下列给出的命题正确的是（ ）A.高中数学课本中的难题可以构成集合B.有理数集Q 是最大的数集C.空集是任何非空集合的真子集D.自然数集N 中最小的数是1 2．已知集合},02|{R x x xx M ∈≥-=，},12|{R x y y N x ∈+==，则=)(N M C R （ ） A.]2,0[ B. ]2,0( C.)2,(-∞ D. ]2,(-∞ 3.下面各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．35x y -= 与 x x y 5-=B ．122++=x x y 与 12y 2++=t t C ．2)3(x y = 与 x y 3= D ．22-•+=x x y 与 ()()22-+=x x y4．函数()0212)(++++=x x x x f 的定义域为（ ） A.(-1，+∞) B.（-2，-1) ∪(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.[-2，-1）∪(-1，+∞) 5.在映射中N M f →:,(){}Ry x y x y x M ∈>=,,,其中,(){}R y x y x N ∈=,,; ）对应到中的元素（y x M ,）中的元素（y x xy N +,，则N 中元素（4,5）的原像为（ ）A.（4,1）B.（20，1）C.（7,1）D.（1,4）或（4,1） 6.幂函数()132296m )(+-+-=m m xm x f ()∞+，在0上单调递增，则m 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2或4 7.函数()[]⎩⎨⎧<+≥-=10,6,10,2)(x x F F x x x F ，则()5F 的值为（ ）A.10B. 11C. 12D. 138．如果2()(1)1f x mx m x =+-+在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知)(x f 的图像关于y 轴对称，且在区间(]0-，∞单调递减，则满足)21()13(f x f <+的实数x 的取值范围是（ ） A. [-，21-61） B.（-，21-61）C. [-，31-61）D. (-，31-61） 10．已知函数()()()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．2a ≤-C ．32a -≤≤-D ．0a <11．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0≥m f f ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B．[)2,24,⎡-++∞⎣ C．2,2⎡-⎣ D ．[][)2,24,-+∞12．若函数)(x f 满足对任意的)](,[m n m n x <∈，都有km x f kn≤≤)( 成立，则称函数)(x f 在区间)](,[m n m n <上是“被K 约束的”。

若函数22)(a ax x x f +-=在区间)0](,1[>a a a上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,321， B ．]2,1( C ． ⎥⎦⎤⎝⎛2323， D ．]2,2( 二、填空题（每小题5分，共20分。

）13．已知全集U R =，集合{|2}A y y ==，2{|7120}B x x x =-+≤，则()U A C B = ．14.函数()3212--=x x x f 的单调增区间为 ．15. 函数212+-+=x x x y 的值域为 ．16．给出下列命题：(1)若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则函数)2(x f 的定义域为]4,0[；(2)已知集合{}{}1,0,1,,-==Q b a P ，则映射Q P f →:中满足()0=b f 的映射共有3个； (3)函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞；(4)若(12)(12)f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线1x =对称；(5)已知1x ,2x 是)(x f 定义域内的两个值,且12x x <，若12()()f x f x >,则)(x f 是减函数； 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题（共70分）17．已知集合{},62≤≤=x x A {}.213m x m x B <<+-= （1）若2=m ，求A ∪B, ()B A C R ⋂; （2）若A ∩B=A ，求m 的取值范围.18．已知函数()58-41-22+=x x x f ．（1） 求函数()x f 的解析式；（2） 若关于x 的不等式()02432>++-t t x f 在[﹣1，2]上有解，求实数t 的取值范围；19．已知定义在()1,1-的函数()21ax bf x x+=+满足：()00=f ，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式； （2）证明：()f x 在()1,1-上是增函数.20. 已知函数f (x )=1)1()1(22+++-x a x a ； (1)若f (x )的定义域为 (－∞,+∞)， 求实数a 的范围； (2)若f (x )的值域为 [0, +∞), 求实数a 的范围21．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知定义在区间()∞+，0上的函数()4()5f x t x x=+-，其中常数0t >． （1）若函数)(x f 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调，试求t 的取值范围； （2）当1t =时，方程()m x f =有四个不相等的实根1234,,,x x x x ． ①证明：123416x x x x =；②是否存在实数,a b ，使得函数)(x f 在区间[]b a ,单调，且)(x f 的取值范围为[]mb ma ,，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案1．C 难题不具有确定性，不能构造集合，A 错误； 实数集R 就比有理数集Q 大，B 错误； 空集是任何非空集合的真子集，故C 错误； 自然数集N 中最小的数是0，D 错误； 故选C ．2.D (]()+∞∞-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧≠-≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=,20,020)2(|02| x x x x x x x M ,{}()+∞=∈+==,1,12|R x y x N x ,()+∞=∴,2N M ,(]2,)(∞-=N M C R .3．B 对于A ：两函数的值域不同； 对于B:两函数的三要素完全相同，故为同一函数； 对于C:两函数与的定义域不同； 对于D ：两函数的定义域不同；故选项为B. 4．B 要使函数有意义，需使{10202≠+≥+≠+x x x 且，解得2->x 且1-≠x 故选B. 5. A 由{45==+xy y x 可得：{14==x y 或{41==x y ；又y x >,则{41==x y ，所以原像为（4,1），选A.6. C 由题意得：01319622>+-=+-m m m m ，且.,42C m m 故选（舍去）或者==⇒ 7.B ()()[]()()[]()1113159115=====F F F F F F F ，故选B.8．D 当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(],1-∞上为减函数，当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的图象对称轴为12mx m-=，且函数在区间(],1-∞上为减函数，0112m mm>⎧⎪∴-⎨≥⎪⎩，求得103m <≤，∈∴m 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D. 9．B )(x f 的图像关于y 轴对称，且在区间(]0-，∞单调递减，则)(x f 在),0[+∞单调递增函数；再由)21()13(f x f <+，可得2113<+x ，解出即得6121-<<-x ；故选B ． 10．C 由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≤--<≥-aa a a60,12且，得⎩⎨⎧-≥-≤32a a ，即32a -≤≤-.故选C.11．B 因为令()f m n =，则()()0ff m ≥就是()0f n ≥．画出函数()f x 的图象可知，11n -≤≤，或3n ≥，即()11f m -≤≤或()3f m ≥．由11x -=-得，2x =或2x =-．由2431,2x x x -+==±．由2433x x -+=得，0x =或4x =．再根据图象得到[)2,24,m ⎡-+∞⎣∈+，故选D.12．B 据题意得：22122x ax a a a ≤-+≤对任意的x ∈)0](,1[>a a a 都成立.由1a a>得1a >. 22111()12112f a a a a=-+>-=>恒成立. 由222()2f a a aa a a a =-+=≤得2a ≤.因为1a >，所以222211()111f a a a a a=-+<-+=.22()f x x ax a =-+的对称轴为2a x =.由231()242a a f a =≥得a ≥.1<，所以a 的取值范围为]2,1(.选B.13.[2,3) {|2}{|04}A y y y y ==≤≤，2{|7120}{|25}B x x x x x =-+≤=≤≤，所以(){|23}U A C B x x =≤<．14．)1,(--∞ 由0322>--x x ，得1-<x 或3>x ．321)(2--=x x x f 可看作t y 1=,322--=x x t 复合而成的，而t y 1=单调递减，要求321)(2--=x x x f 的增区间，只需求322--=x x t 的减区间即可，322--=x x t 的增区间为)1,(--∞，所以321)(2--=x x x f 的增区间为)1,(--∞.15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,71-由.1,71-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆法可得：值域为者换元构造双勾型函数或 16.(2)(4) （1）因为)(x f 的定义域为]2,0[，由022x ≤≤得01x ≤≤，所以)2(x f 定义域为[]0,1，故(1)错； (2)()0f b =时，()f a 可取的值为1,0,1-，所以满足()0=b f 的映射共有3个，故(2)正确； （3）由反比例函数的图象和性质知，1()f x x=的单调递减区间有两个，(),0-∞和()0,+∞，故(3)错； (4) 因为()()1212f x f x +=-，令()()2,11t x f t f t =+=-，所以函数()f x 的图象自身关于直线1x =对称,故(4)正确；()21,5x x 必须是任意取值，故（5）错误.17.（1）∵m=2∴A={x ∣2≤x ≤6}, {},45<<-=x x B {},62><=x x x A C R 或∴{},65≤<-=⋃x x B A {}.25)(<<-=⋂x x B A C R（2） ∵A ∩B=A ∴B A ⊆ ∴⎩⎨⎧<<+-m m 26213 ∴).,3(,3331+∞∈>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->m m m m 则18.（1）换元法：令t=2x-121+⇒t ()22521821422+-=++•-⎪⎭⎫⎝⎛+=⇒t t t t t f 所以 f （x ）=x 2﹣2x+2 ．（2）f （x ）=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1， 对称轴为x=1∈[﹣1，2]， 又f （﹣1）=5， f （2）=2， 所以f max （x ）=f （﹣1）=5． 关于x 的不等式()02432>++-t t x f 在[﹣1，2]有解，则()max 22-4-3x f t t <07-4-32<⇒t t ()()0173<+-⇒t t 371-<<⇒t 所以实数t 的取值范围为.371,-⎪⎭⎫ ⎝⎛． 19.（1）由()00=f 得：⇒=0b ()21axf x x =+，又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1a =；则()21x f x x =+.（2）()，且任取2121,1,1,x x x x <-∈ 则()()()()()()222122122211222*********x x x x x x x x x x x x x f x f +++-+=+-+=-()()()()()()()()()();11111x -22212121222112212121x x x x x x x x x x x x x x f x f ++--=++-+=-⇒又1211x x -<<<，∴221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而()()120f x f x -<， 即()()12f x f x < 故()f x 在()1,1-上是增函数．20. (1）依题意可得：(a 2－1）x 2+(a +1)x +1≥0对一切x ∈R 恒成立； 当时，012=-a 即;11-==a a 或01:1=a 不符合，舍去；,21012-≥⇒≥+x x :120-=a 1显然符合；,0≥当a 2－1≠0时，即；且11-≠≠a a ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+=∆>-014101222a a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤>-<⇒35111a a a a 或或 ∴a ＜－1或35≥a . 故).,35[]1,(+∞⋃--∞∈a(2）依题意可得：只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到所有的正数; 当时，012=-a 即;11-==a a 或01:1=a 显然符合；,12+=x t :120-=a t=1显然不符合，舍去；, 当a 2－1≠0时，即⇒-≠≠11a a 且⎩⎨⎧≥∆>-0012a ⇒1＜a ≤35; 则1≤a ≤35⇒.35,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a 21．（1）由题设知，024=+-c b a ① 令22122+=x x ，解得2=x ， 由题意可得2221)2(222+⨯≤≤⨯f ， 即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ， 即424=++c b a ② 由①、②可得1,42=-=b a c ． 又x x f 2)(≥恒成立， 即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立， 所以0>a ，且04)2(2≤--=∆ac b ， 即0)42(4)21(2≤---a a ，所以41=a ，从而142=-=a c ． 因此函数)(x f 的解析式为 141)(2++=x x x f ． （2）由)2()(x f t x f <+得122411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++xx t x t x ，整理得 0)382)(2(<+++t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3822+-<<-t x t ， 此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾．当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 2382-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-121382t t ，解得2125-<<-t ． 综合可知，t 的范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,25． 22． （1）设4()()h x t x x =+ ∵0t > ∴()h x 分别在(0,2),(2,)+∞上单调 且()4h x t ≥；要使()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调则只需54504t t -≥⇒≥⇒).,45[+∞∈t（2）①当1t =时，44()5()5x m x m x x +-=⇒+-=或4()5x m x+-=- 即2(5)40x m x -++=或2(5)40x m x +-+=； ∵1234,,,x x x x 为方程()f x m=的四个不相等的实根∴由根与系数的关系得12344416x x x x =⨯= 则得证.②如图，可知01m <<，()f x 在(0,1)、(1,2)、(2,4)、(4,)+∞均为单调函数1[](],0,1a b ⊆: ()f x 在[],a b 上单调递减, 则()()f a mb f b ma=⎧⎨=⎩ 两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=∵(],0,1a b ∈ ∴上式不成立 即,a b 无解，m 无取值;2[](],1,2a b ⊆: ()f x 在[],a b 上单调递增, 则()()f a maf b mb=⎧⎨=⎩ 即2451m a a =-+-在(]1,2a ∈有两个不等实根 ; 而令11,12t a ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭则2245591()4()816t t a a ϕ-+-==--+ 作()t ϕ在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭的图像可知，19216m ≤< ; 03[](],2,4a b ⊆: ()f x 在[],a b 上单调递减, 则()()f a mb f b ma=⎧⎨=⎩ 两式相除整理得()(5)0a b a b -+-= ∴5a b += ∴5b a a =-> ∴522a <<由45a mb a--+=得24544115255(5)()24a a m a a a a --==+=+---- 则m 关于a 的函数是单调的，而455a a m a--=-应有两个不同的解 ∴此种情况无解,舍去； 04[][),4,a b ⊆+∞: 同01可以解得m 无取值；综上，m 的取值范围为19,216⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。