工程信号处理习题

工程信号处理习题

2 傅立叶变换

1. 对于信号x (t )=A sin(2πft )+0.1*u (t )，其中A =1，f =50 Hz ，u (t )是一个均值为零的噪声信号（该信号可以由randn 函数产生）。以两种不同的采样频率(一个不满足采样定理，一个满足采样定理)分别对其进行采样得到两组离散信号，信号采样总时间自定。利用fft 命令对其进行离散傅立叶变换，作出频谱图形，体会频率混淆现象。

2. 对于信号x (t )=A 1sin(2πf 1t )+ A 2sin(2πf 2t )，其中A 1=2，f 1=20 Hz ；A 2=3，f 2=22 Hz 。以一定的采样频率采集不同时间长度的两组离散信号，分别对其进行离散傅立叶变换，作出频谱图形，体会数据长度对频率分辨率的影响。

3. 对于信号x (t )= sin(2πft )，其中f =20 Hz 。分别以矩形窗和hann 窗对其进行截取一段时间内的信号（采样频率自定），得到两组离散信号，分别对其进行离散傅立叶变换，作出频谱图形，体会窗函数对能量泄露的影响。

4. 对于线性扫频信号x (t )=exp(j αt )，α是一个常数，可以通过chirp.m 文件产生该信号，如 t=0:0.001:1;

x=chirp(t,0,1,200); % 产生一个长度为1 s 的频率为0 Hz —200 Hz 扫频信号

对该信号进行离散傅立叶变换，作出频谱图形，并验证Parseval 等式：

df f X d X dt t x 2

22)()(21)(∫∫∫∞∞−∞

∞−∞∞−==ωωπ 3 线性系统分析

1. 如图1所示系统，x (t )是基础位移输入，y (t )是位移系统响应，

系统描述为 kx x c ky y c y

m +=++&&&& 式中，m 、c 、k 分别是系统质量、阻尼和刚度。假设m =1 kg ，c =50

N·s/m ，k =3600 N/m 。

(1) 写出系统的传递函数，

(2) 用Matlab 计算系统的频响函数，作出频响函数的幅值和相位图； (3) 用Matlab 求出系统的零点和极点，作出零点和极点的分布图，判断系统稳定性。

y (t )

4 随机信号处理

1. 产生一正弦信号+白噪声信号x (t )=2*sin(2πft )+randn(t)，其中f =50 Hz 。

(1) 作出信号图形

(2) 计算自相关函数并作图；

(3) 用FFT 方法、直接算法和改进算法（M 次平均）计算信号的功率谱并作图，对三种方法得到的结果进行比较。

2. 用仿真试验的方法确定图示系统的传递函数H (ω)。 x 为输入系统的随机信号，y 为系统对随机信号的响应，y m 为实际测到的混有噪声n 的响应，y m = y + n ，h 为系统的单位冲激响应。系统的微分方程为

)()()(2)(2t x t y t y t y n n =++ωζω&&&

式中，ωn = 2πf n 是系统的固有频率，f n = 50Hz ；ζ = 0.1是系统的阻尼比。

(1) 用MATLAB 产生宽带随机信号，作为输入x 和混入输出y 的噪声n （n 和x 不相关）；

(2) 用卷积或其他方法（例如龙格-库塔算法）计算系统对输入的响应y ；

(3) 分别用 )()()(ωωωX Y H m =，)()()(1ωωωx xy S S H m =，)

()()(*2ωωωm m xy y S S H = 估计系统在10 ~ 250 Hz 范围内的传递函数H (ω)，并观察结果有何不同。

5 z 变换与离散时间系统

1. 已知系统微分方程为

)()()()()(t kx t x c t ky t y c t y

m +=++&&&& 其中，m=1，c =10，k =2500；x (t ) 和y (t )分别是系统输入和输出。

（1） 推导系统的差分方程，写出系统传递函数H (z )；

（2） 作出系统的零极图，据此判断系统的稳定性；

（3） 当输入x (t )=sin(2πft )，其中f =5。利用卷积法求解系统响应。

2. 给定系统H (z )=0.2z /(z 2+0.8)。

(1)求出并绘出系统的幅频响应和相频响应；

(2)求出并绘出该系统的单位冲激响应h (n )；

(3)令输入x (n )=u (n )，即单位阶跃输入，求出并绘出系统的单位阶跃响应。

6 滤波器设计

1. 分别用双线性变化法和窗函数法设计一高通IIR 和FIR 滤波器，其通带截止频率为300 Hz ，给定采样间隔Ts=1ms 。绘出它们的幅频和相频特性曲线，并比较两者的差异。

2. 要求对信号

)40sin()20sin()4sin()(t t t t x πππ++=

进行滤波，滤去频率为10Hz 的中频成分，保留低频和高频成分。