有理数及其运算(一)
有理数及其运算知识点汇总
有理数及其运算知识点汇总一、有理数：整数和分数统称为有理数。
正整数 （非负整数） 正整数 整数 0 正有理数 负整数 （非正整数） 正分数 有理数 正分数 有理数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数 注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。
0既不是正数也不是负数。
1、 正数前面可以加“+”号，也可以不加“+”号。
2、 判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“—”号，而不是看它是不是带有“—”号。
注意“—a ”不一定是负数。
3、 相反意义的量是成对出现的。
4、 0是有理数，也是整数，也是最小的自然数。
5、 奇数、偶数也可以扩充到负数，如—1，—21，—53…等都是奇数；—2，—22，—26^等都是偶数。
6、 整数也可以看作分母为1的分数。
7、 a 的相反数是a -，但—a 不一定是负数。
8、 求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面加上“—”号，例如y x -的相反数是—(y x -)，即x y -。
9、 多重符号的化简 化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数，“奇负偶正”。
10、当0≥a 时，a a =，即绝对值等于它本身的是非负数；当0≤a 时，a a -=，即绝对值等于它的相反数的是非正数。
11、无论a 为正数、负数或0，0≥a ，称为绝对值的非负性。
12、几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.即0=++++m c b a ，0=====m c b a 则。
二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。
1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。
2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。
4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。
北师大版七年级数学上册 (有理数的乘法)有理数及其运算课件(第1课时)
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
知2－导
根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相 乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把 积相加.
知2－讲
例3 计算：
(1)
－
5 6
＋
3 8
－24；
(2)
－7
－
4 3
5 14
.
解： (1)
倒数的性质： (1)如果a，b互为倒数，那么ab＝1； (2)0没有倒数(因为0与任何数相乘都不为1)； (3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； (4)倒数等于它本身的数是±1； (5)倒数是成对出现的．
1.必做: 完成教材P51-52，随堂练习（1）、 （3）， 习题T1（1）-（4）、2、3、4
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 若五个有理数相乘的积为正数，则五个数中负
数的个数是( D )
A．0 B．2 C．4 D．0或2或4
4
(中考·台湾)算式
－1
1 2
－3
1 4
2 3
之
值为何？( D )
A. 1 B. 11 C. 11 D. 13
4
12
4
4
（来自《典中点》）
知识点 2 有理数的乘法运算律
知1－讲
要点精析： (1)在有理数乘法中，每个乘数都叫做一个因数． (2)几个有理数相乘，先确定积的符号，然后将绝对
值相乘． (3)几个有理数相乘，如果有一个因数为0，那么积
就等于0；反之，如果积为0，那么至少有一个因 数为0.
知1－讲
例2 计算：
(1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)；
2.2+有理数的加减运算(1)有理数的加法法则课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册
−2
−3 与 +4 ；
+4
−2 与 +2 ；
一样大
新知探究
【思考】某班举行知识竞赛，评分标准是:答对一题加1分，答错一题
扣1分，不回答得0分。如果我们用1个 + 表示+1，用1个 － 表示-1，
那么 + － 表示0，同样 － +
(+1) +(−1)＝ 0
－1
表示0.
−1与+1相加抵消，
结果为0
+1
=4
5
−45 + 23；
解：原式= − 45 − 23
= −22
7 −39 + −45 ；
8 −28 + 37；
解：原式= − 39 + 45 解：原式=+9
=9
3 −12 + 25；
解：原式= + 25 − 12
= +13
= 13
6 −29 + −31 ；
解：原式= − 29 + 31
说得正确吗? 举例说明。
答：不正确。 −1 + −2 = −3，而−3 < −1，
所以和不一定大于其中一个加数。
拓展学习
【练习3】下列说法错误的是（ ）
A.两数之和可能小于其中的一个加数
B.两数相加就是它们的绝对值相加
C.两个负数相加，和取负号，绝对值相加
D.两个数若不是相反数，则相加不能得零
北师大版（2024）
七年级上册
第2章 有理数及其运算
2.2 有理数的加减运算（1）
学习目标
学习目标
1. 经历探索有理数加法法则的过程，体会分类和归纳的思想方法。
有理数及其运算知识归纳及练习
第二章 有理数及其运算班级**〔一〕有理数知识点1：正数和负数1、设上升为正，上升200米记作米，则下降300米应记作，不升不降应记作.200+2、〔2021·〕如果零上记作，则零下可记作〔 〕.5C o 5C +o 7C oA. B. C. D. 7C -o 7C +o 12C +o 12C -o知识点2：有理数及其分类3、大于零的数叫______，在正数前面加上“﹣〞〔读作负〕的数叫______；____既不是正数，也不是负数。
4、〔2021•〕如果收入50元，记作+50元，则支出30元记作( )元. A.+30 B.-30 C.+80 D.-805、把以下各数填在相应的大括号：1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，52正整数集｛…｝；非负整数集｛ …｝正分数集｛…｝；负分数集｛ …｝正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝〔二〕数轴知识点1：数轴的定义6、数轴的三要素：______，________，_________.知识点2：数轴上的点与有理数的关系7、比拟有理数的大小： ①数轴上右边的数总比左边的数__；②正数都______零；③负数都_____零；④正数______一切负数.8、〔1〕数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数是________；〔2〕和表示的点距离等于4个单位的点所表示的数是_________；5-9、〔2001•呼和浩特〕在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是〔 〕A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数10、〔2021•莱芜〕如图，在数轴上点A 表示的数可能是〔 〕A ．1.5B ．－1.5C ．－2.4D ．2.411、数轴上A 、B 两点表示的数分别为a 、b ，且点A 在点B 的左边，以下结论正确的选项是( )A ．a ＋b ＜0B ．a ＋b ＞0C ．a －b ＜0D ．a －b ＞012、以下说法错误的选项是〔 〕A ．数轴是一条直线 B ．数轴上的原点表示数0C ．数轴上表示数－a 的点在原点的左边 D ．0是正数与负数的分界点〔三〕绝对值知识点1：相反数13、只有符号不同的两个数互为_______；数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离且分别在原点的两边；0的相反数是___；a 的相反数是_____；互为相反数的两个数相加和为_____.14、〔2005•〕如果□+2=0，则“□〞应填的实数是〔 〕A ．﹣2B ． C. D.2212115、以下关于相反数、数轴的说法，不正确的选项是〔 〕A ．符号相反的两个数互为相反数 B ．假设a=－a ，则数轴上表示a 的点是原点C ．数轴上关于原点对称的两个点表示相反数 D ．假设a ＋b=0，则a 、b 互为相反数16、写出以下各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来：知识点2：绝对值17、(1)数a 的点与原点的距离叫做，数a 的绝对值记作∣a∣；(2)意义：假设a ＞0，则∣a∣＝. 假设a ＝0，则∣a∣＝____. 假设a ＜0，则∣a∣＝___ ；两个负数比拟大小,绝对值越大的负数反而____；两个点a 与b(a ＜b)之间的距离为：______。
七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 1 有理数课件上册数学课件
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第四页，共三十七页。
例1 (1)如果节约10吨水记作+10吨,那么浪费2吨水记作什么?
(2)如果-2 015元表示(biǎoshì)亏本2 015元,那么+1 009元表示(biǎoshì)什么? (3)如果+20%表示增加20%,那么-8%表示什么?
解析(jiě xī) (1)浪费2吨水记作-2吨. (2)+1 009元表示盈利1 009元. (3)-8%表示减少8%.
7
5
正整数集合:{
…};
负整数集合:{
…};
正分数集合:{
…};
负分数集合:{
…};
正数集合:{
…};
负数集合:{
…}.
分析 有理数的分类:按照定义有理数分为整数和分数两部分,其中整数包括
正整数、0、负整数;按照符号有理数分为正有理数、0、负有理数三部分.
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解析 正整数集合:{5,+2,…}; 负整数集合:{-3,-600,…};
在海12/平9/2面021下60 m处,所以鲨鱼所在的海拔高度为-60 m,故选A.
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3.(2016山西大同一中期中)下列说法正确(zhèngquè)的有 ( ) (1)整数就是正整数和负整数;(2)零是整数,但不是自然数;(3)分数包括
正分数、负分数;(4)正数和负数统称为有理数;(5)一个有理数,它不是整 数就是分数.
答案 15.02;不符合
点拨(diǎn bo) 解决此类问题的关键是正确理解题中“+、-”号的含义:“+”
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号表示比标准量多,“-”号表示比标准量少.
有理数及其运算
《有理数及其运算》一、有理数的基本概念1、负数：在正数前面加上“–”号的数叫做负数注：0既不是正数，也不是负数。
2、有理数的分类：3、有理数：整数和分数统称为有理数4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注：①、数轴上，两个点表示的数，右边的总比左边的大。
②、正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
③、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
5、相反数：只有符号不同的两个数，称一个为另一个的相反数，注：①、a 的相反数是-a.②、0的相反数是0.（相反数等于本身的数）③、如果a 与b 互为相反数，那么a+b=0.6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
注：①、a 的倒数是1a（其中0a ≠） ②、0没有倒数 ③、若a 与b 互为倒数，则ab=1 ④、倒数等于本身的数有：1和-17、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值。
注：①、a 的绝对值是|a|②、正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 ③、对任何有理数a ，总有│a │≥0.④、绝对值等于本身的数有：正数和08、有理数的大小比较：总则：在数轴上，右边的数总是大于左边的数①、正数都大于零，负数都小于零， 正数大于一切负数；②、两个负数，绝对值大的反而小．即：0 , b 0a << ，且 ,a b > 则a b < 。
有理数 整数 0 分数 正整数 负整数正分数 负分数 有理数 正数 零 负数正整数： 正分数： 负整数 负分数二、有理数的运算1、加法运算法则：①、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②、异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用大的绝对值减去小的绝对值； ③、互为相反数两数相加等于0； ④、一个数同0相加仍得这个数。
2、减法运算法则：减去一个数等于加上它的相反数。
即：(b)a b a -=+-利用减法法则时要注意“两变”：即减号变为加号，同时减数变为它的相反数。
七年级数学上册第2章有理数及其运算1有理数
解：负数集合：－272、－3； 整数集合：2017、0、37、－3.
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18．请用两种不同的分类标准将下列各数分类：－15，＋6，－2，－0.9,1， 35，0,314，0.63，－4.95. 解：分类一：整数：－15，＋6，－2,1,0； 分数：－0.9，35，314，0.63，－4.95； 分类二：正数：＋6,1，53，341，0.63； 负数：－15，－2，－0.9，－4.95.
A．①②③
B．①②③④
C．②③④
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D．①②④
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5．下列各量具有相反意义的是( D ) A．向北走 3 千米，向东走 3 千米 B．六年级(2)班男生有 30 人，女生有 25 人 C．上午气温零上 30℃，下午气温零上 8℃ D．上升 20 米，下降 3 米 6．下列说法正确的是( B ) A．一个有理数不是正数，就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和 0 五类 D．3.14 既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数
负分数集合：{ －1.5 …}．
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第五页，共十五页。
8．阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表 示它们．非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个 科学考察队测得某一天中午 12 时的气温是零上 53℃，下午 2 时的气温是零 上 58℃，晚上 10 时的气温是零下 34℃. 解：零上温度与零下温度是一对具有相反意义的量，把零上温度记做正数， 那么零下温度就应记做负数．零上 53℃和零上 58℃分别记做＋53℃和＋ 58℃，零下 34℃记做－34℃.
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七年级数学上第二章有理数及其运算1
3 (二)中考热点：
D．－4
点拨：由于－2 =－4，而|－4|=4．故选 C．
【考题 1－2】 （2004、海口，3 分）在下面等式的□内 填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中 的运算符号不能相同） ：□○□=－6；□○□=－6． 解：－2 ⊕ －4 = －6 点拨：此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符 合题目要求即可． 【考题 1－3】 （2004、北碚，4 分）自然数中有许多奇 妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比 如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再 将其和乘以 3 后加上 1，多次重复这种操作运算， 运算结果最终会得到一个固定不变的数 R，它会掉 入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个
o 2
【考题 2－3】 （2004、南宁，2 分）计算：6 1 =
1 (其中a ≠ 0,p为正整数) ap
分钟) 答案 答案： 三、针对性训练：(45 分钟 (答案：212 ) 针对性训练：
1 5 2 1 1、计算： + + 4 6 3 2 1 3 4 2、计算： +3 -6.8+5 -3 5 7 7 3、已知a、b、c、d是四个互相不相等的整数，且 abcd=9,求a+b+c+d的值。
4、 计算： 0.52 +(- ) 2 - -22 -4 -(-1 ) 3 × ( )3 ÷ (- ) 4 5、我们平常用的数是十进制的数 如 2639=2 ×103＋6 ×102＋3 ×102＋9×10，表示十进制的数要用 十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电 子计算机中用的是二进制， 只要两个数码： 1． 0， 如 101＝1×22＋0 ×21+ 1×20 等于十进制的数 二进制中： 5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20 等于十进制 的数 23．请问二进制中的 1101 等于十进制中的哪 个数？_________________ 7．已知|x|=3，|y|=2，且 xy≠0，则 x+y 的值等于___ 8．计算 12－|－18|+(－7)+(－15)．
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第二章 有理数及其运算(一)
一、选择题
1．绝对值小于42
1的负整数是 。
2．数轴上与表示数1的点距离等于3的点表示的数是 。
3．比较大小：－
3 4．最小的正整数是 ， 最大的负整数是 。
5．当a ＝ 时，5－3（a －1）2
的值最大，这个值是
6.在数轴上离开原点5个单位长度的点所表示的数是_______，它们的关系是________。
7、若x －3和－4是互为相反数，则x 的值是_________。
8、若0<a<1,则 a 2
、a 、a
1 的大小关系为_________。
9、若∣x ∣=∣-4∣，则x=______；
若∣-x ∣=4，则x=________。
10、若∣a+2∣+∣b-3∣+∣c-4∣=0，则a+b+c=________。
11、若x=
a
a +
b
b +
c
c ，则x 可以取的值有
（ ）。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
12、若a 的相反数是最小的正整数，b 的绝对值是5，则a+b=________。
13、观察下列一组数据，按照某种规律在横线上填上适当的数：-5、-2、1、4、____、10、_____。
14、如果a 、b 互为相反数，，x 、y 互为负倒数，那么200（a+b ）—2005xy=________。
15.如果对于任意非零有理数a 、b ，定义运算如下：a ※b=（a-2b ）÷（2a-b ）， 那么（-3）※5的值是____。
16.已知∣a ∣=2，b ²=25，且ab<0，则a+b=______。
17.数轴上，将表示–1的点向右移动 3 个单位后，对应点表示的数是_______．
二、填空题
1． 在－（－6），－（－6）2
，－6- ，（－6）2
中
负数有（ ）个。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2．在下列各式中，计算结果为零的是 （ ）
A. －22＋（－2）2
B. －22－22
C. －22
－（－2）2
D （－2）2
＋（－2）2
3．若一个数的绝对值除以这个数所得的商是1，则这个数一定是 （ ） A. －1 B. 1或－1 C. 负数 D. 正数 4．下列式子中，正确的是 （ ） A. 223)4(->-
B. 2
1
4.0-<-
C. 7654-<-
D. 9
889->-
5．温度上升－3后，又下降2实际上就是 （ ） A. 上升1 B. 上升5 C.下降5 D. 下降－1 6．数轴上点A 表示－4，点B 表示2，则表示A 、B 两点
间的距离的是（ ）
A. 6
B. －4
C. 4
D. 4
7如果∣a ∣=8,∣b ∣=5，且a+b>0，那么a-b 的值为（ ）。
A 、3或13
B 、13或-13
C 、3或-3
D 、-3或-13 三．解答题：
1.已知a 、b 、c 都不等于零，且
a a +
b b + c
c
的最大值为m 、最小值为n ，求
n
m
的值。
2.把下列各数用“<”连接起来 -∣-3∣、0、-∣-5∣、-∣+2∣、-
2
3
、∣-7∣ 3.已知a 、b 互为相反数，且ab ≠0，m 、n 互为倒数，s
的绝对值为3，求
b
a
+ mn + s 的值。
4.（1）、比较大小： ①、 321⨯ ______ 21 - 31 ②、 431⨯______ 31 -41
③、 11101⨯______ 101 -11
1
（在横线上填上“>” “<” “=” ）。
（2）、观察（1）中的结果，你能从上面的比较中得出什么规律？请你用你观察到的规律计算：
21+61 +121 + 201 + 301 + 421 + 56
1 + +721+90
1
5.计算：（1） -16+23+（-17）-（-7）； （2） （-81）+（-41）-（-83
）-（+21）-（-4
3）
（3）1－2＋３－４＋５－６＋…+９９－１００.
6.出租车司机小王某天上午营运是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下：
+15，－2，+5，－1，+10，－3，－2，+12，+4，－5，+6.
（1）.将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？
（2）.若汽车耗油量为0.05升/千米，这天下午小王的汽车共耗油多少升？。