高三数学一轮复习教案全套 人教A版数列的概念与简单表示法

高三一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法【教学目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【重点难点】1.教学重点了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．；2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．知识点5 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.名师点睛1．必会结论在数列{a n } 中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 2．必知联系；数列中的数与集合中的元素的区别与联系(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列．这区别于集合中元素的无序性． (2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现． 考点分项突破考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝nn －12【解析】 观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.【答案】 C 2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.【解析】 数列可以看作32，55，710，917，…，分母可以看作12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，第n 项分母为n 2＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1，第n 项分子为2n ＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.【答案】 2n ＋1n 2＋1归纳 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1．常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．2．具体策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．考点二 由a n 与S n 的关系求通项(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b .【解析】 (1)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝23a n－1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1(2)①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝{ 3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 跟踪训练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64【解析】 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 【答案】 A2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1【解析】 由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B.【答案】 B归纳已知S n 求a n 的三个步骤 1．当n ＝1时，a 1＝S 1. 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.3．对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则a n 应写成分段函数的形式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.考点三 由数列的递推公式求通项公式 1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 【解】 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2nn －12. (3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2·3n －1， 因此a n ＝2·3n －1－1. 跟踪训练1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式 (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2适合上式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·1＝1n ，当n ＝1时适合上式，故a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1. 归纳典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例a n ＋1＝ a n ＋f (n ) 叠加法a 1＝1，a a n ＋1a n＝f (n ) 叠乘法 a 1＝1，＋1＝pa n ＋q ≠0,1，q ≠0) 化为等 比数列 a 1＝1，a ＋1＝pa n ＋q ·(p ≠0,1，q ≠0)化为等 差数列a 1＝1，a n ＋其中(1)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋pλ－λ，与a n ＋1＝pa n ＋q 比较知只要λ＝qp －1即可．(2)a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．环节三课堂小结1.数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．2.数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

环节四课后作业学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。