【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式
《复数的三角表示》复数PPT课件(复数的三角表示式)
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地 理 课 件 ： /kejian/dili/
资 料 下 载 ： /ziliao/
个 人 简 历 ： /jianli/
试 卷 下 载 ： /shiti/
教 案 下 载 ： /jiaoan/
手 抄 报 ： /shouchaobao/
复数 z＝a＋bi 的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来， a＋bi 叫
做复数的代数表示式，简称代数形式．
(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的 模 与 辐角的主值 分别相等．
必修第二册·人教数学A版
[自主检测] 1．复数 1＋ 3i 化成三角形式，正确的是( )
[提示] 根据三角函数的定义 sin θ＝yr，cos θ＝xr得 x＝rcos θ，y＝rsin θ.
必修第二册·人教数学A版
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(2)我们知道，复数可以用 a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数 a
＋bi 与复平面内的点 PPT模板：/moban/ PPT背 景 ： /beijing/ PPT下 载 ： /xiazai/ 资 料 下 载 ： /ziliao/
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复数的三角形式
三角形式和指数形式是等价的，可以通过三角恒等式相互转换。
复数三角形式的运算
加法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
复数三角形式的加法运算可以通过直接相加对应部分的方式进行。
对于两个复数 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$ 和 $z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，其和为 $z_1 + z_2 = (r_1 + r_2)(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$。
模
模长$r = sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是复数$z$的实部 和虚部。
复数三角形式的性质
幅角和模的性质
幅角
表示复数在复平面上的角度，其取值范围为$[0, 2pi)$。
模
表示复数在复平面上的距离，即该点到原点的长度。
幅角和模的关系
对于任意复数$z = r(costheta + isintheta)$，其 模为$r$，幅角为$theta$。
总结词
复数三角形式的除法运算可以通过将分母转换为 三角形式后再进行相除的方式进行。
详细描述
对于非零复数 $z_1$ 和 $z_2$，其商为 $frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(theta_1 -
theta_2) + i sin(theta_1 - theta_2))$。
解释
复数$z$可以用极坐标表示，其中$r$表 示原点到点$z$的距离，$theta$表示从 正实轴逆时针到点$z$的连线所形成的 角度。
复数的三角形式(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：
设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。
’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b
z=a＋bi的辐角。例如， 就是复数z=1＋i的一个
辐角，而 ＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的
辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一
，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为 ＋2k（k∈Z）.
重点探究
探究三
求复数2(cos -isin )的模与辐角。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a ＋bi 对应向量，以x 轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ ．说明：不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a ＋bi 的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a ＋bi 均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z 1=r 1(cosθ1＋isinθ1)，Z 2=r 2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg ，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角形式
例 1、计算：
① 2 (cos +isin ) 3 (cos +isin ) 12 12 6 6
②3(cos75º+isin75º) 3 (cos15º+isin15º) ③(cos3A+isin3A) (cos2A-isin2A)
4 4 5 5 ④4(cos +isin )÷2(cos +isin ) 3 3 6 6
3 arg z 2 , 6、复数 z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2 并且 2
求实数 a 的取值范围
则 M∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是（ (A) ）
4
(B)
2
(C)
3 4
(D)
3、设 a∈(-1,0),复数 cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为（ ） (A) arcsina (B)2 + arcsina (C) -arcsina (D) + arcsina 4、复数 1+cos200º+isin200º的辐角主值为（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º
定理的推广：设 zn=rn(cos n+isin n),其中 rn≥0 于是：z1z2z3„zn=r1r2r3„rn[cos( 1+ 2+ 3+„+ n) +isin( 1+ 2+ 3+„+ n)]
复数乘法的几何意义：
⑴两个复数 z1、z2 相乘时，可以先画出分别与 z1、z2 对应的 向量 OZ1 、 OZ 2 ，然后把向量 OZ 2 按逆时针方向旋转 1 再把模变为原来的 r1 倍，所得的向量 OZ 就表示积 z1z2. 特征：旋转+伸缩变换 ⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.
复数的三角形式及几何意义
复数的三角形式及几何意义本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义.通过复数的三角形式及运算，我们可以看到复数相乘（除）所对应的便是几何旋转.同时，复数的三角形式还可以有效地链接三角恒等变换，解决一些三角恒等式的计算，因此，本节内容也是强基或联赛中重点考察的对象.一．基础理论1.三角形式.复数bi a z +=（R b a ∈,）与复平面上的点),(b a Z 是一一对应的，点),(b a Z 和向量→OZ 于是一一对应的.向量→OZ 的模长称为复数bi a z +=的模||z ，即满足：22||b a z +=.进一步，复数yi x z +=在复平面内对应的点为),(y x Z .我们把向量OZ 与x 轴正方向形成的角叫做复数yi x z +=的辐角，记为Argz .取值在)2,0[π的辐角称为辐角主值，用z arg 来表示.对于非零复数，它的辐角主值是唯一的（复数0的辐角是任意的）.显然，若z arg =θ，则22sin yx y +=θ，22cos yx x +=θ，于是就可进一步得到复数的三角形式：设||OZ r =，θ为辐角，那么点P 点的坐标就可以记为)sin ,cos (θθr r ，)sin (cos θθi r z +=.2.幅角的性质.显然，若记22y x r +=则复数yi x z +=的主幅角可以表示为反三角函数的形式：xy r x r y z arctan arccos arcsinarg ====θ3.指数形式.由欧拉公式：θθθsin cos i ei +=可得到复数的指数形式：θθθi re i r z =+=)sin (cos .4.三角形式的基本运算.对于复数代数形式的加减乘除运算，属于高考数学的内容之一，这部分相对简单，此处就不再列举.我们这里重点需要强调的是复数的三角形式及运算.)sin (cos 1111θθi r z +=)sin (cos 2222θθi r z +=（1）乘法)]sin()[cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθθθθθ+++=++=i r r i i r r z z .进一步可得：||||||2121z z z z ⋅=，2121arg arg arg z z z z +=或π2arg arg arg 2121-+=z z z z .几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数乘法从几何意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值.）进一步，可得乘方的运算公式：设)sin (cos θθi r z +=，则)sin (cos θθn i n r z nn+=（棣莫弗定理）（2）除法)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i r r z z .几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负），即||||||2121z z z z =，2121arg arg arg z z z z -=或π2arg arg arg 2121+-=z z z z.（3）开方设)sin (cos θθi r z +=，则2sin 2(cosnk i n k r z n n πθπθ+++=（1,,2,1,0-=n k ）.例如，222sin 222cos 2sin 2cos ππππππk i k i i +++=+=.可以看到，复数的n 次方根是n 个复数，它们的模都等于这个复数的模的n 次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与π2的1,,1,0-⋅⋅⋅n 倍的和的n 分之一.5.复数的几何曲线（1）满足||||21z z z z -=-的复数z 所对应的点的轨迹为线段21Z Z 的中垂线；（2）满足r z z =-||1的复数z 所对应的点的轨迹为以1Z 为圆心，半径为r 的圆；（3）满足)2|(|,2||||2121a Z Z a z z z z <=-+-的复数z 所对应的点的轨迹为以21,Z Z 为椭圆，长轴长为a 2的椭圆.二．典例分析例1.计算下列各式的值.（1）312⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）312⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.解析：利用复数的三角形式可得：（1）33122cos sin cos2sin212233i i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）33144cos sin cos4sin41233i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：上述两个值是三次方程的两个单位根，其有重要的应用.例2．已知复数z 满足2240z z ++=，且arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则z 的三角形式为__________．解析：由2240z z ++=可得，()213z +=-，所以11z z +=⇒=-，又arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1z =-．因为2z ==，所以122z ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故答案为：222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．例3.设11z i =+，22z i =+，33z i =+，则123arg()z z z -等于A．6πB．3πC．23πD．56π解析：由于()()()12312310z z z ii i i =+++=，∴()123arg z z z -()5arg 106i π=-=.选D.例4.（2020清华强基计划）求=++)31arcsin 103arccos1sin(arctan __________.解析：令i z i z i z +=+=+=2,3,1321，由于)arg(arg arg arg 321321z z z z z z =++，且根据复数的定义：=++31arcsin 103arccos1arctan 321arg arg arg z z z ++.另一方面：i z z z 10321=，故2)arg(321π=z z z ，则2)arg(arg arg arg 321321π==++z z z z z z ，综上，131arcsin 103arccos1sin(arctan =++.练习1．化简12arcsin 23-=______.解析：令11z =，22i z =，则有()2121211arg arg arg22z z z z +=()()1arg 42i 2⎡⎤=-+⎣⎦()13πarg 18i 24=-=.从而，12πarcsin234-=.下面我们再看复数的几何意义相关问题.例5.（2019上海竞赛）设复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.解析：显然，复数yi x z +=所对应的点的轨迹为方程为13422=+y x ，故求||i z +的最大值等价于求22)1(++y x 的最大值.利用椭圆的参数方程可求最大值为334.例6.（2020清华强基）设复数z 满足3|73|=-i z ，则iz z z +-+-1222的（）A.最大值为38 B.最大值为37 C.最小值为34 D.最小值为32解析：由3|73|=-i z 可得：1|37|=-i z ,则z 是以)37,0(i 为圆心，1为半径的圆.另一方面，|1|1222i z iz z z --=+-+-，根据几何意义可知：]38,32[|1|∈--i z .练习2.（2019中科大自主招生）若复数z 满足11+-z z 是纯虚数，则|3|2++z z 的最小值为__.答案：333.练习3.若复数z 满足1||=z ，则|))((|i z i z +-的最大值为______.答案：2练习4.若复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.答案：334练习5．（2020高联A 卷）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．解析：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ -+-+-+-⎝⎭⎝⎭，故22a b +=．从而|3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +练习6.（2016山东预赛）=+++651arcsin 501arcsin 261arcsin 101arcsin_______.答案：4π.。
高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式
高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是一个必学的知识点。
复数的指数形式和三角形式是复数的两种表示形式。
本文将对复数的指数形式和三角形式进行详细的总结与说明。
一、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为e的幂形式，即z = a + bi可以表示为z = re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。
1. 模长的计算模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。
2. 辐角的计算辐角θ表示复数与实轴的夹角，可以通过使用反三角函数计算得出。
具体计算方式如下：θ = atan(b/a) (a > 0)θ = atan(b/a) + π (a < 0)θ = π/2 (a = 0, b > 0)θ = -π/2 (a = 0, b < 0)其中，atan为反三角函数，表示反正切函数。
3. 复数的指数形式表示将模长和辐角代入复数的指数形式z = re^(iθ)中，即可得到复数的指数形式表示。
二、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为三角函数的形式，即z = a + bi可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
1. 模长的计算与指数形式相同，模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。
2. 辐角的计算与指数形式相同，辐角θ表示复数与实轴的夹角，具体计算方式如上所述。
3. 复数的三角形式表示将模长和辐角代入复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)中，即可得到复数的三角形式表示。
三、指数形式与三角形式的相互转换复数的指数形式和三角形式可以相互转换，转换方式如下：1. 从指数形式转换为三角形式给定复数的指数形式z = re^(iθ)，可以得到其三角形式表示为z =r(cosθ + isinθ)。
2. 从三角形式转换为指数形式给定复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)，可以得到其指数形式表示为z = re^(iθ)。
复数复数的三角表示pptx
信号的频谱表示
信号的复数表示是将信号转换为代表实数和虚数的复数形式。
对于离散信号，可以使用离散时间傅里叶变换将其转换到频域，得到复数形式的频谱。
对于连续信号，可以使用傅里叶变换将其转换到频域，得到复数形式的频谱。
基于复数的电路分析方法
复数的未来发展与应用
06
在量子力学中，波函数通常是复数形式，复数可以描述波函数的幅度和相位。
波函数的复数表示
复数在量子力学中的应用
在量子力学中，概率是描述粒子在某个位置被发现的概率，复数的概率幅可以描述这种概率分布。
概率幅
薛定谔方程是一种形式为矩阵的力学方程，复数在这个方程中扮演着重要的角色。
复数的减法
若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1×a2-b1×b2)+(a1×b2+a2×b1)i
复数的乘法
复数的计算规则
MATLAB中的复数函数
real(z)，imag(z)，abs(z)，angle(z)，conj(z)，sqrt(z)，exp(z)，log(z)，sin(z)，cos(z)，tan(z)等等
在信号处理中，信号的频率可以通过对信号进行傅里叶变换得到，而傅里叶变换的结果是一个复数，这个复数的模表示信号的幅度，角表示信号的相位。
复数三角表示的物理意义
利用MATLAB进行复数计算
03
若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
复数的加法
若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i
复数的三角表示
三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】 将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代 数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点 （a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主 值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6
isin
6
·
2
cos
4
isin
4
＝
.
【解析】
5
cos
6
ห้องสมุดไป่ตู้
高中数学复习：复数的三角形式
高中数学复习：复数的三角形式考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。
(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。
非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，ra =θcos ，r b=θsin 。
r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。
则。
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。
因此，如果就有[。
这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。
2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．以下不满足复数13i 22-的三角形式的是（）．A ．ππcos isin 33⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；B ．5π5πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C ．cos isin 3π3π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；D ．11π11πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．设54ππθ<<，则复数cos 2isin 2cos isin θθθθ+-的辐角主值为（）A ．23πθ-B ．32θπ-C ．3θD ．3θπ-3．复数22i z =-的三角形式是（）A ．2cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．332cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．772cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．552cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辐角4．任意复数i z a b =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．复平面内，向量OP 对应复数的共轭复数为3i --，则OP对应复数的幅角主值为（）A ．76πB ．6π-C ．116πD ．56π6．欧拉公式()i e cos i sin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知πi 613i 22e θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，则θ=（）A ．()π2π3k k +∈Z B ．()π2π6k k +∈Z C ．()ππ3k k +∈Z D ．()ππ6k k +∈Z题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．计算：(1)ππππ3cos isin2cos isin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭9．（1）计算：4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]；（2）已知复数z ＝r (cos θ＋i sin θ)，r ≠0，求1z的三角形式.【双基达标】一、单选题10．下列结论中正确的是（）．A ．复数z 的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；B ．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C ．实数0不能写成三角形式；D ．复数0的辐角主值是0．11．已知i 为虚数单位，()12cos 60isin 60z =︒+︒，()222sin 30i cos30z =︒-︒，则12z z ⋅等于（）A ．()4cos90isin 90︒+︒B ．()4cos90isin 90︒+︒C ．()4cos30isin 30︒-︒D ．()4cos0isin 0︒+︒12．欧拉公式i e cos isin x x x =+建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①iπe 10+=；②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin i 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．下列说法正确的是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对13．已知复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，则22zz=（）．A ．22i 22--B ．22i 22-+C ．22i 22-D ．114．复数4i z =-化成三角形式，正确的是（）A ．334cos isin 22ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．334cos isin 22ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．334cos isin 22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．334cos isin 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．回答下面两题(1)求证：1cos i sin cos i sin θθθθ=-+；(2)写出下列复数z 的倒数1z的模与辐角：①ππ4cos isin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②ππcos i sin 66z =-；③()21i 2z =-．16．设复数13i 22ω=-+，求证：(1)ω，2ω，1都是1的立方根；(2)210ωω++=．【高分突破】一、单选题17．设12z z z ∈C ､､，则下列命题中的真命题为（）A ．若12z z >，则12z z z z +>+B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若12z z z =，则12arg arg arg z z z =+18．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，R x ∈）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．πi 2e 的虚部为i B ．3πi 422ei 22=-C ．i ecos sin x x x=+D ．πi 3e 的共轭复数为13i22-19．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos θi sin θθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（）A ．πi 2e i=B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πiπi 44πe ecos 42-+=20．复数()()cos 25isin 25cos50isin 50z =++的三角形式是（）A ．()()cos 25isin 25-+-B ．sin 75i cos 75+C ．cos15isin15+D ．cos75isin 75+21．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，3i e 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°二、多选题23．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数i e 3ix +的模等于12D ．i 6e π的共轭复数为13i22-24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A ．3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B ．i e 10π+=C ．313i 122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭D ．i i e e cos 2-+=θθθ25．以下不是复数13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭26．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数65i e π的值为31i 22--B ．i e π为纯虚数C ．复数i e 1i x +的模长等于22D ．42i i 33e e 10ππ++=27．欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A ．复数i 2e π为纯虚数B ．复数i2e 对应的点位于第二象限C ．复数i 3e π的共轭复数为31i 22-D ．复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆28．已知i 为虚数单位，若()1111cos i is n z r θθ=+，()2222cos i is n z r θθ=+，…，()cos isin n n n n z r θθ=+，则()()12121212cos isin n n n n Z Z Z r r r θθθθθθ=+++++++⎡⎤⎣⎦ .特别地，如果12(cos i sin )n z z z r θθ====+ ，那么()()cos isin cos isin nn r r n n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误．．的是（）A ．若cosi sin66z ππ=+，则413i22z =-+B ．若cos i sin 55z ππ=+，则51iz =+C ．若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1266i z z ⋅=+D ．若123233cos i sin 1212z ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12636i z z ⋅=-29．cos sin i e i θθθ=+（θ∈R ，i 是虚数单位，e 是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A ．对任意的θ∈R ，i e 1θ=B ．i e 在复平面内对应的点在第一象限C ．iπe 10-=D ．()i i i e e e αβαβ+=30．任何一个复数i z a b =+（其中,a b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：*[(cos isin )](cos isin )()n n n z r r n n n N θθθθ=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22||z z =B ．当2r =，6πθ=时，13iz =-C ．当1r =，3πθ=时，31z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数31．已知复数22cos isin 33z ππ=+，则下列关于复数z 的结论中正确的是（）A ．||1z =B ．44cos i sin 33z ππ=+C ．复数z 是方程310x -=的一个根D ．复数z -的辐角主值为23π-三、填空题32．设13i 22ω=-+，则10ω=______．33．已知z 的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是______．34．计算：5ππ3cos isin55⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．35．已知复数z 满足||5,arg arctan 2z z ==．若z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则b c +=______．36．任意一个复数Z 都可以表示成三角形式即i (cos isin )a b r θθ+=+.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示）()1111z cos i sin r θθ=+，()2222z cos i sin r θθ=+，则：()()12121212z z cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦，”已知复数13i 22z =+，则17z z +=______.37．计算：553cos i sin 2cosi sin 3366ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．(用代数形式表示)38．将复数z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化为代数形式为________．四、解答题39．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π．(1)观察()2cos i sin cos 2i sin 2θθθθ+=+，()3cos i sin cos 3i sin 3θθθθ+=+，()4cos i sin cos 4i sin 4θθθθ+=+，…猜测：()cos i sin nθθ+（直接写出结果）；(2)若复数3i z =-，利用（1）的结论计算10z ．40．复数ω的辐角主值是34π，且22()i ωωω+-为一实数，求复数ω．41．已知()1f z z =-，且()1244i f z z -=+，若122i z =-．(1)求复数1z 的三角形式与1arg z ；(2)求1212z z z z -+．42．在复平面内，设复数z 对应向量1OZ ，它的共轭复数z 对应向量2OZ．(1)若复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，求出实数k 的取值范围，并用k 表示||z z -；(2)若i 12z =+，且P 点满足122Z P PZ =，求1POZ 的重心G 所对应的复数G z ；(3)若cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，可知θ在变化时会对应到不同的复数z ，若取不同的[0,2π)i θ∈，1,2,3,4i =，使得其所对应的复数i z 满足410i i z ==∑，求证：1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．高中数学复习：复数的三角形式答案1．C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A ：13cos isin πi 2π332⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于B ：5π5π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于C ：13cos isin i 33π22π⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；对于D ：11π11π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合2．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：cos 2isin 2cos 2isin 2cos3isin 3cos isin cos()isin()θθθθθθθθθθ++==+--+-，因为54ππθ<<，所以15334θππ<<，所以7324θππ<-π<，所以该复数的辐角主值为32θπ-．3．C【分析】根据复数的三角形公式(cos i sin )z r θθ=+可求解.【详解】解：22222222i22i (2)(2)(2)(2)(2)(2)⎡⎤⎢⎥-=+-⨯-⎢⎥+-+-⎣⎦22772i 2cos i sin 2244ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．A【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.5．D【分析】由已知得到向量OP 对应复数，并求出OP的模，再表示成(cos i sin )r θθ+的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在02π～范围的辐角主值．【详解】因为复数3i --的共轭复数为3i -+，即向量OP对应的复数为3i z =-+，2OP z ∴==uu u r ，312i 22z ⎛⎫∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 的幅角主值为56π即OP 对应复数的幅角主值为56π【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．6．B【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】i e cos isin θθθ=+ ，i 613ecos isin i6622πθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ1cos 62π2π63π3sin 62k θπθθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪∴⇒+=+⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩()26k k θπ∴=+∈Z π，7．C【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i --===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.8．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isin cos isin 2cos isin 2i336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos isin i 22=+=(4)()ππππππ1i cos isin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.9．（1）13i -+；（2）()1cos sin i rθθ-【分析】（1）由复数三角形式的除法公式直接可求；（2）1可看作11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，结合复数三角形式的除法公式即可求解.【详解】由()()11112222cos sin ,cos sin z r i z r i θθθθ=+=+，则()()()()11111121222222cos sin cos sin cos sin r i z r i z r i r θθθθθθθθ+==-+-⎡⎤⎣⎦+进行计算即可：（1）因为()()cos320cos 40,sin 320sin 40︒=-︒︒=-︒所以4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]()()4cos 8040sin 8040132i i =︒+︒+︒+︒=-+⎡⎤⎣⎦；（2）因为()z r cos isin θθ＝＋,令11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，所以()()()1111cos 0sin 0cos sin z i i z z r r θθθθ⎡⎤==-+-=-⎣⎦【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.10．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A ：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误；B ：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C ：0(cos isin )0θθ⨯+=其中R θ∈，故实数0能写成三角形式，错误；D ：复数0的辐角主值不唯一，错误.11．D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】222(sin 30i cos30)22(cos300isin 300)z =︒-︒=︒+︒ ，122(cos 60isin 60)22(cos300isin300)z z ︒︒+︒⋅=+⋅︒∴()()4cos 60300isin 60300=︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()4cos360isin360=︒+︒()4cos 0isin 0=︒+︒.12．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①iπe 1cosπisinπ111=0+=++=-+②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2π9ππ2π9π9πi +++i i i i 10101010101029π9π=e e e e e cos isin i 22⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯===+= 则①②均正确13．A 【分析】由已知，可根据题意直接表示出22z z，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，2222222(cos 67.5sin 67.5)cos 67.5sin 67.52cos 67.5isin 67.5z z ︒︒︒︒︒︒+=-+ 1122i cos135isin1352222i 22︒︒===--+-+14．A【分析】求出复数z 的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数z 的模为r ，则220(4)4r =+-=，3arg 2z π=，所以复数4i z =-的三角形式为334cos isin 22z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；证法2，等价转化为证明两个复数相乘；（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出1z，再化为三角形式.【详解】（1）证法1：左边cos 0isin 0cos(0)isin(0)cos isin cos isin θθθθθθ+==-+-=-=+右边证法2：22(cos isin )(cos isin )cos (isin )θθθθθθ+-=- 22cos sin 1θθ=+=，1cos isin cos isin θθθθ∴=-+∴原等式成立.（2）①ππ4cos i sin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，111ππ123π23πcos isin cos isin ππ41212412124cos isin 1212z ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，1z ∴的模为14，辐角为23π2π,Z 12k k +∈.②ππcos isin 66z =-时，11ππcos isin ππ66cos isin 66z ==+-.1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 6k k +∈.③2(1i)2z =-时，1222ππi cos i sin 1i 2244z ==+=+-，1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 4k k +∈.16．【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出2ω，进而可得21ωω++的值.【详解】（1）132π2πi cos isin 2233ω=-+=+ 332π2π2π2π(cos isin )cos(3)isin(3)cos 2πisin2π13333ω=+=∴⨯+⨯=+=，236322()()11ωωω====，311=，所以ω，2ω，1都是1的立方根；（2）222π2π2π2π4π4π13(cosisin )cos(2)isin(2)cos isin i 33333322ω=+=⨯+⨯=+=-- ，2131311i i 02222ωω∴++=-+--=17．C【分析】根据虚数不能比较大小判断A ，取0z =可判断B ，根据复数模的性质判断C ，取特例可判断D.【详解】当z 为实数时，12z z z z +>+成立，否则不成立，故A 错误；当0z =时，满足0z z +=，但z 不为纯虚数，故B 错误；当120z z =时，2211||0||||z z z z ==，故1||0z =或2||0z =，所以10z =或20z =，故C 正确；当120,i z z ==时，120z z z ==，π002∴≠+，即12arg arg arg z z z ≠+，故D 错误.18．D【分析】对于A ，由πi 2e i =，其虚部为1，可判断A ；对于B ，3πi 422ei 22=-+，判断B ；对于C ，i 22e cos sin 1x x x =+=，判断C ；对于D,求得πi 3e ，结合共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，其虚部为1，故A 错误；对于B ，3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，故B 错误；对于C ，i e cos i sin x x x =+，则i 22e cos sin 1x x x =+=，故C 错误；对于D,πi 3cos is ππ13e i 33n 2i 2=+=+，故πi 3e 的共轭复数为13i 22-，D 正确，19．C【分析】根据iθe cosθi sin θ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为iθe cosθi sin θ=+所以πi 2ππe cos +isin i 22==，故A 正确πi 4ππ22e cos +isin +i 4422==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi 44ππππcos isin cos isin e eπ4444cos 224-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确20．D 【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】()()()()cos 25isin 25cos50isin 50cos 2550isin 2550z =++=+++ cos75isin 75=+ .21．B【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：3i e cos3isin 3=+，又3rad 357.3171.9≈⨯= ，为第二象限角，故cos 30,sin 30<>，故3i e 在复平面内对应的点()cos3,sin3位于第二象限.22．B【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果.【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°．23．BC【分析】根据欧拉公式写出2i e cos 2isin 2=+、i 2e cos isin 22πππ=+、6e cos isin 66i πππ=+，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知2i e cos 2isin 2=+，而cos20<，sin 20>，则复数2i e 对应的点位于第二象限，故A 错误；i 2e cos isin i 22πππ=+=，则i 2e π为纯虚数，故B 正确；ie cos isin (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos i 443i 3i(3i)(3i)x x xx x x x x x ++-+-===++++-，则i e 3i x +的模为2222223cos sin 3sin cos 3cos sin 3sin cos 144162x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；631e cos isin i 6622i πππ=+=+，其共轭复数为31i 22-，故D 错误．24．BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A ：3i e cos3isin 3=+，因为32ππ<<，所以sin 30>，cos 30<，所以3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；对于B ：i e 1cos i sin 1110πππ+=++=-+=，故B 正确；对于C ：333i i 313i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由i cos isin e θθθ=+，i n e cos()isi ()cos isin θθθθθ-=-+-=-，所以i i 2co es e θθθ-=+，所以i i e e cos 2-+=θθθ，选项D 正确；25．AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以B 正确，而7π7πsin i cos 661313i 2i 222⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故C 正确.26．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于5i 65531cos i sin e i 6622πππ=+=-+，所以A 错误；i e cos isin 1πππ=+=-为实数，故B 错误；复数ie 1i x +的模长为|cos isin |12|1i |22x x +==+，故C 正确；42i i 331313e 1i i 102222e ππ⎛⎫++=--+-++= ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确．27．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为复数i 2e cos sin 22πππ=+=i i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数i2cos 2isin2e =+，因为cos 20,sin2>0<，所以复数i2e 对应的点为()cos 2,sin2位于第二象限，B 正确；对C ：复数i 313e is i cos in 3322πππ++==的共轭复数为13i 22-，故选项C 错误；对D ：复数i )cos i e sin (θθθθ+∈=R 在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ，因为22cos sin 1θθ+=，所以复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确.28．BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若cosi sin 66z ππ=+，则44413cos isin i 6622z ππ=+=-+，所以该选项正确；B.若cos i sin 55z ππ=+，则5cos i sin 1z ππ=+=-，所以该选项错误；C.若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12336cos isin 6i 22z z ππ⎛⎫⋅=+=- ⎪⎝⎭，所以该选项错误；D.123233cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12131312cos isin 636i 66z z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以该选项错误.29．ABD【分析】根据已知的欧拉公式，利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A 选项，i 22e cos cos sin 1isin θθθθθ=+=+=，正确；对于B 选项，i e cos11isin =+，而cos10,sin10>>，故i e 在复平面内对应的点(cos1,sin1)在第一象限，正确；对于C 选项，iπe 1cos ππ12,isin -=+-=-错误；对于D 选项，()()i i e e cos cos isin isin αβααββ=++=2cos cos cos cos i sin sin isin isin αββααβαβ+++=()cos cos sin sin sin cos sin cos iαβαββααβ-++=()()cos isin αβαβ+++()i e αβ+=，正确.30．AC【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数i z a b =+有，()2222i 2iz a b a b ab =+=-+222z a b ∴=+，而222z a b =+，所以选项A 正确；根据复数的三角形式，π26r θ==，时，ππ2cos 3i 66z isin ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭此时，3i z =-，选项B 错误；π13r θ==，时，ππ13cos i 3322z isin =+=+根据棣莫弗定理，()331z r cos isin ππ=+=-，所以选项C 正确；π14r θ==，时，ππcos 44n n n z isin =+，n 为偶数时，设2,*n k k Z =∈,ππcos,*22n k k z isin k Z =+∈，所以k 为奇数时，n z 为纯虚数；k 为偶数时n z 为实数，选项D 错误.31．ABC【分析】利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；【详解】 13i 22z =-+，∴13||144z =+=，故A 正确； 1344i cos isin 2233z ππ=--=+，故B 正确； 366cos sin 133z i ππ=+=，∴310z -=，故C 正确； 13i 22z -=-，∴复数z -的辐角主值为53π，故D 错误；32．13i 22-+【分析】将复数ω表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简10ω.【详解】因为132π2πi cos isin 2233ω=-+=+，所以，101020π20π2π2π13cos isin cos isin i 32π2πcos isin 3333322ω⎛⎫==+=+=-+ ⎪⎝⎭+.33．7π4【分析】根据复数的三角表示可得22i 22z r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，从而可得其共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得共轭复数的辐角主值.【详解】解：z 的辐角主值是π4，则ππ22cos isin i 4422z r r ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0r >，所以共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则共轭复数的辐角主值是7π4.34．243-【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可.【详解】解：()55ππππ3cos isin 3cos 5isin 5243cos πisinπ2435555⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦35．9【分析】根据题意求出12z i =+，然后根据z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根即可求解.【详解】设i(R,R)z x y x y =+∈∈，因为arg arctan 2z =，所以2y x=，且复数z 在第一象限，又复数z 满足|z |5=，所以12z i =+，因为z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则有23(12i)(12i)0b c ++++=，也即(122)i -90b b c +++=，所以122090b b c +=⎧⎨+-=⎩，则9b c +=，36．1【分析】将z 化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简17z z +，即可得结果.【详解】由13cos sin 2233ππz i i =+=+，所以1716ππ16π16π(1)(cosisin )(cos isin 1)3333z z z z +=+=+++，而16π16π4π4π135π5πcos isin 1cos isin 1i cos isin 33332233++++==+=-，所以17ππ5π5πcos i sin cos i sin cos 2πi sin 2π13333z z ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.37．3i 2-【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.【详解】553553cos isin 2cos isin cos isin 336623636ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+÷+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos isin i 2222ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．1－i【分析】计算出三角函数值后化简即可.【详解】z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ222(cos isin )2(i)1i 4422=-=-=-．39．(1)cos isin n n θθ+(2)5125123i+【分析】（1）观察规律即可得；（2）由特殊角三角函数得11π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由观察得()cos i sin cos i sin nn n θθθθ+=+；（2）3111π11π3i 2i 2cos i sin 2266z ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）得10101011π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1011π11π2cos10i sin1066⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭1055π55π2cos isin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10ππ2cos 18πisin 18π33⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦10ππ2cos i sin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10132i 22⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭5125123i+=40．1iω=-+【分析】根据辐角主值的定义，写出ω的表达式，并带入化简22()i ωωω+-，结合22()i ωωω+-为一实数求出参数2r =，进而得到ω的值.【详解】∵复数ω的辐角主值是34π，且3π23π2sin ,cos 4242==-，22i 22r r ω∴=-+，22i 22r r ω∴=--，22222i i 22r r r ω⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2222i+2(i i)2()2222i 22r r r i r r ωωω--+-+-∴=--()()2222222222+2i 22r r r r r r r r r ⎡⎤+-++-+-⎢⎥⎣⎦=，22()i ωωω+- 为实数，()2222+202r r r r ∴-+-=，整理得：()220r -=，2r ∴=，1iω∴=-+41．(1)17π7π22cos i sin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，17πarg 4z =(2)41【分析】（1）求出复数1z 的模和辐角主值后，可得复数1z 的三角形式；（2）根据()1f z z =-，()1244i f z z -=+以及122i z =-求出2z ，将1z 和2z 代入1212z z z z -+可求出结果.【详解】（1）因为122i z =-，所以其模222(2)22r =+-=，设其辐角为θ，则22cos 222θ==，22sin 222θ-==-，因为复数122i z =-对应的点(2,2)-在第四象限，所以1arg z 7π4=，所以复数1z 的三角形式为17π7π22cos isin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()1f z z =-，所以()12121f z z z z -=--121z z =--44i =+，因为122i z =-，所以22i +2144i z --=+,所以232i z =--，所以232z i =-+，所以1212z z z z -+22i 32i 22i 32i -+-=--+54i 1-=-241641=+=.42．【分析】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；（2）设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 求得21,3x y ==-，由三角形重心坐标公式求得1POZ 的重心G 坐标，由此可得复数G z ；21（3）求得||1z =，说明1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 在单位圆上，再410i i z ==∑取值，说明,AC BD 为单位圆的两直径，即可证明结论.【详解】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，R k ∈，则1680,2k k =-<> ，即实数k 的取值范围(2,)+∞；解方程2240x x k ++=得4816i 224i 42k k x -±--±-==，不妨令复数224i 2z k -+-=，另一根为224i 2z k ---=，故||24,(2)z z k k -=->.（2）由i 12z =+可知12i z =-，故21(1,2),(1,2)OZ OZ ==- ，设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 得(1,2)2(1,2)x y x y --=---，即12(1)22(2)x x y y -=-⎧⎨-=--⎩，解得21,3x y ==-，故2(1,)3P -，故1POZ 的重心G 为202101243,,3339⎛⎫-++ ⎪++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，故24i 39G z =+.（3）由于cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，则22||cos sin 1z θθ=+=，则1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 都在单位圆上，又410i i z ==∑，则1234cos cos cos cos 0θθθθ+++=且1234sin sin sin sin 0θθθθ+++=，不妨取3142π+,π+θθθθ==，[0,π),1,2i i θ∈=，则,AC BD 为单位圆的两直径，则四边形ABCD 的对角线互相平分且对角线相等，则四边形ABCD 为矩形，即1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．。
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复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明：（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；（2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即22||||b a r bi a Z +==+=．2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明：不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中022≥+=b a r ，ra =θcos ，rb =θsin ．说明：任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角．（3）复数的三角形式的运算：设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=⋅i r r Z Z ；2）除法：)0()]sin()[cos(221212121≠---=Z i r r Z Z θθθθ；3）乘方：)sin (cos θθn i n r Z n n +=； 4）开方：)1,,2,1,0()]2sin()2[cos(-=+++=n k nk i nk r Z nn πθπθ．3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到2Z 点的距离．（2）复数加、减法的几何意义：图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即21Z Z Z +=，1221Z Z Z Z Z -=．（3）复数乘、除法的几何意义：设)sin (cos 1111θθi r Z +=，则1ZZ 的几何意义是把Z 的对应向量OZ 按逆时针方向旋转一个角1θ（如果01<θ，就要把OZ 按顺时针方向旋转一个角||1θ，再把它的模变为原来的1r 倍，所得向量OP 即表示积1ZZ ，如图，01≠Z ，1Z Z 的几何意义是把Z 的对应向量OZ 按顺时针方向旋转一个角1θ（如果01<θ，就要把OZ 按逆时针方向旋转一个角||1θ，再把它的模变为原来的11r 倍，所得的向量即表示商1Z Z ．4、复数的指数形式：把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即θθθsin cos i ei +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θi re Z =形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式． 三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：r Z Z =-||0；线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ； 双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．典型例题例1、已知πα<<0，且2πα≠，复数i Z -=αtan ．（1）求Z 的三角形式；（2）若2||<Z ，求Z arg 的取值范围． 解析： （1）)cos (sin cos 1cos sin αααααi i Z -=-=， 1）当20πα<<时，则0||cos 1>=Z α， 而)23sin()23cos(cos sin απαπαα+++=-i i ， ∴此时三角形式为)]23sin()23[cos(cos 1απαπα+++i ．2）当παπ<<2时，则0||cos 1>=-Z α，而)2sin()2cos(cos sin απαπαα+++=+-i i ，∴此时三角形式为)]2sin()2[cos(cos 1απαπα+++-i ．（2）当20πα<<，2cos 1||<=αZ ，∴21cos >α，∴30πα<<， 而απ+=23arg Z ，∴611arg 23ππ<<Z ；当παπ<<2，2cos 1||<-=αZ ，∴21cos -<α，∴παπ<<32，而απ+=2arg Z ，∴23arg 67ππ<<Z ．评析：化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式． 例2、设1||=Z ，0arg =Z ，且πθ≤<0，ZZ --=113ω．（1）存在实数a 、b ，使θωcos ||b a +=成立，求a 、b ； （2）若1||=ω，求θ． 解析：（1）依题意可设θθsin cos i Z +=，则θθθθω2s i n 2c o s s i n c o s 112i i Z Z ++++=++=． ∵)2sin (sin 2cos cos 1θθθθω++++=i ∴22)2sin (sin )2cos cos 1(||θθθθω++++=θθθθθθ2c o s 2c o s 43)2c o s (22c o s 2c o s 23++=-+++=．∴θθθθ222cos cos 22cos 2cos 43b ab a ++=++，且0cos ≥+θb a ，即22cos cos 222cos 2cos 43222θθθθb ab ba +++=++．∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+224232222b ab b a ，且0cos ≥+θb a ．∴当320πθ≤<时，⎩⎨⎧==21b a ．当πθπ≤<32时，⎩⎨⎧-=-=21b a ． （2）若1||=ω，则1)1cos 2(2cos 432=-++θθ，即01cos 4cos 42=++θθ．∴0)1cos 2(2=+θ，21cos -=θ，∴32πθ=．例3、复数1Z 与2Z 满足：i Z Z 221=+，3||21=Z Z ，且21Z Z u =，θ=u arg ，问：当||u 为何值时，θcos 取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值． 解析： 设)0()sin (cos 21≥+==r i r Z Z u θθ，则21)sin (cos Z i r Z θθ+=，且||||21Z r Z =． ∴⎩⎨⎧==++3||2)sin (cos 2222Z r iZ Z i r θθ． ∴2|2||sin 1cos |||2==⋅++⋅i r i r Z θθ， ∴34||4cos )1cos (22222r Z r r ==++θθ，即34cos 212r r r =++θ，∴)1(2132cos rr +-=θ（显然0≠r ）． ∴3122132cos -=⨯-≤θ，即31cos 1-≤≤-θ．当1cos -=θ时，1)1(2132-=+-rr ，解得31=r 或3=r ；当31cos -=θ时，rr 1=，∴1=r ．即31||=u 或3||=u 时，1][cos min -=θ，而1||=u 时，31][cos max -=θ．例4、设复数1Z 、2Z 、3Z 满足：1||1=Z ，Z Z Z 12=，213Z Z Z =，其中)31(23i Z +=，若1Z 、2Z 、3Z 在复平面上所对应的点分别是1Z 、2Z 、3Z ，求321Z Z Z ∆的面积． 解析：由复数及复数乘法的几何意义，1Z 点在单位圆O 上，设其辐角主值为θ，Z 点是)233,23( ，其辐角主值是3π，∵Z Z Z 12=，∴2Z 点是将OZ 逆时针旋转θ角后对应向量2OZ 的终点，同理3OZ 向量则是由2OZ 向量逆时针旋转3π后，再将模伸长为2OZ 模的3倍而得到．如图所示：∴313221321Z OZ Z OZ Z OZ Z Z Z S S S S ∆∆∆∆-+= 313132322121s i n ||||21sin ||||21sin ||||21OZ Z Z Z OZ Z Z Z OZZ Z Z ∠-∠+∠=4321)32sin||3sin||3sin|(|2123=-+=πππZ Z Z ．例5、已知复数Z 满足1|1|=+ZZ ，求复数Z 的模r 的最大、小值及对应的Z ．解析： 方法一： ∵11||1||=+≤-ZZ Z Z ．||Z 、R Z ∈||1．∴1||1||1≤-≤-Z Z ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+01||||01||||22Z Z Z Z ，∴215215+≤≤-r ．而当)()1(+∈-=R k Zk Z 时，ZZ Z Z 1||1||+=-，∴当i Z 215-±=时，215min -=r ；而当i Z 215+±=时，215max +=r ．方法二：设)sin (cos θθi r Z +=． ∴|)sin (cos 1)sin (cos ||1|θθθθi ri r ZZ -++=+θθθθ2222s i n )1(c o s )1(|s i n )1(c o s )1(|rr rr i rr rr -++=⋅-++=12c o s 21s i n 2c o s 21222222=++=-++=θθθrr rr ．∵32cos 211022≤-=+<θrr ，∴01324≤+-r r ，2532532+≤≤-r ．∴215215+≤≤-r ，且当i Z 215-±=时，215min -=r ；当i Z 215+±=时，215max +=r ．高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题1、复数)()1(2224Z n i i Z n ∈--=+ 的辐角主值是（ ） A ．4π B ．43π C ．45π D ．47π2、设C a ∈，πθπ43<<，给出复数：)2sin 2(cos 21θθi a Z +=，)2sin2(sin ||2θθi a Z +=，)sin (cos 2sin||3θθθi a Z +-=其中能确定为复数的三角形式的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 3、已知yi x Z +=，（0>x ，0<y ），则=xy arctan（ ）A ．Z argB ．Z arg 2-πC ．π2arg -ZD ．23arg π-Z4、若),2(ππθ ∈，则复数)sin )(cos 1(θθi i Z -+=的辐角主值是（ ）A ．θπ-49 B ．θπ+4C ．θπ+43 D ．θπ-25、若52sin 52cos ππωi +=，则=++++5432ωωωωω（ ）A ．iB ．1-C ．0D ．1 6、设3sin3cosππi Z +=，若Z Z n =，则最小的正整数=n （ ）A ．1B ．2C ．5D ．7 7、在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ ）A ．32B ．i 32-C ．i 33-D ．i 33+8、1Z 、2Z 是两个非零复数，且分别对应点1Z 、2Z ，则21OZ OZ ⊥的充要条件是（ ） A ．i Z Z 21±= B ．21Z Z 的实部为0 C ．2arg12π=Z Z D ．21Z Z 的虚部为09、复数Z 满足条件：|||12|i Z Z -=+，则||Z 的最大值是（ ）A ．32 B ．352 C ．315- D ．325-10、设yi x Z +=（x 、R y ∈），且x Z =-|2|，则复数Z 的对应点Z 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线 二、综合题11、已知Z 和0Z 均为复数，且i Z Z 3330-+=，3300-+Z Z 为纯虚数，求||Z 和Z arg 的取值范围．12、设复数1Z 、2Z 分别对应复平面上的1Z 、2Z 点，1Z 、2Z 的辐角分别为θ、θ-)20(πθ<<，且21Z OZ ∆的面积为定值S （O 为原点），若21Z OZ ∆的重心Z 点对应复数Z ．（1）求Z 点的轨迹方程，并指明轨迹类型； （2）求||Z 的最小值．13、已知复数1Z 、2Z 、3Z 的辐角主值分别是α、β、γ，又1||1=Z ，k Z =||2，k Z -=2||3，且0321=++Z Z Z ，问k 取何值时，)cos(γβ-分别取得最大值和最小值？并求出)cos(γβ-的最大值和最小值？。