21.2.1二次根式的乘法
21.2《二次根式的乘法》
(3) 200a b c
3 2
5
4
3
2 3
(4) 20 16 (5) 4m n 8m n
三、趁热打铁
4、（2012广东肇庆，11，3）计算 【解析】 1 1 20 20 4 2 5 5 5、（2012福州，13，4分，）若 20n 是整数，则正整数n的最 小值为 。 解析：先将化为最简二次根式，即，因此 要使是整数，正整数n的最小值为5. 答案：5
三、趁热打铁
3. 化简：
(1) 8 ____ 12 ____ 18 ____ 20 _____ 24 ____ 27 ____ 32 _____ 45 ____ 48 ____ 72 _____ 75 ____ 300 ____ (2) 14 112
1 6 2
35
3
(3)原式 9 27 92 3 9 3
(4)原式 3
一、温故知新
（二）、讲解新课
二次根式的乘法法则的逆用（积的算术平方根）
ab a b （a≥0，b≥0）
思考：该公式的作用是什么？ 化简二次根式 拓展: 1.对于多个非负因数的积的算术平方根 ,则:
1 2
3
- 3 3 _____ 2 6 ＜
1 20 的结果是_____． 5
三、趁热打铁
明辨是非
6、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
(4) (9) 36 6
积的算术平方根成立的条件
ab a b （a≥0，b≥0）
例 : 能使 x (2 x ) x 2 x 成立
6 20 60
【练闯考】华师版九年级数学上册全章学案：第21章%E3%80%80二次根式
第21章 二次根式21．1 二次根式1.a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a ，即有：(1)a __≥__0(a ≥0)；(2)(a )2＝__a __(a ≥0)． 2．形如a __(a ≥0)__的式子叫做二次根式．3.a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a （a ≥0）－a （a <0）知识点1：(a )2＝a (a ≥0) 1．计算：(2015)2＝__2015__；(53)2＝__53__． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)7＝；(2)8.3＝；(3)112＝；(4)t ＝t ≥0)． 知识点2：二次根式的概念3．下列式子：①4；②12；③－5；④38；⑤（－1）2.其中二次根式的个数有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列式子中，一定是二次根式的有( C ) a ，－22，－x 2＋1，（－13）2，3－2，32x 2，π.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点3：二次根式有意义的条件5．(2014·武汉)若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 6．(2014·巴中)要使式子m ＋1m －1有意义，则m 的取值范围是( D ) A ．m >－1 B ．m ≥－1C ．m >－1且m ≠1D ．m ≥－1且m ≠17．下列四个式子中，x 的取值范围为x ≥2的是( C )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x8．使二次根式－（x －1）2有意义的x 的取值范围是__x ＝1__． 知识点4：二次根式的性质 9．计算（－3）2的结果是( B ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9 10．如果（3a －2）2＝2－3a ，则( B ) A ．a <23 B ．a ≤23C ．a >23D ．a ≥2311．化简下列各式： (1)4； 解：2 (2)49； 解：7(3)2025； 解：45(4)（－5）2； 解：5 (5)－（13）2； 解：－13(6)4×10－4. 解：2×10－212．已知－1≤a ≤1，下列是二次根式的为( C ) A.a －12B.1－1aC.1－a 2D.a13．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( B )A ．5B ．6C ．7D ．814．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( A )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定15．已知点P (x ，y )在函数y ＝1x 2＋－x 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·张家界)若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2014等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2014 D ．－2014 17．使代数式2x －13－x有意义的x 的取值范围是__x ≥12且x ≠3__．18．(2014·德州)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y)y ＝__14__．19．x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x ＋1－2－x ； 解：－1≤x ≤2 (2)53－2x； 解：x<32(3)41－x . 解：x ≥0且x ≠120．(1)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，试求x 2015－y 2015的值．(2)若a ，b 为实数，且a ＝b －7＋14－2b ＋2，求a ＋b 的平方根．解：(1)由已知得1＋x ＋(1－y )1－y ＝0，由于1＋x ≥0，1－y ≥0，故根据非负数的性质可得：1＋x ＝0，1－y ＝0，解得x ＝－1，y ＝1，代入则有x 2015－y 2015＝(－1)2015－12015＝－1－1＝－2 (2)由于b －7≥0，14－2b ≥0，则有b ≥7，b ≤7，故b ＝7，所以a ＝2，所以a ＋b 的平方根为±321．甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝15. 甲同学的解法是：原式＝1a ＋（1a －a ）2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝10－15＝495. 乙同学的解法是：原式＝1a＋（a －1a ）2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15.请问哪位同学的解法正确？请说明理由． 解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵1a2＋a 2－2＝（a －1a ）2＝|1a－a|，且a＝15，即1a ＝5.∴1a >a.∴1a －a>0.∴|1a －a|＝1a －a.乙同学在去绝对值时忽略了1a 与a 的大小关系，导致错误21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法 21．2.2 积的算术平方根1.a ·b ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根．2.ab ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__．知识点1：二次根式的乘法 1．计算：(2014·河北)8×12＝__2__；2×18＝__6__；35×16920＝__34__． 2．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( C ) A ．x >1 B ．x <－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 4．计算： (1)98×2； 解：14(2)52×10； 解：5(3)36×167；解：1242(4)6a 3×3a2(a ≥0)． 解：3a 25．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地考察，为了考查一下同学们的数学应用能力，他把长方形的基地设计长为8020米，宽为345米，请同学们算出这块实验基地的面积．解：这块实验基地的面积为8020×345＝240900＝240×30＝7 200(平方米)知识点2：积的算术平方根6．化简二次根式（－3）2×6得( B ) A ．－3 6 B ．3 6 C ．±3 6 D ．67．若等式9－x2＝3－x·3＋x成立，则x的取值范围是( A )A．－3≤x≤3 B．x>－3C．x<3 D．－3<x<38．化简：(1)48＝；(2)－72＝；(3)－135＝．9．化简：(1)108；解：63(2)（－5）×（－90）；解：152(3)292－212；解：20(4)18x2yz3(x≥0，y≥0，z≥0)．解：3xz2yz10．下列化简正确的是( B )A.（－4）×（－9）＝－4×－9＝6B.12×27＝4×81＝18C.16＋4＝16＋4＝4＋2＝6D.414＝4×14＝2×12＝111．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54，则下列正确的是( A ) A ．3ab B ．2ab C ．ab 2 D ．a 2b 13．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5<m <6 B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－514．若点P (x ，y )在第二象限内，化简x 2y 的结果是． 15．比较大小：(1)23__<__32；(2)－211__>__－3 5. 16．将根号外面的因数移到根号内：35＝，212＝；－656＝，a －1a＝． 17．若20n 是整数，则正整数n 的最小值是__5__． 18．计算： (1)15×60； 解：23 (2)6×1218； 解：33(3)3220×(－1215)×(－1324)． 解：15219．化简： (1)3200；解：402 (2)－21×（－28）； 解：143(3)43×92×5；解：725 (4)1327x 2y 3z 4(xy ≥0)．解：xyz 23y20．小强在计算机课上设计了一幅长140π cm ，宽35π cm 的矩形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．解：设圆的半径为r cm ，则140π×35π＝πr 2，35×4×35π2＝πr 2，∴70π＝πr 2，∴r 2＝70，∴r ＝70，即圆的半径为70 cm21．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 338＝3＋38. 验证： 338＝32×38＝338＝33－3＋332－1＝3（32－1）＋332－1＝3（32－1）32－1＋332－1＝3＋38 同理可得：4415＝4＋415，5524＝5＋524，……通过上述探究你能猜测出：a aa 2－1＝a >1)，并验证你的结论． 解：a aa 2－1＝a ＋a a 2－1，验证：a aa 2－1＝a 2·a a 2－1＝a 3a 2－1＝a 3－a ＋aa 2－1＝a 3－a a 2－1＋aa 2－1＝a （a 2－1）a 2－1＋aa 2－1＝a ＋aa 2－121.2.3 二次根式的除法1.a b＝a __≥__0，b __>__0)．即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的__商__的算术平方根．2.a b ＝a __≥__，b __>__0)．即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的__商__．3．被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__的二次根式称为最简二次根式．4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个__恰当的二次根式__就可以了，这种化简过程称为分母有理化．知识点1：二次根式的除法 1．计算：10÷2＝( A ) A.5 B ．5 C.52 D.1022．菱形ABCD 的面积为27，对角线AC 的长为23，则对角线BD 的长为( D ) A.92 B ．9 C.32D ．3 3．等式x x －2＝xx －2成立的条件为__x>2__．4．计算下列各题： (1)60÷5；解：23 (2)2423；解：2 (3)45÷215； 解：6 (4)2a 2bb(a ≥0)．解：2a知识点2：商的算术平方根5．下列各式计算正确的是( C )A.－4－9＝－4－9＝－2－3＝23B.429＝213 2C.4×225＝25 2D.1249＝7126．(2014·济宁)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( B )A．①②B．②③C．①③D．①②③7．化简：(1)11549；(2)6316；(3)25a481b2(b>0)．解：(1)87(2)374(3)5a29b知识点3：最简二次根式8．下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.139．把下列各个二次根式化为最简二次根式．(1)8a2b3(a≥0)；解：2ab2b(2)83；解：236(3) 4.8；解：2305(4)3y32x2(x>0)．解：y 2x6y10．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16 B.326＝13C.3663＝22D.698＝27 11．下列二次根式中：12，12a ，30， 1.6，a 2－b 2，5a 3，a 2，a2，9x ＋18y ，最简二次根式有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．在化简323时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是：甲：原式＝3×23＝3×2×33×3＝6；乙：原式＝3×69＝3×69＝6；丙：原式＝32×23＝ 6.其中解答正确的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确13．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.24，则下列表示正确的是( B ) A ．2ab B ．0.2ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b14．计算：(1)3850＝__65__；(2)26315＝15；(3)－3227＝__3；(4)12＋13＝6．15．已知点A (x 1，－3)，B (22，y 2)都在反比例函数y ＝－32x的图象上，则x 1＝__，y 2＝__－32__．16．把(a －b )1b －a的根号外的因式移到根号内的结果是． 17．计算： (1)18÷8×272；解：946(2)30×32223÷2212； 解：32 (3)945÷212×32223. 解：54318．先化简，再求值：xx 3－2x 2÷x －2x －2，其中x ＝8. 解：原式＝1x，当x ＝8时，原式＝2419．进行二次根式化简时，有时会碰到像53，23＋1这样的式子，其实还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝533；23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以这样化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.请选择适当的方法化简：(1)13－1；(2)25＋3；(3)143－7.解：(1)13－1＝3＋1（3－1）（3＋1）＝3＋12(2)25＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3(3)143－7＝43＋7（43－7）（43＋7）＝43＋7－1＝－43－721.3二次根式的加减1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．知识点1：同类二次根式1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是( C )A.12 B.8 C.12 D.182．下列各式中与3是同类二次根式的是( C )A.24B.23 C.27 D.0.33．如果最简二次根式3a－8和17－2a是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点2：二次根式的加减4．下列计算正确的是( C )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 25．(2014·哈尔滨)计算：12－3＝．6．计算：(1)45－1480＋515－53145；解：25(2)(30.5－613)－(218－20－2927)． 解：2－433＋25知识点3：二次根式的运算与乘法公式7．若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则xy 的值是( D ) A ．2a B ．2b C ．a ＋b D ．a －b8．已知a ＝22＋3，b ＝22－3，则：(1)a ＋b ＝； (2)a －b ＝__6__； (3)ab ＝__－1__； (4)a 2＋b 2＝__34__；(5)a 2－2ab ＋b 2＝__36__． 9．计算：(1)(2＋3)(2－3)； 解：－1 (2)(2－12)2； 解：12(3)(5＋32)2. 解：23＋610知识点4：二次根式的混合运算 10．(2014·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D ) A ．242 B ．12 5 C ．1213 D ．18 211．计算：24－18×13＝．12．计算：(1)(54－12＋1)÷3； 解：32－2＋33(2)45×35＋3(5－2)． 解：3＋1513．计算412＋313－8的结果是( B ) A.3＋2 B.3 C.33D.3－ 2 14．下列计算正确的是( D ) A ．(22－3)(2＋3)＝－1 B ．(2＋5)(2－5)＝1 C.6÷(2－3)＝3－ 2D.27－123＝9－4＝115．计算32×12＋2×5的结果估计在( A ) A ．7到8之间 B ．8到9之间 C ．9到10之间 D ．10到11之间16．已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．计算：(26＋5)2015×(26－5)2016＝．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m 2，18 m 2，32 m 2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为19．计算：(1)(212－6118＋348)×52；解：806－10(2)(318＋1550－412)÷32； 解：2(3)(2014·荆门)24×13－4×18×(1－2)0. 解：220．已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值： (1)ab 2＋a 2b ；解：原式＝ab (b ＋a )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝67(2)a 2－2ab ＋b 2；解：原式＝(a －b )2.当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝16(3)a 2－b 2.解：原式＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝8721．阅读下列解题过程：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1， 13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－ 2.请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1n ＋n －1的值；(2)利用上面的规律计算： (11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋12013＋2014＋12014＋2015)×(1＋2015)． 解：(1)1n ＋n －1＝n －n －1 (2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…2014－2013＋2015－2014)×(1＋2015)＝(2015－1)(2015＋1)＝(2015)2－12＝2014综合练习 二次根式的化简与运算1．(2014·徐州)下列运算中错误的是( A ) A.2＋3＝5 B.2×3＝ 6 C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 2．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11333．估算50＋232的值在( C ) A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．55．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥66．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( D ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．107．若a ＝3－10，则代数式a 2－6a －2的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.108．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝__1__．9．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为32和45，则此等腰三角形的周长为． 11．观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，请写出满足上述规律的用n (n 为任意自然数，且n ≥3)表示的等式：__．12．计算：(1)32－212－418＋348； 解：22＋83(2)(0.5－213)－(132－75)； 解：382＋1333(3)212÷1550×1234； 解：322(4)(548＋12－627)÷3； 解：4(5)(3＋2－5)(3－2－5)． 解：6－21513．化简：18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.解：原式＝32－322－(1＋2)＋1＋|1－2|＝32－322－1－2＋1＋2－1＝322－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5.求8※12的值．解：8※12＝8＋128－12＝20－4＝25－4＝－5215．已知x－1＝3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝3时，原式＝(3)2＝316．已知x，y为实数，且y＝3－x＋4x－12＋1，化简(5－x)2|y－3|－y2－8y＋16.解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－（y－4）2＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝ 5.求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE ⊥AB ，DE ＝AE ＝5，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝（5）2＋（5）2＝10.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，DC ＝AB ＝2 5.∴▱ABCD 的周长为AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝2(10＋25)＝210＋4 5.▱ABCD 的面积为AB ×DE ＝25×5＝1018．已知a －b ＝5＋3，b －c ＝5－ 3. (1)求a －c 的值；解：a －c ＝(a －b )＋(b －c )＝25(2)求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值．解：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝1819．已知等式|a －2014|＋a －2015＝a 成立，求a －20142的值． 解：∵a －2015≥0，∴a ≥2015.∴|a －2014|＝a －2014.∴a －2014＋a －2015＝a.∴a －2015＝2014.∴a －2015＝20142.∴a －20142＝201520．已知11－1的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(11＋a )(b ＋1)的值． 解：∵3<11<4，∴2<11－1<3，故11－1的整数部分是2，即a ＝2，∴11－1的小数部分是11－1－2＝11－3，即b ＝11－3.∴(11＋a )(b ＋1)＝(11＋2)(11－3＋1)＝第21页 (11＋2)(11－2)＝(11)2－22＝721．观察下列等式及验证过程： 12－13＝1223；12（13－14）＝1338； 13（14－15）＝14415. 验证：12－13＝222×3＝1223； 12（13－14）＝12×3×4＝32×32×4＝1338. (1)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14（15－16）的变形结果及验证过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n 表示的等式，并验证．(n 为自然数) 解：(1)14（15－16）＝15524 验证：14（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15524(2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1 验证：1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ·（n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1。
华东师大版九年级数学上册教案全册
华东师大版九年级数学上册教案全册目录21.1《二次根式》教案21.2.1《二次根式的乘法》教案21.2.2《积的算术平方根》教案21.2.3《二次根式的除法》教案21.3《二次根式的加减》教案22.1《一元二次方程》教案22.2.1《直接开平方法和因式分解法》教案22.2.2《配方法》教案22.2.3《公式法》教案22.2.4《一元二次方程根的判别式》教案22.2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案22.3《实践与探索》教案23.1.1《成比例线段》教案23.1.2《平行线分线段成比例》教案23.2《相似图形》教案23.3.1《相似三角形》教案23.3.2《相似三角形的判定（第1课时）》教案23.3.2《相似三角形的判定（第2课时）》教案23.3.3《相似三角形的性质》教案23.3.4《相似三角形的应用》教案23.4《中位线》教案23.5《位似图形》教案23.6.1《用坐标确定位置》教案23.6.2《图形的变换与坐标》教案24.1《测量》教案24.2《直角三角形的性质》教案24.3.1《锐角三角函数（第1课时）》教案24.3.1《锐角三角函数（第2课时）》教案24.3.2《用计算器求锐角三角函数值》教案24.4《解直角三角形（第1课时）》教案24.4《解直角三角形（第2课时）》教案24.4《解直角三角形（第3课时）》教案25.1《在重复试验中观察不确定现象》教案25.2.1《概率及其意义》教案25.2.2《频率与概率》教案25.2.3《列举所有机会均等的结果》教案第21章《二次根式》复习》教案第22章《一元二次方程》复习》教案第23章《图形的相似》复习》教案第24章《解直角三角形》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习教案二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a ≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a （a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a ≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化理解b简.【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运由具体数据发现规律，导出b用它进行计算.【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究通过探究b精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出a•=ab（a≥0,b≥0）.b二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab（a≥0，b≥0）.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b0）.【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出ba•=ab（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=b2.运用ab=ba•（a≥0,b≥0）.【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解利用逆向思维，得出ab=b题和化简.【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过让学生推导ab=b严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.反过来，ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规a•（a≥0,b≥0）.定，利用逆向思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab=ba•（a≥0,b≥0）直接化简即可.例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.1gt2（g为重力加速度，它的值为2.自由落体的公式为s=210m/s2），若物体下落的高度为120m，则下落的时间是s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即a•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），ba b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来, bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2. 【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解 1.化简：3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB 的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x2=25；4x2-25=0；（2）x（x-2）=100；x2-2x-100=0；（3）x=（1-x）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.3.∴4a+8-5=0解得：a=-4四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得：x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x+2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x2-4x-8=0（2）x2-4x+2=01x-1=0（3）x2-22.如果x2-4x+y2+6y+2 z+13=0，求（xy）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c 代入式子aac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根.（2）aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x 2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0 （2）x2-2x-41=0 （3）x2+4x+8=2x+11 （4）x（x-4）=2-8x （5）x2+2x=0（6）x2+25x+10=0 解：（1）x1=3,x2=-4;（2）x1=232+,x2=232-；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1=-2+6，x2=-2-6；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
数学：21.2-第1课时《二次根式的乘法》课件(人教版九年级上)
[单选,A2型题,A1/A2型题]下列小儿腹股沟疝的临床特点中，错误的是（）A.出生后腹膜鞘状突未闭B.腹股沟区解剖结构薄弱、腹肌松弛是疝发生的主要原因C.最常用的治疗方法是疝囊高位结扎术D.发生率最高的是腹股沟斜疝E.部分可采取保守治疗治愈 [填空题]金属材质的（）、（）、（）等对WLAN无线信号的影响非常大。 [单选]如果用户声音小听不清，话务员应使用的规范用语是“（）”。A、听不见，请大声点儿B、我没有听清C、对不起，请重说D、对不起，您的声音听不清，请您大点声再讲一遍 [单选]我国目前使用的人民币非现金支付工具主要包括“三票一卡”的结算方式。“三票一卡”指（）。A.现金支票、转账支票、本票和信用卡B.现金支票、转账支票、本票和银行卡C.支票、汇票、本票和银行卡D.支票、汇票、本票和信用卡 [问答题,简答题]货运检查作业基本程序中计划安排和准备有何规定？ [名词解释]螺旋式卵裂 [填空题]电缆采用直埋敷设时，表面距地面的距离不应小于（）。 [填空题]就相对密度而论，轻质原油的相对密度<（）。 [单选]区别血分证和营分证的基本要点是：（）.A.身热躁扰B.昏狂谵妄C.斑疹隐隐D.吐血衄血 [单选,A1型题]患者男，50岁。患左下肢静脉曲张20年，行大隐静脉高位结扎，加小腿静脉分段结扎。术后3小时起立行走时，小腿处伤口突然出血不止。紧急处理应（）A.就地站立位包扎B.指压止血C.用止血带D.钳央止血E.平卧，抬高患肢，加压包扎 [问答题,简答题]简述伤口换药。 [单选]下列各项中，不会引起利润总额增减变化的是()。A.销售费用B.管理费用C.所得税费用D.营业外支出 [名词解释]拉面罩(FACEMASK) [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是溶血的实验诊断依据（）A.网织红细胞计数增高B.骨髓红系增生明显活跃C.间接胆红素升高D.尿胆原增高E.血清游离血红蛋白<40mg/L [填空题]冬季内燃机车进入暖库时，应在（）下进入，以免牵引电动机（）表面结霜。 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者，女性，30岁，因外伤造成右肱骨中段骨折伴伸腕无力，外固定保守治疗8周，伸腕仍无力。患者进行了I／t曲线测定，证实为部分失神经曲线，其基强度为2．0mA，时值为多少毫安对应的刺激时间（）A.2B.8C.6D.4E.3 [问答题,案例分析题]背景材料： [单选]往浅绿色的Fe（NO3）2溶液中逐滴加入稀盐酸后，溶液的颜色应该是（）。A．颜色变浅B．逐渐加深C．没有改变D．变棕黄色 [多选]下列各项中，影响当期营业利润的有()。A.所得税费用B.固定资产减值损失C.销售商品收入D.投资性房地产公允价值变动收益 [单选]已知某工程双代号网络图如下，按照计划安排F工作的最早开始时间为()。A.第l0天B.第l2天C.第l4天D.第l7天 [单选]甲企业拟对外投资一项目，项目开始时一次性总投资500万元，建设期为2年，使用期为6年。若企业要求的年投资报酬率为8%，则该企业年均从该项目获得的收益为（）万元。［已知年利率为8%时，8年的年金现值系数为5.7466，2年的年金现值系数为1.7833，计算结果保留两位小数］ [单选]以下树种中，常绿树种的是（）A.红松B.丁香C.黄刺玫D.忍冬 [多选]注视打开的电灯几分钟后闭上眼睛，眼前会产生一片黑背景，黑背景中间有一电灯形式的光亮形状，这就是（）A．后像B．继时对比C．正后像D．无彩色对比 [单选]从一种成熟组织或细胞转变为另一种同类型组织或细胞的过程称为()A．间变B．发育不良C．增生D．化生E．癌形成 [单选]WAIS-RC的数字符号分测验在正式测验时，限时（）秒。A.90B.60C.120D.30 [单选]碳化液在较大的过饱和度下开始结晶时，由于成核速率与相应的晶体成长速率相比要（），因此所得成品粒度会（）。A、快，大B、快，小C、慢，大D、慢，小 [填空题]裁片的排放是以裁片的（）要求而定的。 [单选]胃超声检查如图，正常胃壁由外到内顺序，应该为哪几层A.浆膜层、肌层、粘膜下层、粘膜层B.粘膜层、粘膜下层、肌层、浆膜层C.粘膜下层、粘膜层、肌层、浆膜层D.浆膜层、肌层、粘膜层、粘膜下层E.浆膜层、肌层、粘膜层 [单选]当采用专用变压器、TN-S接零保护供电系统的施工现场，电气设备的金属外壳必须与()连接。A.保护地线B.保护零线C.工作零线D.工作地线 [名词解释]标本火化服务 [填空题]依据观赏植物对水分的不同需要可分为：水生观赏植物、中生观赏植物、（）、旱生观赏植物。 [单选]具有混合芽的花卉植物开花时一般（）。A、先叶后花B、花叶同放C、先花后叶D、花芽败育 [多选]引起性病性淋巴肉芽肿的沙眼衣原体亚型是()A．L-1型B．L-2型C．L-3型D．L-4型 [单选,A2型题]生后7天足月正常产新生儿，地段保健医师进行家庭巡视时发现其全身皮肤黄染，但反应正常，此时最佳处理方法是（）A.该新生儿需要立即去医院接受检查治疗B.无须特殊处理C.停止母乳喂养，改牛乳喂养D.注意保温，多饮水E.口服抗生素 [单选]心室颤动时，首次直流电除颤用（）A.100JB.150JC.200JD.300JE.360J或以上 [单选,A1型题]诊断慢性支气管炎的主要依据是（）A.病史B.阳性体征C.胸部X线检查D.心电图改变E.肺功能检查 [单选]“春伤于风，邪气留连”而发生的病证是（）。A.疟疾B.洞泄C.温病D.咳嗽E.濡泻 [单选]和心导管所测肺毛细血管楔压呈线性相关的超声参数是（）。A.DTB.IVRTC.E/AD.E/EaE.S/D [单选]（）负担指农民依照法律法规和政策规定向国家提供的经济和劳务负担。A.国家B.隐性C.社会D.显性 [问答题,简答题]患者，男性，26岁，左侧前臂车床切割伤2小时，伤口长5cm，深至皮下组织，伤口污染严重。请为患者行清创术。
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
22.2.1二次根式的乘除(一)
21.2.1二次根式的乘除（一）学案稿学习目标：1.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则.2.能运用二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 进行乘法运算.3.理解积的算术平方根的意义，会用公式)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 化简二次根式. 重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用.学习过程：一.复习回顾：填空：（1）4×9=____， 49⨯=____； 4×9__49⨯（2）16×25=____，1625⨯=___； 16×25__1625⨯（3）100×36=___，10036⨯=___． 100×36__10036⨯二.合作探究：请观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？)0__,0________(b a b a =⋅ 反过来: )0__,0___________(b a ab = 文字描述： 例1、计算 （1）75⨯ （2）931⨯ （3）10263⨯ （4）)0(515≥⋅a ay a 解：（1）75⨯=__5⨯=35例2、化简（1）169⨯（2）8116⨯（3）10081⨯（4）)0,0(922≥≥y x y x （5）54解：（1）169⨯=__9⨯=__3⨯=__三.巩固练习1.计算：① 16×8 ②55×215 ③312a ·)0,0(312≥≥y a ay2.化简:①20; ②18; ③24; ④54; ⑤2212a b )0,0(≥≥b a3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83。
21.2二次根式的乘除(共4课时)
21.2二次根式的乘除（共四课时）第一课时：二次根式的乘法例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．例2 化简（1）（2）（3）（4）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．三、比一比谁最强（每组一个代表展示）1.化简:（1）612⨯；（2）15432⨯；（3）aba216⋅.2.化简:（1）12149⨯；（2）289；（3）28y；（4）4364zxy.（5）3.一个矩形的长和宽分别是10cm和cm22，求这个矩形的面积.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）（2）×=4××=4×=4=8课堂小结（1） ·＝=（a ≥0，b ≥0），=·（a ≥0，b ≥0）及其运用．求这个等边三角形的面积六、课后练习 1．计算:(1)57⨯； (2)2731⨯；(3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简： (1)3227yx ；(2)aba 1832⋅.3.等边三角形的边长是3，第二课时：二次根式的除法例1．计算： （1）（2）（3）（4）练习1．例2 化简．例3 计算 ．；1050(2) ； 232)1(()1075143÷6152112)4(÷()()2925210031;yx ()()()a283;27232;531练习把下列各式化简：课堂小结1．利用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．二次根式的除法常用方法． 3．化简二次根式的常见方法． 四、课堂知识反馈1．在横线上填写适当的数或式子使等式成立． ()()()()()()()()6234113105522481=-=⨯-=⨯=⨯a a2．把下列各式的分母有理化：()()()()xyyaa 42410532723283812-3．计算： ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷-41223481929519173241－）（b a 22＋）（a40323）（第三课时：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重点：最简二次根式的运用．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1，（2），（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1 km，•那么它们的传播半径的比是_________．h2二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．.例1．(1) ;例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．三、巩固练习教材P11练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、课后练习一、选择题A C1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A （y>0）B y>0）C yy>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A =±12C 2D ．4-的结果是（ ）A ．-3B ．2C ．-3D ． 二、填空题1．（x ≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y=12x +第四课时：二次根式的乘除（复习）梳理基本知识1、＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），2、=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>03、计算（1）×（2）（4）二、应用拓展例1．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．例2．探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）2=验证：2=×====（2）3=验证：3=×====()1075143÷同理可得：4 5，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．三、归纳小结本节课你学到了什么四、课堂练习一、选择题1．计算的结果是（）．A． B． C． D．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2 B．6 C． D．二、填空题1．分母有理化:(1) =______;(2) =______;(3) =______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）3．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
博文学校初中部九年数学导学案课题：21.2.1二次根式的乘法课型：新课编写：施文波审核：_施文波_ 领导签字：_________ 组号____ 班级_________ 学生姓名：____________ 时间：2013年6 月日No. 3
21.2.1二次根式的乘法
一、学习目标
a≥0，b≥0）
a≥0，b≥0），
并利用它们进行计算和化简
二、学习重点、难点
重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二
次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习引入
1．填空：（1
）
（2
=____
；∴
（3
．
（二）、探索新知
一般地，对二次根式的乘法规定为
例1、计算
（1
（2
（3）×
（4
例2、化简
（1
（2（3（4
（5
（三）巩固练习
（
1）计算：①
②55×2
15
③3
12a
·2
3
1
ay
（2）化简
（3）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
=
=4
（四）展示反馈
请大家讨论：对于9×27的运算中是否把它变成243后再进行计算，
你有什么好办法？
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计
算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数化或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
（五）达标测试： 1、选择题
（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=85
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206
（3）二次根式6)2(2
⨯-的计算结果是（ ）
A ．26
B ．-26
C ．6
D ．12
（4）若04
1
44222=+
-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 （5）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8
B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=
C ．5251694322==+=+
D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=- 2、计算：
（1）360； （2）4
32x ；
（3）3018⨯； （4）75
2
3⨯；
2、计算：（1）68×（-26）； （2
3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3
32 (2) a
a 212-
学后记：。