14-15厦门大学微积分I高等数学期末试卷(A卷)
高等数学微积分期末试卷及答案
选择题（6×２）
1.设f (x) 2cosx , g(x) ( 1)sin x 在区间（0， ）内（ ）。
2
2
Ａf (x)是增函数，g(x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数
2、x 0时，e2x cos x与sin x相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小
2
五、应用题 1、 2、 描绘下列函数的图形
y x2 1 x
解：1.Dy=(-,0) (0,+)
1 2.y'=2x- x2
2x3 1 x2
令y ' 0得x 3 1 2
y
''
2
2 x3
令y '' 0,得x 1
3.
4.补充点 (2, 7).( 1 , 7).(1, 2).(2, 9)
2 22
且f (x1) f (x2 ) 0 至少 （x2, x2），stf ( ) 0 而f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾 方程x3 x 1 0有且只有一个正实根
2、 证明arcsin x arccos x （1 x 1） 2
证明：设f (x) arcsin x arccos x
f '(x) 0令A f（' 0），B f '(1),C f (1) f (0),则必有A>B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1 用洛必达法则求极限 lim x2e x2 x0
1
1
解：原式=
lim
x0
e x2 1
lim
14-15厦门大学微积分I期末试卷(A卷)参考解答
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim1>++++∞→p n n p pp p n 。
解：原式111010111lim 11pnp p n i i x dx x n n p p +→∞=⎡⎤⎛⎫=⋅=== ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑⎰。
2．求2cos ()x t xf x e dt =⎰的导数。
解：2cos ()2sin x x f x xe e x '=+⋅。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
解：图形面积2423111544x A x dx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
解：原式202xx x e xe dx +∞+∞--⎡⎤=-+⎣⎦⎰200002222x x x xx e xe e dx e +∞+∞+∞+∞----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰。
5．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
解：原式1120sin 2x x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰24011sin cos udu udu ππππ=+=⎰⎰。
6．求方程2x y dydx+=的通解。
解一：2x y dydx+=，22y x dy dx -=，22y x dy dx -=⎰⎰， 得原方程的通解：122ln 2ln 2y xC --=+， 即220y x C -++=，其中1,C C 为任意常数。
解二：令u x y =+，则1y u ''=-，从而原方程化为21u u '=+， 分离变量积分：121udu dx =+⎰⎰，1ln 2ln(21)ln 2u u x C -+=+，把u x y =+代入 得原方程的通解：220y x C -++=，其中1,C C 为任意常数。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
解：原式211112121x dx x x +⎡⎤=⋅-⋅⎢⎥++⎣⎦⎰211112121x dx dx x x +=-++⎰⎰2111ln(1)arctan ln 1422x x x C =++-++。
厦大14-15学年第二学期微积分I期末试卷
一、计算下列各题：（每小题5分，共20分）(1) 设函数222(,,)u x y z x y y z z x =++，求u grad 、div()u grad 和()u rot grad .(2) 计算Ls ⎰，其中L 为上半圆周224,0x y y +=≥与x 轴围成的闭曲线. (3) 计算d L xy x ⎰，L 为曲线2y x =上由(1,1)A -到(1,1)B 的一段弧.(4) 讨论正项级数1sin 2n n n n ∞=∑的敛散性.厦门大学《微积分I-2》课程期末试卷 试卷类型：（理工类卷） 考试日期 2015.6.17二、(8分)计算()d x z S ∑+⎰⎰，其中∑是平面1z x =+被圆柱面221x y +=所截的部分.三、（10分）计算22d d L y x x yx y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=，取逆时针方向.四、(1)（2分）证明：在整个xOy 平面内，2(1)d (3)d x y x x y y +++-+为某个二元函数(,)u x y 的全微分；(2)（5分）求解全微分方程2(1)d (3)d 0x y x x y y +++-+=；(3)（3分）求2(1)d (3)d Lx y x x y y +++-+⎰，其中曲线L ：22(1)4,0x y y -+=≥，L 的方向为逆时针方向.五、(10分)求向量场{},0,0x 经过曲面∑指定侧的通量，其中∑为圆柱面221x y +=位于0z =上方及平面z y =的下方部分，取外侧.六、(1)（8分）讨论级数21(1)4nn n n ∞=-+∑的收敛性； (2)（2分）判别级数21[(1)4nn n n ∞=-++∑的敛散性.七、（8分）求幂级数221(1)n n x n n +∞=+∑在(1,1)-内的和函数.八、（8分）将21()x f x x-=展开成2x -的幂级数.九、（10分）将函数()1(01)f x x x =+<≤展开成以2为周期的正弦级数，并指出该级数在1x =处的值.十、(6分)设级数11()n n n a a ∞-=-∑收敛，且1n n b ∞=∑绝对收敛，证明：级数1n n n a b ∞=∑绝对收敛.。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
厦门大学《高等数学(AC)》课程试卷07年
一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。
2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。
3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。
4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。
5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。
二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。
2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。
3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。
4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。
四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。
2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。
3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。
4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
厦门大学《高等数学(AC)》经管类(A卷)期末试卷及答案
一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、 220limarctan xt x x e dtx x-→-⎰. 2、设函数()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，求(7)f .3、设(cos )ln(sin )f x dx x c '=+⎰，求()f x .4、已知点()3,4为曲线2y a =a , b .5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间与极值.6、设函数21()cos x f x x⎧+=⎨⎩0,0.x x ≤> 求2(1)f x dx -⎰.7、求曲线3330x y xy +-=的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、31sin cos dx x x ⎰.2、.3、523(23)x dx x +⎰.4、41cos 2xdx x π+⎰. 5、312⎰ 6、2220x x edx +∞-⎰，其中12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭.三、应用题（每小题6分，共12分）1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数y 是日产量x 的函数为： 2100,102100.x x y xxx ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩并且生产出的合格品都能售出。
如果售出一件合格品可盈利A 元，但出一件次品就要损失3A元。
为获得最大利润，日产量应为多少？ 2、设函数()f x 连续，(1)0f =，且满足方程1()()xf x xe f xt dt -=+⎰，求()f x 及()f x 在[]1,3上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当0x >时，证明：(1ln x x +>2、设函数)(x f 在[],a b 上连续，()0f x ≥且不恒为零，证明()baf x dx ⎰0>.一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、解：2220023200011lim lim lim arctan 33xxt t x x x x x e dtx e dte x x x x ---→→→---===⎰⎰ 2、 解：两边求导有233(1)1xf x -=，令2x =，得1(7)12f =。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅=．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnnn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =30()lim t F t t+→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
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一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）
1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n
n p p
p p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰
的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷
试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.21
5．计算定积分
120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x y
dy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)x
dx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x
'-
=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）
1． 求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.
计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dx
dy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰
=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力
()5()
F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）
1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx
++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231a
a x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
3. 设二阶常系数线性微分方程sin y y y x αβγ'''++=的一个特解为23
1
2cos sin ,55x x y e e x x =+++试确定,,αβγ，并求出该方程的通解。
4.设)(x f 为),(+∞-∞上的连续函数， 且当0≠x 时满足函数方程： ⎰⎰⎰-+-=1000))(1()()()(2
dx x f x dt t tf dt x
t f x f x x ， 求)(x f 。
四、证明题：（每小题5分，共10分；其中第2题和第3题任选一题）
1．设()f x 可导，120
(1)2()f f x dx =⎰，证明： (0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ'=。
2. 证明：[]22002ln(sin )ln(sin 2)ln 2x dx x dx ππ=-⎰⎰，并利用此等式计算20ln(sin )x dx π⎰。
3．设)(x f 和)(x g 均在],[b a 上单调不减的连续函数（b a <），证明： ⎰⎰⎰-≤b
a b a b a dx x g x f a b dx x g dx x f )()()()()(。