高中数学数列解题方法总结

类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）????

→解决方法

累加法

例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列

的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q

∴213243113

521

n n a a a a a a a a n --=??-=??

-=???-=-??M 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=

类型二：1()n n a f n a +=? （()f n 可以求积）????

→解决方法

累积法例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：1232

112321

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=

????L 123211143n n n n n n --=????+-L 2

n =

+ 又1a Q 也满足上式；21

n a n ∴=+ *

()n N ∈

类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）????

→解决方法

待定常数法可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1

t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+

1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=?-

类型四：()

110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0

可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组

A B C

αββα?-=??-?=?,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n

a a α++是以21a a α+为首项， A β

为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。

例4、在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥

得方程组3

βααβ-=??

?=-? 解得1,2;αβ=-=

()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥

则数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，以2为公比的等比数列

11222n n n n a a -+∴-=?=

212

323

43112222n n n a a a a a a a a ---=??-=??∴-=???-=??M

112(12)2212n n n a a --∴-=

=-- ()*2n n a n N ∴=∈

类型五：)(1n f ka a n n +=+ （0≠k 且1≠k ）

一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。（1）若b an n f +=)(，则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++

∴

A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1

∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2

)1(1-+-=k a k b B

∴}{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列

∴ 1

1)(-?++=++n n k B A a B An a

∴

B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（2）若n q n f =)(（≠q 0，1），则等式两边同时除以1

+n q 得

q q a q k q

a n n n n 1

1+?=++ 令n

n n q a C =

则q C q k C n

n 1

1+=+ ∴}{n C 可归为b ka a n n +=+1型例6 设在数列{}n a 中， 11a =，()11

2122

n n a a n n -=+-≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：设 n n b a An b =++ ()11

12n n a An B a A n B -∴++=+-+???

? 展开后比较得20426

1022

A A

B B ?+=?=-?????=??+-=?? 这时()11462n n n n b b a n -=≥=-+n 2且b

{}n b ∴是以3为首项，以12为公比的等比数列1

132n n b -??

∴=? ?

即113462n n a n -??

?=-+ ?

，1

13462n n a n -??

∴=?+- ???

例7 在数列{}n a 中， 12a =，()1

1222n n n a a n +-=+≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：()1

122

2n n n a a n +-=+≥Q

1122n n n a a +-∴-=，两边同除以2n 得

222n n n n a a ---=2n n a ??

∴????

是以12a =1为首项，2为公差的等差数列。

()112212

n a n n ∴

=+-?=- 即()221n n a n =- 类型六：1n

n n c a a pa d

+?=+（0c p d ??≠）????

→解决方法倒数法例10 已知14a =，1221n

n n a a a +?=+，求n a 。

解析：两边取倒数得：

11112n n a a +-=，设1,n n b a =则1112

n n b b +-=；令11

()2

n n b t b t ++=+；展开后得，2t =-；1

2122n n b b +-∴=-； {}2n b ∴-是以1117224b a -=-=-为首项，1

为公比的等比数列。 1

71242n n b -????

∴-=- ???

????

；即1

171242n n a -????-=- ???

????

，得1

2227

n n n a ++=-；

评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。

类型七： ()

n n S f a =????→解决方法1

1(1)

(2)

n n n s n a s s n -=?=?

-≥?

例11 已知数列{}n a 前n 项和2

214--

-=n n n a S .

()1求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

解析：()1)11n =时，11142a s a ==--，得11a =；

)22n ≥时，112

11442

n n n n n n n a s s a a ----=-=--

-++

；

得11122

n n n a a +=

+。（2）在上式中两边同乘以1

2n +得1

22n n n n a a ++-=；

{}

2n n a ∴数列是以1122a =为首项，2为公差的等差数列；

22222n n a n n ∴=+-=；得1

2n n n

a -=

。类型八：周期型例12若数列{}n a 满足???

????

<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

解析：根据数列{}n a 的递推关系得它的前几项依次为：

6536536

7777777

L L ，，，，，，；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；

20257

a a ∴==

. 类型九、利用数学归纳法求通项公式例13 已知数列}a {n 满足98

a )

3n 2()1n 2()1n (8a a 12

2n 1n =++++

=+，，求数列}a {n 的通项公式。22

(21)1

(21)n n a n +-=+

解析：根据递推关系和189a =

得，232448,,2549

a a ==L L 所以猜测22

(21)1

(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明它；

)11n =时成立（已证明）

)2假设n k =(2)k ≥时，命题成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=

+，则1n k =+时，1228(1)(21)(23)k k k a a k k ++=+++=()()()

2222

81(21)1(21)2123k k k k k ++-++++ =

()()4

221664844482123k

k k k k k ++++++()()()()()()

222

21231231212323k k k k k k ????

++-+-????

==+++。 ∴1n k =+时命题成立；

由)1)2可知命题对所有的*

n N ∈均成立。