2019-2020年高考数学大题综合训练
2019-2020年高考数学大题综合训练1
1.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,其前n 项和为S n ,若a 2+a 8=22,且a 4,a 7,a 12成等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若T n =1S 1+1S 2+…+1S n ,证明:T n <3
4.
(1)解 ∵数列{a n }为等差数列,且a 2+a 8=22, ∴a 5=1
2(a 2+a 8)=11.
∵a 4,a 7,a 12成等比数列, ∴a 2
7=a 4·a 12,
即(11+2d )2
=(11-d )·(11+7d ), 又d ≠0, ∴d =2,
∴a 1=11-4×2=3,
∴a n =3+2(n -1)=2n +1(n ∈N *
). (2)证明 由(1)得,S n =n (a 1+a n )
2
=n (n +2),
∴1S n
=
1n (n +2)=12? ??
??1
n -1n +2,
∴T n =1S 1+1S 2+…+1S n
=12???
?
?
???1-13+? ????12-14+? ????13-15+…+
?
??? ????1n -1-1n +1+? ????1n -1n +2
=12? ?
???1+12-1n +1-1n +2
=34-12? ????1
n +1+1n +2<34.
∴T n <34
.
2.如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB =3,
BC =2AD =2,E 为CD 的中点,PB ⊥AE .
(1)证明:平面PBD ⊥平面ABCD ;
(2)若PB =PD ,PC 与平面ABCD 所成的角为π
4,求二面角B -PD -C 的余弦值.
(1)证明 由ABCD 是直角梯形,
AB =3,BC =2AD =2,可得DC =2,BD =2,
从而△BCD 是等边三角形, ∠BCD =π
3,BD 平分∠ADC ,
∵E 为CD 的中点,DE =AD =1, ∴BD ⊥AE .
又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD =B , 又PB ,BD ?平面PBD , ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ?平面ABCD , ∴平面PBD ⊥平面ABCD .
(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ,连接OC ,
∵平面PBD ⊥平面ABCD , 平面PBD ∩平面ABCD =BD ,
PO ?平面PBD ,
∴PO ⊥平面ABCD ,
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角,∠PCO =π
4,
又∵PB =PD ,
∴O 为BD 的中点,OC ⊥BD ,OP =OC =3,
以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则B (1,0,0),C (0,3,0),D (-1,0,0),P (0,0,3),
PC →=(0,3,-3),PD →
=(-1,0,-3).
设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 由???
??
n ·PC →=0,n ·
PD →=0,得???
3y -3z =0,
-x -3z =0,
令z =1,则x =-3,y =1,得n =(-3,1,1). 又平面PBD 的一个法向量为m =(0,1,0), 设二面角B -PD -C 的平面角为θ, 则|cos θ|=|n ·m ||n ||m |=15×1=5
5,
由图可知θ为锐角,
∴所求二面角B -PD -C 的余弦值是
55
. 方法二 作PO ⊥BD 于点O ,连接OC ,
∵平面PBD ⊥平面ABCD , 平面PBD ∩平面ABCD =BD ,
PO ?平面PBD ,
∴PO ⊥平面ABCD ,
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角,∠PCO =π
4,
又∵PB =PD ,
∴O 为BD 的中点,OC ⊥BD ,OP =OC =3, 作OH ⊥PD 于点H ,连接CH , 则PD ⊥平面CHO ,
又HC ?平面CHO ,则PD ⊥HC ,
则∠CHO 为所求二面角B -PD -C 的平面角. 由OP =3,得OH =
32
, ∴CH =
152
, ∴cos ∠CHO =
OH CH =32152
=55
. 3.某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果,然后以15元/千
克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位:千克),整理得下表:
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)若该超市一天购进A水果150千克,记超市当天A水果获得的利润为X(单位:元),求X 的分布列及期望;
(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克,请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据,在150千克与160千克之中任选其一,应选哪一个?若受市场影响,剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,又该选哪一个?
解(1)若A水果日需求量为140千克,
则X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)
=680(元),
且P(X=680)=5
50
=0.1.
若A水果日需求量不小于150千克,则X=150×(15-10)=750(元),
且P(X=750)=1-0.1=0.9.
故X的分布列为
E(X)=680×0.1+750×0.9=743.
(2)设该超市一天购进A水果160千克,当天的利润为Y(单位:元),
则Y的可能取值为
140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,即660,730,800,
则Y的分布列为
E (Y )=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772.
因为772>743,所以该超市应购进160千克A 水果. 若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地, 同理可得X ,Y 的分布列分别为
因为670×0.1+750×0.9<640×所以该超市还是应购进160千克A 水果.
4.如图,在平面直角坐标系中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点? ??
??5
2,32,离心率为255.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过点K (2,0)作一直线与椭圆C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点作直线l :x =a 2
c
的垂线,垂足
分别为A 1,B 1,试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
解
(1)由题意得???
??
a 2=
b 2+
c 2,
54a 2
+34b 2
=1,
c a =255
????
a =5,
b =1,
c =2,
所以椭圆C 的标准方程为x 2
5
+y 2
=1.
(2)①当直线AB 的斜率不存在时,直线l :x =5
2
,
AB 1与A 1B 的交点是? ??
??
94
,0.
②当直线AB 的斜率存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 直线AB 为y =k (x -2),
由???
y =k (x -2),x 2+5y 2
=5,
得(1+5k 2
)x 2
-20k 2
x +20k 2
-5=0, 所以x 1+x 2=20k 2
1+5k 2,x 1x 2=20k 2
-5
1+5k 2,
A 1? ????52,y 1,
B 1? ????
52,y 2, 所以lAB 1:y =
y 2-y 152
-x 1?
?
?
??x -52+y 2,
lA 1B :y =
y 2-y 1x 2-
52
? ????
x -52+y 1, 联立解得x =x 1x 2-254x 1+x 2-5=20k 2
-51+5k 2-
254
20k
2
1+5k 2-5 =-45(1+k 2
)-20(1+k 2)=94
, 代入上式可得y =k (x 2-x 1)
-10+4x 1
+y 2
=
-9k (x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k
4x 1-10
=-9k ·20k 21+5k 2+4k ·20k 2
-51+5k 2+20k 4x 1-10
=0.
综上,直线AB 1与A 1B 过定点? ??
??
94,0.
5.设函数f (x )=(x +1)ln x -a (x -1)(a ∈R ). (1)当a =1时,求f (x )的单调区间;
(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,数a 的取值围;
(3)当θ∈????0,π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ????θ-π
4的大小,并说明理由.
解 (1)当a =1时,f (x )=(x +1)ln x -(x -1),
f ′(x )=ln x +1
x
,
设g (x )=ln x +1x (x >0),则g ′(x )=x -1
x
2,
当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,
g (x )min =g (1)=1>0,
∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,+∞)上单调递增, 无单调递减区间.
(2)f ′(x )=ln x +1
x
+1-a =g (x )+1-a ,
由(1)可知g (x )在区间[1,+∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)=1,
即f ′(x )在区间[1,+∞)上单调递增,且f ′(1)=2-a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0,
f (x )在区间[1,+∞)上单调递增,
∴f (x )≥f (1)=0满足条件;
②当a >2时,设h (x )=ln x +1
x
+1-a (x ≥1),
则h ′(x )=1x -1x 2=x -1
x
2≥0(x ≥1),
∴h (x )在区间[1,+∞)上单调递增, 且h (1)=2-a <0,h (e a
)=1+e -a
>0, ∴?x 0∈[1,e a
],使得h (x 0)=0,
∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)=0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值围为(-∞,2]. (3)由(2)可知,取a =2,
当x >1时,f (x )=(x +1)ln x -2(x -1)>0, 即12ln x >x -1x +1, 当0 x >1, ∴12ln 1x >1 x -1 1x +1 ?ln x 2 , 又∵tan ????θ-π4=tan θ-1 tan θ+1, ∴当0<θ<π 4时,0 12ln(tan θ) ?θ-π4; 当θ=π 4时,tan θ=1,12ln(tan θ)=tan ????θ-π4; 当π4<θ<π 2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ??? ?θ-π4. 综上,当θ∈????0,π4时,12ln(tan θ) 当θ=π 4时,12ln(tan θ)=tan ????θ-π4; 当θ∈????π4,π2时,12ln(tan θ)>tan ??? ?θ-π4. 6.已知直线l 经过点P (1,2),倾斜角α=π 6,圆C 的极坐标方程为ρ=22cos ????θ-π4. (1)写出直线l 的参数方程的标准形式,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)若直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 到点P 的距离. 解 (1)直线l 的参数方程为? ??? ? x =1+t cos π 6 , y =2+t sin π 6, 即? ?? ?? x =1+3 2t ,y =2+t 2(t 为参数,t ∈R ). 由ρ=22cos ? ?? ?θ-π4, 得ρ=2cos θ+2sin θ, ∴ρ2 =2ρcos θ+2ρsin θ, ∴x 2 +y 2 =2x +2y , ∴圆C 的直角坐标方程为(x -1)2 +(y -1)2 =2. (2)把? ?? ?? x =1+3 2t ,y =2+t 2代入(x -1)2+(y -1)2 =2得, ? ????1+32t -12+? ????2+t 2-12 =2, 整理得t 2 +t -1=0, Δ=5>0,t 1+t 2=-1, ∴|MP |=?? ????t 1+t 22=12 . 7.(2018·模拟)已知函数f (x )=x 2 -|x |+3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集; (2)若关于x 的不等式f (x )-x 2 ≤???? ?? x 2+a 恒成立,数a 的取值围. 解 (1)当x ≥0时,f (x )=x 2 -x +3≥3x , 即x 2 -4x +3≥0, 解得x ≥3或x ≤1,所以x ≥3或0≤x ≤1; 当x <0时,f (x )=x 2 +x +3≥3x , 此不等式x 2 -2x +3≥0恒成立,所以x <0. 综上所述,原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}. (2)f (x )-x 2 ≤???? ?? x 2+a 恒成立, 即-|x |+3≤?????? x 2+a 恒成立, 即???? ??x 2+a +|x |≥3恒成立, ∵?????? x 2+a +|x |=??????x 2+a +??????x 2+???? ?? x 2 ≥??????x 2+a -x 2+??????x 2=|a |+???? ??x 2≥|a |, 当且仅当x =0时,等号成立, ∴|a |≥3,解得a ≥3或a ≤-3. 故实数a 的取值围是(-∞,-3]∪[3,+∞). 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一:解三角形 1、正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === (R 是AB C ?外接圆的半径) 变式①:?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②:?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③: C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理:???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式:???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式:A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理:?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos (少用,可以不记哦^o^) 5、三角形的内角和等于 180,即π=++C B A 6、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式:??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系:①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇: 2 π 的奇数倍 偶: 2 π 的偶数倍 1 A B C D S E F N B 高考数学试题(整理三大题) (一) 17.已知0αβπ<<4,为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期,1tan 14αβ????=+- ? ????? ,, a (cos 2)α=, b ,且?a b m =.求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值. 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜 甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行;第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙; 第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求: (1)乙连胜四局的概率; (2)丙连胜三局的概率. 19.四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC =45°,AB =2,BC=22,SA =SB =3。 (Ⅰ)证明:SA ⊥BC ; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小; (二) 17.在ABC △中,1tan 4A =,3 tan 5 B =. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). (I )连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; (II )连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率; (III )连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证:EF ∥平面SAD ; (三) 17.已知ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值. 18. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖;摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率; (2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率. 19. 在Rt AOB △中,π 6 OAB ∠= ,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角 的大小; (III )求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 (四) 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???,ππ42x ??∈???? ,. (I )求()f x 的最大值和最小值; (II )若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ,上恒成立,求实数m 的取值范围. 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率. 19. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形, 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点。 (Ⅰ)证明:直线MN OCD 平面‖; (Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 高考数学常用公式及结论200条(一) 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|2 2 M N M N f x +-- ()0() f x N M f x ->- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考数学大题 1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值; (2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。 2.(12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点. (I)求证:CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高 下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4.(12分) 在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA (1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x- 2C ),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。 5.(13分)已知函数f(x)=x+x a 的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N. (1)求a 的值; (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由: (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。 6.(13分)设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围.高考数学数列大题训练答案版
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