【精品】高考数学试题分类汇编——概率统计和排列组合二项式定理

概率统计与排列组合二项式定理安徽理（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则.（12）1120C 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C C C C C 1110101110111011212120202120+=-=+-=.（20）（本小题满分13分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去，且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。

现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。

若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123,其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列,求所需派出人员数目X 的分布列和均值(数字期望）EX ；（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值（数字期望)达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想,应用意识与创新意识。

解:（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321p p p ---,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于（II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时,随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值(数学期望）EX 是（III)（方法一）由（II)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。

下面证明:对于321,,p p p 的任意排列321,,q q q ,都有≥+--212123q q q q ,232121p p p p +--……………………(*）事实上，)23()23(21212121p p p p q q q q +---+--=∆即（*)成立.（方法二）（i ）可将（II ）中所求的EX 改写为,)(312121q q q q q -++-若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121q q q q q -++-.由此可见,当12q q >时,交换前两人的派出顺序可减小均值.(ii ）也可将(II ）中所求的EX 改写为212123q q q q +--，或交换后两人的派出顺序，则变为313123q q q q +--.由此可见，若保持第一个派出的人选不变,当23q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值。

综合（i ）(ii ）可知，当),,(),,(321321p p p q q q =时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。

安徽文(9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A）110（B）18（C）16(D）15（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题。

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个,其中能构成矩形3个,所以是矩形的概率为31155=。

故选D.（20）(本小题满分10分）某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据：年份2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨）236 246 257 276 286 (Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a=+；（Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解:（I ）由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 对预处理后的数据，容易算得.2.3,5.6402604224294192)11()2()21()4(,2.3,02222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧x a x b y即.2.260)2006(5.6+-=∧x y ①（II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+⨯=+-（万吨）≈300（万吨）.北京理12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次,这样的四位数共有______个(用数字作答) 【解析】个数为42214-=。

17。

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认,在图中以X 表示。

（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望。

（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为1x ,2x ，…，n x 的平均数)(17)(共13分）解（1)当X=8时，由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10, 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s 年份—2006 －4 －2 0 2 4 需求量-257－21－111929（Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18，19,20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P Y 1718192021P81 41 41 41 81EY=17×P(Y=17)+18×P （Y=18)+19×P(Y=19）+20×P(Y=20）+21×P(Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81 =19北京文7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品B A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注：方差],)()()[(1222212x x x ns n -+-+-=其中为n x x x ,,,21 的平均数) (16）（共13分）解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9,10, 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s（Ⅱ)记甲组四名同学为A 1，A 2,A 3，A 4,他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是: （A 1，B 1），（A 1,B 2)，(A 1，B 3)，（A 1，B 4）， (A 2，B 1)，(A 2,B 2），(A 2，B 3），（A 2，B 4), （A 3,B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），(A 1，B 4）, （A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4,B 3），（A 4，B 4）, 用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2,B 4），（A 3，B 2），(A 4，B 2)，故所求概率为.41164)(==C P 福建理6．（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于B A ．80B ．40 C ．20D ．1013．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

3519．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3533855634 63475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(III ）在(I ）、（II)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学;（2)“性价比”大的产品更具可购买性．19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分13分.解:（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =⨯+++⨯=+=所以即 又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即由67 3.2,0.3,0.5.0.2.a b a a b b +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得EDCBA所以22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.14.8.=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。