(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档
35:排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理(1)分类计数定理(加法原理):如果完成一件事,有n 类方式,在第1类方式中有1m 种不同的方法,在第2类方式中有2m 种不同的方法,......,在第n 类方式中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.(2)分步计数定理(乘法原理):如果完成一件事,需要完成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,......,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.(3)两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成,事件完成了就是分类,分类后要将种数相加;事件必须要连续若干步才能完成的则是分步,分步后要将种数相乘.2.排列(1)排列的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(2)排列数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n A 表示.(3)排列数公式:)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地:①(全排列).123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合(1)组合的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.(2)组合数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.(3)组合数公式:()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地:01n C =.(4)组合数的性质:①m n n m n C C -=;②11-++=m n m n m n C C C ;③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法:先特殊后一般(有限制条件问题),先组合后排列(分组问题),先分类后分步(综合问题).例:某校开设9门课程供学生选修,其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修4门,共有多少种不同的选修方案?答:.75461336=+C C C (1)特殊元素、位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置.例4-1:0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?答:.3013131224=+C C C A (2)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2:从7名男同学和5名女同学中选出5人,若至少有2名女同学当选,问有多少种情况?答:.596)(471557512=+-C C C C(3)相邻问题“捆绑法”:将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列,待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数,它主要用于解决相邻问题.例4-3:5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?答:6363A A =4320(4)不相邻问题“插空法”:先把无位置要求的元素进行排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中(注意两端).例4-4:5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?答:5354A A (5)元素相同“隔板法”:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组,共11--+m m n C 种方法.例4-5:10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?答:.49C (6)元素不多“列举法”:即把符合条件的一一列举出来.例4-6:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内,每个方格填一个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:nm 种)二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m nA 表示.⑷排列数公式:),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n nnC C2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21kn n n n n =. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==Λ⑶两个公式:①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mnC )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn种,依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用!1)!1(1!1n n n n --=-)ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法(即用mn m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C Λ.vi. 构造二项式. 如:nnn n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明:这里构造二项式nnnx x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ,而右边n n C 2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m mA 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2nA 2211A An ⋅-.②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n mn mn A A1+---⋅(插空法),当n– m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有nnA 种,)(n m m π个元素的全排列有m mA 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn nA A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n !/ m !;解法二:(比例分配法)m mnn A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?(!2/102022818CC C P =) 注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mmm m n mn mn A A A/1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如:124321=+++x x x x的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用na a a ,...,21中ia 等于1+ix ,有Aaa a A x x x x nn =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A或11111----⋅+m n m mn A A A(一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合二项式定理

排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中,排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合,从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况:1.重复元素情况下的排列,即元素可重复使用。
此时,P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列,即元素不可重复使用。
此时,P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素,而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合,从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为:C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理,也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为:(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中,C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中,每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明,当n=3时,展开式为:(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后,得到:(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出,展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳

02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理:(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点:每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘 展开式应用:求解组合问题、概率问题、数列问题等 展开式计算:利用公式进行计算,注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用:在数学、 物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明:通过数学 归纳法进行证明
多项式定理的推广:将二项式 定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广:从n次方推广到任意次方 二项式定理的拓展:从整数推广到实数 二项式定理的推广和拓展:从二项式定理推广到多项式定理 二项式定理的推广和拓展:从二项式定理推广到组合定理
用
期望值:二项 式定理在期望 值计算中的应
用
方差:二项式 定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算:二项式定理可以用于计算概率,例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。 统计推断:二项式定理可以用于统计推断,例如进行假设检验、参数估计等。 统计模型:二项式定理可以用于建立统计模型,例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。 数据分析:二项式定理可以用于数据分析,例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望:二项 式定理可以用来 计算期望,如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方 程:利用二项 式定理求解多
项式方程
求函数值:利 用二项式定理
求函数值
求极限:利用 二项式定理求
极限
求导数:利用 二项式定理求
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理:〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理:做一件事,完成它可以有类方法,在第一类方法中有种不同的方法,在第二类方法中有种不同的方法,……,在第类方法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定顺序排成一列。
排列数公式:我们把正整数由1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示,即,并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕(二)组合定义:一般地,从个不同元素中取出个元素合成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合;组合数用符号表示组合数公式:变式:组合数的两个性质:1、三、二项式定理1、二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点:① 项数:共有1+n 项;② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时,中间项是第12+n 项,它的二项式系数2n n C 最大; II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和: 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点2、排列、组合3、二项式定理内容典型题定义①二项式定理:(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b1+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n=∑=nrrnCa n-rb r(n∈N+)②二项式展开式第r+1项通项公式:Tr-1=C r n a n-r b r其中C r n(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.8.二项式8)1(-x的展开式中的第5项是( )A. 70x4B. 70x2C. 56x3D. -5623x9.二项式(x-2)12展开式中第3项的系数是( )A.264B.-264C.66D.-176010.(x-2)8 的展开式中, x6的系数是( )A. 56B. -56C. 28D. 22411.(x2+)5展开式中的10x是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项12.二项式x-1x6的展开式中常数项是( )A. 1B. 6C. 15D. 2013.设(3-x)n=nnxaxaxaa+⋅⋅⋅+++221,已知naaaa+⋅⋅⋅+++21=64,则n=.14.设二项式(3x+5)10=188991010axaxaxaxa++⋅⋅⋅+++,则18910aaaaa+-⋅⋅⋅-+-=.15.二项式2x-1x6的展开式中二项式系数最大的项是.性质①在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为n2,即nC+1nC+…+rnC+…+nnC=n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即nC+2nC+…=1nC+3nC+…=12-n。
排列组合二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可.以有..重复..的排列...元素从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种)二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式:注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--==Λ ⑶两个公式:①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn 种,依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用!1)!1(1!1n n n n --=-)ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如:nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ,而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A An ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n nA A. 注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n m n m n A A 1+---⋅(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m π个元素的全排列有m m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m !;解法二:(比例分配法)m m n n A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (!2/102022818C C C P =)注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mm m m n m n m n A A A /1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分2x 4成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用na a a , (21)ia 等于1+i x ,有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。
排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.§10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可.以有..重复..元素..的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:nm种)二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示.⑷排列数公式: ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑶两个公式:①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn 种,依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n (利用!1)!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如:nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-1111+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n m n m n A A 1+---⋅(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有m m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n !/ m !;解法二:(比例分配法)mm n n A A /. ⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?(!2/102022818C C C P =)注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:124321=+++x x x x 4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C . 注意:若为非负数解的x 个数,即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ,有A a a a Ax x x n n =-+-+-⇒=1...11...213,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C . ⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都包含在内 。
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n n +1n n
n
排列组合、二项式定理总结复习
1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)
分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的 方法
n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m (m ≤n )个元素的所有组合个数 m n
m
=
n ! n
m !(n - m )!
性质 C m = C
n -m
C
m = C m + C m -1
排列组合题型总结 一. 直接法
1 .特殊元素法
例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个
C
C
(1)数字 1 不排在个位和千位
(2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理:
5 4
A2 A2 =240
5 4
2.特殊位置法
(2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下
5 4 4
的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252
4 4 4 4
二间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。
如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252
6 5 4
Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个,其中 0 在
5 3
百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个,这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数
4 2
C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =432
5 3 4 2
Eg 三个女生和五个男生排成一排
(1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)
(2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)
(3)两端不能排女生
(4)两端不能全排女生
(5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法
29
29
28 11
3 二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。
例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?
分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有 A 1 ⨯ A 1 =100
9
10
中插入方法。
三. 捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。
1. 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有
种( C 2 A 3 )
4 3
,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人
数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有( C 1 ⋅ A 19 )(注
意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C 1 其余的就是 19 所学
校选 28 天进行排列) 四. 阁板法
名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法
例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队,这12 个人由8 个班的学生组成,每班至少一人,名额
分配方案共 种 。
分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中 插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C 7 种
五 平均分推问题
eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发?
(1) 平均分成三堆, (2) 平均分给甲乙丙三人
(3) 一堆一本,一堆两本,一对三本
(4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) (5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本
分析:1,分出三堆书(a 1,a 2),(a 3,a 4),(a 5,a 6)由顺序不同可以有 A 3 =6 种,而这 6 种分法只算一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有
3 3
种
C C C
4
4 3
A C A A
A
B C
D E
6
5
1 4
2
3
C 2C 2C 2 6 4 2
=15 种 3
2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人
就有 x A 3 2 2 2 6
4
2
3,
1
2
3 5,
3
1 2
3 C 6
C 5
C
3
A 3
C 6
C 5
C
3
五. 合并单元格解决染色问题
Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。
分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论:
(ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元素
①③⑤的全排列数
A
4
(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种着色法.
三个单元格
①
(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有
从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有
C 3
⋅ A 3
种方法. 由加法原理知:不同着色方法共有 2 4
+ 3 3
=48+24=72(种)
4
4
3
练习 1(天津卷(文) 将 3 种作物种植
1 2 3 4 5
在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ,
不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)
2. 某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3),现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种
一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有
种(以数字作答).(120)
图 3
图 4
3.
如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色
3,5 2,4
2,4
4
4 1
3
2
可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)
4. 如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的 着色方法是
种(84)
图 5 图 6
5. 将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法共 种(420)
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。