2015上海中学高三月考数学
2015-2016年上海市杨浦高级中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝．3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝．7．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．4816．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为（，0）．【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝{0}．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x＝﹣2，﹣1，1，2即A＝{﹣2，﹣1，1，2}而U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁U A＝{0}故答案为：{0}3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：＝，可得＝，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为x＝log43．【解答】解：令4x＝t，（t＞0）．则当t≥2时，t2﹣2t﹣3＝0，解得t＝3或t＝﹣1（舍）．∴x＝log43．当0＜t＜2时，t（2﹣t）＝3，即t2﹣2t+3＝0，方程无解．故答案为：x＝log43．5．（4分）不等式的解集为．【解答】解：等价于lgx++2＝+2≥0，即，解得0＜x≤或x＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝4．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：47．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝2n．【解答】解：由①，得a2＝2，且（n≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为20160．【解答】解：由题意，在（2x+y+z）10的展开式中，含有x3y2z5的项为，所以系数为8××＝20160．故答案为：20160．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．【解答】解：圆ρ＝2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP＝ρ＝2×2cos（θ﹣）＝4cos（θ﹣）．故答案为：ρ＝4cos（θ﹣）．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n＝45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m＝+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p＝＝＝．故答案为：．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y＝f（x）与y＝log a|x|的交点的个数；f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，据此可以做出f（x）的图象，y＝log a|x|是偶函数，当x＞0时，y＝log a x，则当x＜0时，y＝log a（﹣x），做出y＝log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y＝f（x）与y＝log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是（，）．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+＝1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b＝3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是①②③．（写出所有真命题的序号）【解答】解：①．∵1＝1+0•i，i＝0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0＝0+0•i，∵实部0＝0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k＝a k+b k i，k＝1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1＝a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z＝a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1＝a2时，b1＞b2，故a1+a＝a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z＝0+i＞0，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（a k，b k∈R，k＝1，2），不妨令a1＝a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1＝﹣b1+a1i，z•z2＝﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝1007．【解答】解：S2016＝0，（﹣1）k＝0，即＝，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1＝a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016＝1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d＝1 可以求得d＝∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）＝36．故选：C．16．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+＝kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA＝∠SOC＝90°，∠COB＝∠BOA＝60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：＝故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则＝，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T＝sin x的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵＝1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc＝3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为CD＝30﹣t＝20，解得t＝10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2＝202，令y＝0，得AO＝10，所以OD＝AD﹣AO＝30，将点C（30，20）代入y＝﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD＝30﹣t，在y＝﹣ax2+30中，令y＝30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t＝15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t＝10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n＝1+（n﹣1）d1，a2n＝1+（n﹣1）d2，a3n＝1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n＝a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2＝1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2＝d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn＝1+（n﹣1）d m，a mn＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m＝（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1＝1，d2＝3时，d m＝2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）＝m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m＝m，从而，m∈N*，∴S n＝1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n＝1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n＝2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1＝2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n＝（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）＝（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N＝5，6，7，8， (20)23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2＝0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r＝∴圆的方程为：x2+y2＝1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y＝x在第一象限的交点B为（，），由＝x+y，可得：，将代入x2+y2＝1得到：x2+y2+xy＝1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|＝同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|＝由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S＝|MN|•|EF|＝2×＝∵．（当且仅k＝±1时等号成立）∴⇒故当k＝±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1，（）关于直线y＝x，也关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y＝x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y＝x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|＝，|0B1|＝，那么，在y＝﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|＝＝＝＝＝＝因为xy≤，∴＝2＝|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy＝1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．。
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上海高三数学第一次月考答案版(答案版)2015届高三数学第一次月考试卷2014. 09. 24时间120分钟满分150分一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1、设A 3,4,5 ,B a, 3, a 1 ,若A=B,则实数a=42、若y f x是函数y 2x 1的反函数，则f 1 ___________ 。
3、L A知全集U R,集合A xx2 3x 0 x2x 1,则Cu A= _________ . 3, 02xf(x) (a 1)4、当x〈0时，指数函数的值总大于1,则a的取值范围为. ( 2, 1) (1,2)5、若loga22 1,则a的取值范围是__________________________ . (0,) (1, ) 332 x y 5 0 x 16、“不等式组成立”是“不等式组成立”必要非充分条件.0 xy 42 y 47、若二次函数f(x) x2 ax 4在［T, 2］具有反函数，则实数a的范围是 a 2 或a 48、方程4 29、设xx 3 48 0的解为____________________. x=2上的奇函数，F (x) af (x) bg(x) 2,若f (x), g(x)都是R-7 F(4) 3,则卩(4) ______10、f (x) ax b与y g(x)的图像关于直线y=x对称,P(0, 1)与Q(2, 3)都在y=g(x)上。
贝!］a+b= __________ .11、若f(x) logax在［2, 4］上最大值与最小值之差为2,则实数a= ________________ = 2,2 2,且a 1)的图像恒过定点A,若点A在一次函数12.函数y loga(x 1) 1 (a 0y mx n的图像上，其中m 0, n 0,贝U12的最小值为mnl的取值范围14、设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区1, 1 上,x 0 ax f x bx1 113 ,其中 a, b R,若 f20 x 1 2 2 x 1f ，则a 2b 的值为10_o、选择题（本大题共有4题，满分2015、设 A -4, 2, a 1, a, B 9, a 5, 1 a ，已知 A B29 ，求a(A) 3 (B) 10 (C) -3 (D)10 和 316、设命题 p:x x 20 0, q:21 0,则 p 是 q（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充117.记函数y f(x)的反函数为y f(x).如果函数y f(x)的图像过点0,1 ，那么 1函数y f A. (x)1 的图像过点［答］C. (0,0). D. (2,0).( A) (1, 1). B. (0,2).x2 2x 3x 018、函数f x 的零点个数为 (C ) x 0 2 lnxA) 0 B) 1 C) 2 D) 3二、解答题（本大题共有5题，满分19.（本题满分1213+ax+ 2•如果函数y 2,1上有意义，那么实数a解关于x的方程：log29 5 log23 2 2.解：原方程为9x 5 43x 2 3x x x 2 4 3x 3 0 ,则 3 13 3 0 x 0 或x 1经检验是x 1原方程的根。
12-12-数学-2015建平中学12月月考数学试卷(理)(解析版)
2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m=．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a=．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，=．8．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+218．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f （x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B．C．D．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m=1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】已知中集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，根据集合并集运算的定义，可得实数m 的值．【解答】解：∵A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，∴m=1，∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，属于基础题．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1（x≥0）．【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由y=解出x，互换变量x，y即可．【解答】解：∵y=（x≥﹣1），∴y≥0，x=y2﹣1，∴y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1，（x≥0）．故答案为y=x2﹣1（x≥0）．【点评】本题考查了反函数解析式求解，注意自变量的取值是关键．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是[1，2]．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：集合={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＞3或x＜﹣2}，B={x|log4（x+a）＜1}={x|0＜x+a＜4}={x|﹣a＜x＜4﹣a}，∵A∩B=∅，∴，解得1≤a≤2．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a=2．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得=a，由此能求出a．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，∴S n=，∵=a，∴=a，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】先设直线上任一点的坐标M（x，y），根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】解：设直线上任一点的坐标M（x，y）．直线l过点P（3，﹣1），且与向量垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：，即2（x﹣3）﹣3（y+1）=0，点法向式直线方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0．故答案为：2（x﹣3）﹣3（y+1）=0；【点评】本题考查两向量垂直的性质，以及用点法向式求直线的方程．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知，求出圆锥的母线，底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，∴圆锥的母线l=，半径r==，∴圆锥的高h==3，故圆锥的体积V==3π；故答案为：3π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，难度不大，属于基础题．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得f（x）是周期为4的周期函数，故=f（﹣），结合f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（﹣）=﹣f（），可得答案．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，∴=f（﹣），又∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=4x，∴f（）=1，∴=f（﹣）=﹣1；故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．8．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为．【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，f（x）=，若f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx=﹣，函数取得最小值，∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的性质，确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为y=1．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】分类讨论；分类法；直线与圆．【分析】先讨论可得当直线l的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合，求出直线的斜率，可得直线的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的坐标分别为（0，）（0，8），不满足，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+1，则直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的横坐标分别为，，∵，∴0﹣=2（﹣0），解得：k=0，故直线l的方程为：y=1；故答案为：y=1【点评】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD 1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（，]．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围．【解答】解：∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b≤，∵短半轴长b==，∴，解得m≤，∴m的取值范围是（]．故答案为：（，]．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】首先将向量用，表示，然后求向量，整理为关于n的二次函数的形式求最小值．【解答】解：∵，，，∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]，∵m+2n=1，∴[2n+（1﹣n）]，则，又AB=AC=2，∠A=120°，∴=|AB|×|AC|×cos120°=2=﹣14，∴，n∈（0，1）．∴当n=时，7（7n2﹣4n+1）有最小值为于是3∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题．12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】考虑①时用基本不等式进行放缩；考虑②时，验证f（1﹣x）=f（x）；考虑③时，sinπx=0，故x=k，k为整数，可得零点的个数；考虑④时，验证f（0）=f（1）=0，故无单调性；【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③【点评】本题主要考查函数的有关性质，要分析函数的表达式，进行合理的变形，同时要验证特殊值．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【考点】数列与三角函数的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=3280．【考点】归纳推理．【专题】计算题；动点型；推理和证明．【分析】将n分为128≤n≤255，64≤n≤127，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案，【解答】解：255=1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设128≤n≤255，且n为整数；则n=1×27+a1×26+a2×25+a3×24+a4×23+a5×22+a6×21+a7×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中7个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C70种情况，即有C70个I（n）=7；其中有一个为1时，有C71种情况，即有C71个I（n）=6；其中有2个为1时，有C72种情况，即有C72个I（n）=5；…综上可得：2I（n）=C7027+C71×26+C72×25+C73×24+C74×23+C73×22+C76×2+1=（2+1）7=37，同理可得：2I（n）=36，…2I（n）=31，2I（1）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=1+3+32+…+37==3280；故答案为：3280；【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义，及2I（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】规律型．【分析】由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．【解答】解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题．16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根【考点】等比数列的通项公式；二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．由于a1，a2，a3成等比数列，可得．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．对△2分类讨论即可得出．【解答】解：当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．∵a1，a2，a3成等比数列，∴．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．假设△2＜0，则0＜a2＜2，则a1=＜2，可得△1＜0，因此方程①无实数根；假设△2≥0，则a2≥2，则a1=与2的大小不确定，因此△1与0大小关系不确定，即方程①可能有实数根也可能无实数根．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+2【考点】圆的标准方程；集合的表示法．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，利用公式，即可得出结论．【解答】解：如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，∴“水滴”部分的面积=S半圆+S△ABC+2S弓形AmB=+2（﹣）=．故选：A．【点评】本题考查集合知识的运用，考查圆的知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f （x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义．【分析】由已知，先得出M、N横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．①对于函数y=x2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y﹣1=（x﹣1），即y=3x﹣2|MN|=|x2﹣（3x﹣2）|=|（x﹣）2﹣|≤，线性近似阀值为．②同样对于函数，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=﹣x+3，|MN|═﹣x+3﹣=3﹣（x+）≤3﹣2，线性近似阀值为3﹣2．③同样对于函数，A（1，），B（2，），AB方程为y=，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1﹣，线性近似阀值为1﹣，④同样对于函数，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴|MN|=﹣（x﹣1）=﹣（），线性近似阀值为．由于为＞3﹣2＞1﹣＞．所以线性近似阀值最小的是故选D【点评】本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得CN⊥DN，CN⊥AD，由此能证明CN⊥平面ADN．（2）以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DN所成角的大小．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN⊂平面CDN，∴CN⊥AD，∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．解：（2）∵圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，∴MC=MD=MA=MB=2，设AD=c，则AB=，以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），C（0，b，0），则A（a，0，﹣c），B（0，b，﹣c），N（0，0，0），=（a，0，﹣c），=（0，b，0），=（0，0，c），设平面NAC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），∵直线BC与平面CAN所成角的正切值为，∴直线BC与平面CAN所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|===，解得c=2，∴AB==2，a2+b2=AB2=4，∵=（a，﹣b，﹣c），平面NAC的法向量=（1，0，），∴=a﹣1=0，解得a=1，∴b=，∴=（﹣1，，0），=（1，0，0），设异面直线AB与DN所成角为α，则cosα===，∴，∴异面直线AB与DN所成角为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．【考点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据向量的数量积运算表示出，进而求出cosC的值，再求出C的值．（2）先根据三角形的面积公式求出ab的值，再运用余弦定理可得最终答案．【解答】解：（1）由条件得，又，∴，0＜C＜π，因此．（2），∴ab=6．由余弦定理得，得出：，∴．【点评】本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理和向量的数量积运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要给予重视．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数在x≥4上是增函数；且h （23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g （3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；由此可得h（x）更接近表中的实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因为函数y1=log2x在（x≥4）上是增函数，函数y2=﹣在（x≥4）上是增函数，所以，函数在x≥4上也是增函数；又因为h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，故整治后有23个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知函数f （x ）=a （x+）﹣|x ﹣|（x ＞0）a ∈R ．（1）若a=，求y=f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的方程f （x ）=t 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，求实数a ，t 应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x 1，x 2，x 3，x 4成等比数列，求t 用a 表示．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f （x ）的单调性，进而求出满足条件的实数a ，t 的范围；（3）韦达定理可得x 1，x 2，x 3，x 4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a 表示t ．【解答】解：（1）当a=时，函数f （x ）=（x+）﹣|x ﹣|=．故y=f （x ）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f （x ）=a （x+）﹣|x ﹣|=，f ′（x ）=，当a ≤1时，y=f （x ）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a ＞1时，f （x ）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2•x3=1，x1•x4=1，∴x1•x2•x3•x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1•x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，可得=为正整数，即可得出正整数λ．（2）由（1）可得：S n=2a n﹣μ，可得a n=μ•2n﹣1，因此A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，利用2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，可得i=1，即可得出j，μ．（3）当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2n ＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即可得出．（n∈N*）．【解答】（1）证明：∵S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，∴a n=λa n﹣λa n﹣1，λ≠1，∴，∴数列{a n}为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n=2a n﹣μ，当n=1时，a1=μ，则a n=μ•2n﹣1，∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，∵j﹣i＞0，则1+2j﹣i必为不小于3的奇数，∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），若j＞n+2，则2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1＞3×2n+1，矛盾．若j＜n+2，则2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n，矛盾．∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n＞0，∴3×2n＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B n，∴b n=n（n∈N*）．【点评】本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学文试卷 Word版含答案
2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作评分依据．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，},sin |{R x x y y B ∈==，则=B A .2. 若12lim=+∞→n ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数11-+=x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4tan πx y 的单调递增区间是 .5. 方程6lg )1lg(lg =-+x x 的解=x .6. 如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为3，则异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 . 8. 函数11)(--=x x f （2≥x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含5x 项的系数为 （结果用数值表示）. 10 .若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 外，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S .12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的取值范围是 .ABC1C1B1A第6题13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=00log )(x ax x x f xa ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 . 14. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点， 不同的取法共有 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．若<<b a ，则下列不等式中，一定成立的是……………………………………………………（ ）)(A 22b ab a << )(B 22b ab a >> )(C ab b a <<22 )(D ab b a >>2216. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点， 沿向量BC的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，131-n 2k 第18题第14题若给出四个数值:①429 ②1091 ③18197④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ）)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x b x x f cos sin sin 2)(2+=满足2)6(=πf（1）求实数b 的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. ]1,0(2.13.34.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈）5.36.41arctan7.),3()2,2(+∞- 8.)0(22)(21<+-=-x x x x f 9.28 10.10<<m 11.3 12.]41,0()0,2( - 13. 10≤<b 14. 141二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】 （1）由26=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得22321412=⨯⨯+⨯b ……2分，解得32=b ……3分 将32=b 代入xx x x f cos sin 32sin 2)(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分（2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题含答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92==， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则AB C ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q的取值范围是 ． 12．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a )4,3,2,1(1==i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i 32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m < D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
2015-2016年上海市南汇中学高三上第一次月考
1
2
1
2
2x1 1 2x1 1
因为0 x x 1 ，所以2x1 2x2 0 ， (2x1 1)(2x2 1) 9 ， 12
1
2
又a 9 ，所以 g(x1 ) g(x2 ) 0 .
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因此，当a 9 时，函数 g x f (x) 2x 在0,1上是减函数。14
且 g(x)
1 1
x x
在(t,
a)
的值域是(a,
)
，
故 g(a) 1 a a 且 t 1（结合 g(x) 图像易得 t 1）....................2 分
1 a
a2 a 1 a 解得 a 2 1（ 2 1 舍去）．
所以 a 2 1， t 1
…………………………………2 分
x 2 2
1．
1 x1x2
1 x1x2
x x 2
(x x )2 (1 x x )2 x 2 x 2 1 x 2x 2 (1 x 2)(1 x 2)
证明： 1 2 1 1 x1 x2
1
2
12
(1 x1x2) 2
1
2
1 2 1 2
(1 x1x2) 2
(1 x1x2 ) 2
x ，x (1，1) ，∴1 x 2 0，1 x 2 0 ， (1 x x )2 0
解：⑴ B (2, 7] ………4 分 ⑵ A [a 1, a 2] ……… 7 分
A B B A B ……… 8 分
a 2 ≤ 7
∴ a 1 2
a (3,5]
……… 12 分
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20．（本题满分 14 分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”
2015-2016年上海市大同中学高三上第一次月考
解：（1）A ={1,2}
(2) B A B 即 B A.集合 A={1，2}的子集有、{1}、{2}、{1，2}.
当 B 时， m2 8 0 ，解得 2 2 m 2 2 .
当
B ={1}或{2}时，
m 2 8 0 ,
1 m 2 0 ,
或
m 2 8
0 , ，则 m 无解.
因此，
cos
2
π 4
2
cos π2
4
sin
4
16
． 25
25
25
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20. （本题满分 12 分）关于 x 的不等式 3 1 ( x Z ) 的解集为 A，关于 x 的方程 x
x2 mx 2 0 (m R) 的解集为 B.
（1） 求集合 A；
（2） 若 B A B ，求实数 m 的取值范围.
所以 x x , x x (x x) x xB xB , x 2xB xC
①
B
C
B
C
xC x xC
xB xC
设过 A 所作的直线方程为 y kx a ，（显然 k 存在）
y kx a
22
2
又由 (x
2)2
y2
得
1
(1
k
)x
(2ak 4)x a
30
4 2ak
a2 3
（理）在 BC 上取一点 P ，使 P 点满足： AB AC , BP PC,( R)
（文）在线段 BC 取一点 P ，使点 B、P、C 的横坐标的倒数成等差数列 （1） 求点 P 的轨迹方程； （2） 若（1）的轨迹交圆 M 于点 R、S ，求MRS 面积的最大值.
2015-2016年上海市七宝中学高三上第一次月考
B. 必要不充分条件；
C. 充分必要条件；
D. 既不充分也不必要条件；
17. 设函数 f (x) ax bx cx ，其中 c a 0 ， a b 0 ，若 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，则下
列结论中正确的是（ ）
① 对一切 x (,1) 都有 f (x) 0 ；
② 存在 x R ，使 xax ， bx ， cx 不能构成一个三角形的三条边长‘ ③ 若△ ABC 为钝角三角形，则存在 x (1, 2) ，使 f (x) 0 ；
2 x |
| 1
x | 1
，则
f[f
( 1)] 2
；
1 x2
4. 若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (, 0] 上是单调递减的，且 f (1) 0 ，则使得 f (x) 0 的 x 的
取值范围为
；
5. 已知函数 f (x) 3x 1， g(x) x2 2x 1 ，若存在实数 a 、b ，使得 f (a) f (b) ，则b 的取值范围
42
23.（1）属于；（2）略；（3） ( , ) ；
33
（3）[0,18) ；
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23. A 是定义在[1,2] 上且满足如下条件的函数(x) 组成的集合： ① 对任意的 x [1, 2] ，都有(x) (1, 2) ； ② 存在常数 L (0 L 1) ，使得对任意的 x1, x2 [1, 2] ，都有|( x1) (x2) | L | x1 x2 | （1）设(x) 1 x2 1 ， x [1, 2] ，问(x) 是否属于 A ？说明你的判断理由；
成反比，比例系数为 k ，当垃圾处理场建在 »AB 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065；
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上海中学高考月考练习数学 2015.3一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式211x -≤的解集是_________.2. 设集合U R =,{21,}xA y y x R ==-∈则U A ð=_______.3.三角形的三边之比为3:5:7,则此三角形的最大内角是_______.4. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b R ∈），则b =____.5.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两个焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴，1230PF F ∠=，则此双曲线的渐近线方程是________.6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）.7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=____. 8.已知复数2lg(1)ilg(1)z x x =-+-（其中i 是虚数单位）,若z 在复平面上对应的点位于第三象限,则实数x 的取值范围是_______.9.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．10.已知i 是虚数单位，集合{|,*}nA z z i n N ==∈，1212{|,}B z z z z A ωω==⋅∈、，（1z 可以等于2z )，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________. 11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______.12.在极坐标系中，已知点(1,)2A π，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为______.13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒.14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A B M 、、是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ，使，则直线OA 、OB 的斜率乘积为______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列命题中错误的是（ ） A ．正棱锥的所有侧棱长相等； B ．圆柱的母线垂直于底面； C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形；D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．16．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f <的实数m 的取值范围是( )A.10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤ 17．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1P 、2P 、3P 、…，则24P P 等于 ( ) A ． π B ． 2π C ． 3π D ． 4π18. 若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．11c -≤≤B 11c ≤≤C ．1c ≤D ．1c ≥三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等; （2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数22cos()sin 2()2cos()6x x f x x ππ-=+，()x R ∈（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性； （2）在ABC ∆中，()0f A =，.若对任意实数t 恒有,求ABC ∆面积的最大值.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为．设．（1）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值；（2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点00(,)P x y (00x ≠)作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k . (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2) 当1λ=时，若点P 的坐标为(1,1)-，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围；(3) 设直线AB 上一点M ，满足，证明线段PM 的中点在y 轴上.23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，且{}n a 是存在的, 满足120,3a a ==，)2)(2(211++=--+n n n n a a a a ，n=3，4，5，…… .（1）求3a ；（2）证明：22n n a a -=+（n=3,4,5，…）; （3）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S .一、填空题----结果等价即可得分1. [0,1].2. (,1]-∞-.3. 120.4. 4-. 5. y =. 6. 13.0%. 7.3. 8.(. 9.32． 10. 21.11. 4+.13. 81. 14. 12-. 二、选择题15.C 16．C 17．A 18.D 三、解答题----其它解法相应得分19．【解答】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，h=2r.（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP ，圆锥的任意一条母线与轴OP 组成全等的直角三角形，如图，APO ∠为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角.………………………………2分在Rt AOP ∆中，1tan 2OA APO AP ∠==，则1arctan 2APO ∠=…………………4分 所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为1arctan 2.……6分（2）2h r =，l =………………………………………………………8分22=226S rh r r πππ+=柱,…………………………………………………………9分21=2(12S r l r r πππ+⋅=+锥………………………………………………10分故，31)2S S ==柱锥。
…………………………………………………………12分20.21()2sin cos()2sin 6f x x x x π=+-解：（）3)32x π=+- ……………………………………………………3分所以，()f x 的最小正周期为T π=…………………………………………………………4分f (p 6)=i p 6+p 3)-32=0;f (-p 6)=-p 3+p 3)-32=-32f (-p 6)¹f (p 6),f (-p 6)¹-f (p6)所以，函数()f x 是非奇非偶函数。
…………………………………………………………6分（2）由3())032f A A π=+-=得sin(2)32A π+= 因为A 是ABC ∆的内角，所以，6A π=………………………………………………8分由，得两边平方，整理得， 对任意实数t 恒成立所以 ……………………………10分得 则有且所以12分4m =等号成立）所以，当4m =时，ABC ∆…………………………………14分 21．解：（1）依题意111()()2k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+， …………2分123(),(),()a x a x a x 的系数依次为01n C =，1122nn C ⋅=，221(1)()28n n n C -⋅=，…4分 所以(1)2128n n n -⨯=+，解得8n =； ………………………………6分 （2）1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++…………8分0121(2)23(1)n nn n nn nF C C C nC n C -=+++++ ……………………………9分设012123(1)n nn n n n n n S C C C nC n C -=+++++， 则1210(1)32n n n n nn n nS n C nC C C C -=+++++ 考虑到k n kn nC C -=，将以上两式相加得： 01212(2)()n nn n n nn n S n C C C C C -=+++++,所以1(2)2n n S n -=+……12分又当[0,2]x ∈时，()F x 是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意12,[0,2]x x ∈，112|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-．…14分22．解：(1)由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a，………2分 准线方程为ay 41-=．……………………………………………………………………4分 (2) 因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．…………………………………………5分由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得211x k =-，代入2x y -=得222)1(+-=k y ．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为2111(1,21)A k k k -----，2111(1,21)B k k k --+-．于是，， …………………………7分．因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有．求得1k 的取值范围是12k <-或1102k -<<．………………………………8分 又点A 的纵坐标1y 满足211(1)y k =-+， 故当12k <-时，11y <-；当1102k -<<时，1114y -<<-．即11(,1)(1,)4y ∈-∞---………………………………………………10分(3)证明：设直线PA 、PB 的方程分别为)(010x x k y y -=-、)(020x x k y y -=-． ……………………………………………………………………………………11分点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是ak x x 101=+， 故011x ak x -=③ …………………………………………………………13分 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ． 于是220k x x a +=，故220kx x a=-． …………………………………14分 由已知得，12k k λ-=，则012x k ax --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由，则λλ++=112x x x M ．…………15分将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．∴线段PM 的中点在y 轴上．…………………………………………………………16分23. 解：（1）由题设得1043=a a ，3a 、4a 均为非负整数，则3a 的可能的值为1,2,5,10.若13=a ，则104=a ，235=a ，与题设矛盾， 若53=a ，则24=a ，2355=a ，与题设矛盾， 若103=a ，则14=a ，605=a ，536=a ，与题设矛盾，所以23=a . …………………………………………………………………………4分 （2）用数学归纳法证明.（i ）当3=n ，213+=a a ，等式成立。