2019-2020年高考数学大题综合训练
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
(完整)2019-2020年高考数学大题综合练习(二)
2019-2020年高考数学大题综合练习（二）1.已知函数22()2sin 2sin ()6f x x x π=--，x R ∈. （1）求函数()y f x =的对称中心；（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()262B b c f aπ++=，ABC ∆的外接圆半径为△ABC 周长的最大值.【解析】()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x x ππ⎡⎤=----=--⎢⎥⎣⎦1cos 2sin 2cos 222x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-. （1）令26x k ππ-=（k Z ∈），则212k x ππ=+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(,0)212k ππ+k Z ∈；（2）由()262B b c f a π++=，得sin()62b c B aπ++=1cos 22b c B B a ++=，sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，sin sin cos sin A B B A B =+，又因为sin 0B ≠，cos 1A A -=，即1sin()62A π-=， 由0A π<<，得5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=，又ABC ∆3a A ==，由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-2223()()()44b c b c b c +≥+-+=，即6b c +≤，当且仅当b c =时取等号，所以周长的最大值为9.2.如图,在梯形ABCD 中,//,120AB CD BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===，点M 是线段EF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）求平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值.【解析】（1）在梯形ABCD 中，∵//,,120AB CD AD BC BCD =∠=︒，∴60,120DAB ABC ADC ∠=∠=︒∠=︒，又∵AD CD =，∴30DAC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒，∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥.∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .∴AC CF ⊥，而CF BC C ⋂=∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF .（2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====,则()()()30,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C A B M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()33,1,0,,1,1AB BM ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r .设()1,,n x y z =u u r 为平面MAB 的一个法向量， 由110,0,n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r 得3030x y x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪ 取1x =，则131,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u r ， ∵()21,0,0n =u u r 是平面FCB 的一个法向量，∴1212219cos 3134n n n n θ⋅===⋅++u u r u u r u u r u u r .3.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[)70,85内，记为B 等，分数在[)60,70内，记为C 等；60分以上，记为D 等.同时认定A ，B ，C 为合格，D 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，可知100.012100.05610x +⨯+⨯0.018100.010101+⨯+⨯=，∴0.004x =.∴甲学校的合格率为1100.0040.96-⨯=， 而乙学校的合格率为210.9650-=， ∴甲、乙两校的合格率均为96%.（2）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=，而乙校C 等级的学生人数为4.∴随机抽取3人中，甲校学生人数X 的可能取值为0，1，2，3，∴()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===，∴X 的分布列为数学期望12310265EX =⨯+⨯+⨯=.4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点,22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=u uu r u u u r（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【解析】（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，① 又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>， 所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=.5.已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{S n }是等差数列，证明数列{b n }也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{c n }的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{a n }中存在无穷多项可表示为数列{c n }中的两项之和．【解析】（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d d b b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， 所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=，此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=， 当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=L ．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．6.已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈.（1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性；（2）令函数12()()x g x e x a f x -=++-，e =2.71828…是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.【解析】（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++= ①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，4a x -=，因为0x >，所以4a x -=1°1≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥- ∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增2°当124a -+<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<- ∴当932a -<<-时，函数()f x在上单调递减，在2]上单调递增； 3°当24a -+≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； （2）函数121()()ln x x g x ex a f x e x ax a --=++-=--+ 则11()()x g x ea h x x -'=--= 则121()0x h x e x -'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则1110ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m ----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减，因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e ---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点. 所以m e <.。
2019-2020高三数学试题五(解析版)
高三数学综合试题五（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4. 测试范围：高中全部内容.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()R A B =I ð（ ） A. [1,3)B. (1,3)C. (1,0][1,3)-UD.(1,0](1,3)-U【答案】B 【解析】 【分析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算．【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=I ． 故选B ．【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算． 2.复数z =（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以通过复数的运算法则对复数z =进行化简，得到12z =-+，即可得出复数z 所对应的点的坐标，问题得解．【详解】22122113422z i ---+-+=====--， 所以复数z 所对应的点为12⎛-⎝⎭，它在第二象限，故选B ． 【点睛】本题主要考查复数的运算法则以及复数所对应的点的坐标，考查运算能力，考查推理能力，是简单题．3.已知向量(1,1),2(4,3),(,2)a a b c x =+==-rr rr，若//b c rr，则x 的值为（ ） A. 4 B. -4C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先求出()2,1b =v ，再利用//b c v v求出x 的值.【详解】()222,1;//40, 4.b a b a b c x x v v v v v vQ ，=+-=∴+=∴=- 故选B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知5log 2x =，2log y =123z -=，则下列关系正确的是（ ）A. x z y <<B. x y z <<C. z x y <<D. z y x <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：5521log 2log ,log 12x y =<==>，1213,12z -⎛⎫==⎪⎝⎭． x z y ∴<<．故选A ．【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.8x ⎛ ⎝展开式的常数项为（ ） A. 56- B. 28-C. 56D. 28【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，整理可知当6r =时为常数项，代入通项求解结果．【详解】8x ⎛ ⎝展开式的通项公式为4883188((1)r r r r r rr T C x C x --+=⋅⋅=⋅-⋅， 当4803r -=，即6r =时，常数项为：668(1)28C ⋅-=，故答案选D ．【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题． 6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（ ）D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入e =即可.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a =与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入2e === 故选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题. 7.已知圆22(2)1x y -+=上的点到直线y b =+，则b 的值为( )A. -2或2B. 2或2-C. -2或2D.2--或2【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线3y x b =+的最短距离为3，得出3d r -=，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【详解】由圆22(2)1x y -+=，可得圆心坐标为(2,0)，半径1r =， 设圆心(2,0)到直线3y x b =+的距离为d ，则2331b d +=+，因为圆22(2)1x y -+=上的点到直线3y x b =+的最短距离为3，所以3d r -=，即231331b +-=+，解得2b =或432b =--，故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为d r -，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．8.已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()xg x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为（ ）A.()11ln 22- B.1ln 22+ C. 1ln2-D.()11ln 22+ 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，得()ln f x m =，再作函数()f x 的图像，及直线ln y m =的图象，在两个图象有两个交点的前提下可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x et ==，再建立21x x -与t 的函数关系，再利用导数判断()1ln 2h t t t =-的单调性求最值即可. 【详解】解：∵()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，∴()0f x >恒成立，∴()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，∴()ln f x m =，作函数()f x ，ln y m =的图象如下，结合图象可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x e t ==，故211ln 2x x t t -=-，令()1ln 2h t t t =-，则()1'12h t t=-， 故()h t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，∴()111ln 2222h t h ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭， 故选D .【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化及导数的应用，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 9580%﹣0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选ACD ．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题． 10.下列命题中，是真命题的是（ ）A. 已知非零向量,a b r r ，若,a b a b +=-r r r r 则a b ⊥r rB. 若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C. 在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”充要条件D. 若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数.【详解】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，所以a b ⊥r r，故A 正确；对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=， 所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x ff x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正确；故选ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.11.设函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A. 2y x =B. 11y x =- C. ()ln 23y x =+D.23y x =+【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“美丽函数”的定义，分别求得个数函数的值域，即可作出判定，得到答案.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立， 所以函数()f x 的值域关于原点对称，对于A 中，函数2y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意；对于B 中，函数11y x =-的值域为(,0)(0,)-∞+∞U ，关于原点对称，符合题意；对于C 中，函数()ln 23y x =+的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 对于D 中，函数23y x =+的值域为R ，关于原点对称，符合题意， 故选BCD.【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解题意，分别求解函数的值域，判定值域是否关于原点对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中, O 为底面正方形的中心, M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：( )A. PD ∥平面OMNB. 平面PCD ∥平面OMNC. 直线PD 与直线MN 所成角的大小为90oD. ON PB ⊥【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD ∥平面OMN ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD ，所以只需证明PD ⊥PB ，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，所以PD ∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD ∥平面OMN ；选项B, 由M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,得MN ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60o ，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60o ；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又 PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题. 14.已知1cos()33x π-=，则2cos(2)sin ()33x x ππ++-的值为_____________. 【答案】53【解析】 【分析】根据1cos()33x π-=的值，分别求出2cos(2)sin ()33x x ππ+-、的值，再求和即可. 【详解】解：因为1cos()33x π-=，所以22217cos(2)cos[(2)]cos2()12cos ()12()333339x x x x πππππ+=-+=--=--=-⨯=，222218sin ()1cos ()1cos ()1()33339x x x πππ-=--=--=-=，则2785cos(2)sin ()33993x x ππ++-=+=， 故答案为53.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.15.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种．【答案】150 【解析】 【分析】 采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可得到答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，若分为1、1、3的三组，有11354322C C C A ＝10种分组方法； 若分为1、2、2的三组，12254222C C C A ＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法； ②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有336A =种情况，则有25×6＝150种分派方法； 故答案为150．【点睛】本题考查排列组合的运用，属于基础题．16.三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC V是边长为A 到平面PBC 的距离为______．【答案】65【解析】 【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离【详解】△ABC的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又4PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'11×3?2=?3434d ，得'65d = 故点A到平面PBC 的距离为65 故答案为65． 【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<L ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121nn S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1nS }是等差数列； （2）利用222111111211nS n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭进行放缩并裂项求和即可证明【详解】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<L ． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意，【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值； （2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，求c 的值. 【答案】（1）tan A =；（2）c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故222b c a +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tan cos 34A A A ===；（2）因为32sin sin c B a A =，故32c b a a =，即322b c =，Q ABC ∆的面积为1sin 222ABCS bc A ∆==，即213122232c ⨯⨯=，故28c =， 解得22c =.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC ∆为等边三角形，AB AC ⊥，D 是BC 的中点.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若2AB AC ==，求二面角D PA B --平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）27. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点E ，连接PE 、DE ，证明AC ⊥平面PDE ，从而得出AC PD ⊥； （2）证明出PE ⊥平面ABC ，可得出PE 、AC 、DE 两两垂直，以点E 为坐标原点，EC 、ED 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，然后计算出平面PAD 、PAB 的法向量，利用空间向量法求出二面角D PA B --平面角的余弦值.【详解】（1）证明：取AC 中点E ，联结DE 、PE ，PAC ∆Q 为等边三角形，E 为AC 的中点，∴PE AC ⊥.D Q 是BC 的中点，E 为AC 中点，//DE AB ∴，AB AC ⊥Q ，DE AC ∴⊥. PE DE E =Q I ，AC ∴⊥平面PDE ，PD ⊂Q 平面PDE ，AC PD ∴⊥；（2）由（1）知，PE AC ⊥，Q 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，PE ⊂平面PAC ，PE ∴⊥平面ABC ，则PE 、AC 、DE 两两垂直，以点E 为坐标原点，EC 、ED 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则()1,0,0C 、()1,0,0A -、()1,2,0B -、()0,1,0D 、(3P .设平面PAD 的法向量为()111,,n x y z =r，(0,1,3PD =-u u u r ，(1,0,3PA =--u u u r.由00PD n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，得11113030y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令11z =，得13x =-13y =所以，平面PAD 的一个法向量为()3,3,1n =-r.设平面PAB 的法向量为()222,,m x y z =u r ，()0,2,0AB =u u u r，由00AB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，得22220y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得2x =，20y =.所以，平面PAB的一个法向量为()m =u r.则cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r ru r r u r r 结合图形可知，二面角D PA B --. 【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题. 20.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y （单位：万件）的统计表：但其中数据污损不清，经查证719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=.（1）请用相关系数说明销售量y 与月份代码t 有很强的线性相关关系； （2）求y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）；（3）公司经营期间的广告宣传费i x =（1,2,,7i =L），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）2.646≈，相关系数()()niit t y y r --=∑当||0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程^^^y bt a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，^^a y bt =-.【答案】(1)见解析；(2) ˆ0.100.92yt =+ (3)见解析 【解析】 【分析】(1)根据中条件，计算相关系数的值，即可得出结论；（2）根据题中数据，计算出ˆˆ,ba，即可得到回归方程； （3）将8t =代入（2）的结果，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得4t = ，()72128i i t t=-=∑ 0.55= ，()()77711140.1749.32 2.89ii i i i i i i tty y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑∴ 2.890.992 2.6460.55r =≈≈⨯⨯， 因为0.990.75>所以销售量y 与月份代码t 有很强的线性相关关系.(2) 由9.32 1.3317y =≈及(Ⅰ)得()()()717212.89ˆ0.10328ii i ii tty y btt==--==≈-∑∑ˆˆ 1.3310.10340.92ay bt =-≈-⨯≈ 所以y 关于t 的回归方程为ˆ0.100.92yt =+ （3）当8t =时，代入回归方程得ˆ0.1080.92 1.72y=⨯+=（万件） 第8个月的毛利润为10 1.7217.22 1.41414.372z =⨯=-⨯=14.37215< ，预测第8个月的毛利润不能突破15万元.【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆˆ,ba ，以及线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点1⎛ ⎝⎭，且离心率e = （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．【答案】（1）22182x y +=（2）详见解析【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.详解】（1）由题意得227141a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，， 所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：， 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>， 解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，， 则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-， 只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-， 故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，αβπ+=．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的[3,5]a ∈，1x ，()212[1,3]x x x ∈≠，恒有()()1212f x f x x x λ-<-，求实数λ的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）)6⎡-+∞⎣. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导后得到()f x '(1)()(0)x x a x x--=>，对a 分情况进行讨论：1a >、1a =、01a <<、0a „；（2）由（1）知()f x 在[1,3]上单调递减，不妨设12x x <，从而把不等式中的绝对值去掉得：()()1122f x x f x x λλ+<+，进而构造函数()()(13)h x f x x x λ=+剟，把问题转化为恒成立问题，求得实数λ的取值范围． 【详解】（1）()1a f x x a x '=--+2(1)x a x a x-++=(1)()(0)x x a x x --=>， 当1a =时，2(1)()0x f x x-=≥'，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，(0,1)x ∈或(,)a +∞，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)，(,)a +∞上单调递增；(1,)x a ∈，()0f x '<，所以()f x 在(1,)a 上单调递减.当01a <<时，(0,)x a ∈或(1,)+∞，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上单调递增；(,1)x a ∈，()0f x '<，所以()f x 在(,1)a 上单调递减.当0a „时，(0,1)x ∈，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为[3,5]a ∈，由（1）得，()f x 在[1,3]上单调递减，不妨设12x x <， 由()()1212f x f x x x λ-<-得()()1221f x f x x x λλ-<-， 即()()1122f x x f x x λλ+<+.令()()(13)h x f x x x λ=+剟， ()1a h x x ax λ'=+--+，只需()10ah x x a xλ'=+--+…恒成立， 即111a xx λ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…([3,5],[1,3])a x ∈∈恒成立， 即1511x x λ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…， 即56x x λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭….因为566x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭x =， 所以实数λ的取值范围是)6⎡-+∞⎣.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的难点．。
2019-2020年高考数学大题综合练习(一)(含答案)
2019-2020年高考数学大题综合练习（一）1.在△ABC 中，已知2510,?510cosA sinB == （1）求证: △ABC 的内角B 是锐角;（2）若△ABC 的最短边的长等于5，求△ABC 的面积.【解析】（1）由于11010sin ≠=B ，则B 不是直角。
假设B 为钝角，由于1010sin =B ，则31tan -=B 。
又由552cos =A 求得21tan =A ， 则71)(1tan tan 1tan tan )tan(21312131=--+-=-+=+B A B A B A ，则71)tan(tan -=--=B A C π,则角C 也是钝角，这与B 为钝角的假设相矛盾，于是假设不成立. 综上，ABC ∆的内角B 是锐角 （2）由于552cos =A ，则21tan =A .由于1010sin =B 且B 为锐角，则31tan =B .于是，11tan tan 1tan tan )tan(tan 21312131-=⋅-+-=-+-=+-=B A B A B A C ，则︒>︒=90135C 10sin sin 5,sin sin 5==∴=∴BABC A BC B B 最小，据正弦定理得角252251021sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∴∆C CA CB S ABC2.如图，四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ,AD DC ⊥,1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （1）证明：2SE EB =； （2）求二面角A DE C --的大小.【解析】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系Dxyz ，设()1,0,0A =，则()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S .（1）证明：()0,2,2SC =-，()1,1,0BC =-，设平面SBC 的法向量为(),,n a b c =，由n SC ⊥，n BC ⊥，得到0n SC ⋅=，0n BC ⋅=，故0b c -=，0a b -+=，取1a b c ===，则()1,1,1n =，又设()0SE EB λλ=>，则2,,111E λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，2,,111DE λλλλλ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭,()0,2,0DC = 设平面CDE 的法向量为(),,m x y z =，由m DE ⊥，m DC ⊥，得到0m DE ⋅=，0m DC ⋅=，故20111x y zλλλλλ++=+++，20y =，令2x =，则()2,0,m λ=-， 由平面DEC ⊥平面SBC ，得到m n ⊥， 所以0m n ⋅=，20λ-=，2λ=，故2SE EB =. （2）解：由（1）知222,,333DE ⎛⎫=⎪⎝⎭，取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故0FA DE ⋅=，FA DE ⊥，又242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故EC DE ⊥，因此向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角，于是 ()1cos ,2FA ECFA EC FA EC⋅==-，所以二面角A DE C --的大小为120.3.已知数列{a n }，{b n }满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-，0n b ≠．（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）令12n nn c b =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解析】（1）∵1n n b a =-，∴1n n a b =+，由121n n n a a a +=+， ∴12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，化简得11n n n n b b b b ++-=， ∵0n b ≠，∴+1111n n n n n n b b b b b b ++-=，即+1111n nb b -=（*n N ∈）， 而111111121b a ===--， ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴11(1)1n n n b =+-⨯=，即1(*)n b n N n =∈，∴111n n a n n+=+=（*n N ∈）．（2）由（1）知，2n n n c =，∴1212222n n n T =+++…，∴2311122222n n n T +=+++…， 两式相减得，1211111(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++-=-=--…， 故222n nn T +=-．4. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情況如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： （1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利800元.若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.【解析】（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a . 由统计数据可知：()10.94P X a ==，()10.88P X a ==，()10.78P X a ==，()14P X a ==， ()31.116P X a ==，()11.316P X a ==. 所以X 的分布列为:（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为4，三辆车中至少有2辆事故车的概率为321311351144432P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000-，8000. 所以的分布列为：所以()1340008000500044E Y =-⨯+⨯=，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元.5.在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3(1,)2在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF 的周长为（1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点1122(,)(,)M x y N x y 、，线段MN 的中点为G ，已知点12(,)x x 在圆222x y +=上，求||||OG MN ⋅的最大值，并判断此时OMN ∆的形状.【解析】（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c -> 由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= 又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以229141a b-= 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a = 所以1c =连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形 因为四边形12PF QF的周长为所以21122PF PF F F +=>=所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，长轴长为可得动点P 的轨迹方程为：221(0)2x y y +=≠ （2）因为22221=+x x ,,12,1222222121=+=+y x y x 所以12221=+y y所以||||OG MN ⋅=212122212221212122212221222221y y x x y y x x y y x x y y x x +++++--+++==1212121232232213()222x x y y x x y y --+++≤= 等号当仅当21212121223223y y x x y y x x ++=--,即02121=+y y x x 所以ON OM ⊥,即OMN ∆为直角三角形6.已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （1）讨论()f x 在区间(0,+∞)上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.【解析】（1）22(2)2'()1(2)a x x f x ax x +-=-++224(1)(*)(1)(2)ax a ax x +-=++， 当1a ≥时，'()0f x >，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时，由'()0f x =得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述，1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；01a <<时，()f x在区间0,⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由(*)式知，当1a ≥时，'()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x的极值点只可能是1x =2x =-， 且由()f x 的定义域可知，1x a>-且2x ≠-，所以1a ->-，2-≠-，解得12a ≠. 此时，由(*)式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点. 而121()()ln(1)f x f x ax +=+121222ln(1)22x xax x x -++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++1212121244()2()4x x x x x x x x ++-+++24(1)ln(21)21a a a -=---22ln(21)221a a =-+--. 令21a t -=.由01a <<且12a ≠知，当102a <<时，10t -<<；当112a <<时，01t <<.记22()ln 2g t t t=+-. （i ）当10t -<<时，2()2ln()2g t t t =-+-，所以222222'()0t g t t t t-=-=<，因此，()g t 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g t g <-=-<. 故当102a <<时，12()()0f x f x +<. （ii ）当01t <<时，2()2ln 2g t t t =+-，所以222222'()0t g t t t t-=-=<， 因此，()g t 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g t g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.。
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)(含解析)
2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑（一）一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．163.若复数z =（x 2－4）+（x +3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：1P :若z 满足z C ∈，则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根，则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B ⋂= （ ）A ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A ∩B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2}8.已知p ：x R ∀∈，220x x a ++>；q ：28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(－∞,3)C ．(1,3)D ．(－∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<，{}|B x x a =≥，现有下面四个命题： p 1：a R ∃∈，A B =∅；p 2：若0a =，则(7,)A B =-+∞； p 3：若(,2)R C B =-∞，则a A ∈；p 4：若1a ≤-，则A B ⊆． 其中所有的真命题为（ ） A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 411.已知命题P ：存在n R ∈，使得223()n nf x nx-=是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=}，N ={y|132x y+=}，则M ∩N =A ．∅B ．{(3,0)，(2,0)}C ．{3,2}D ．[－3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==，，若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若p ，q 均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x15.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五个不同的点，若点E 在直线BC 上，则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题17.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要D ．既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A ，B)::，A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ，B)的总个数为m ，满足的集合对(A ，B)的总个数为n ，则的值为（ ）A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 （） A ．23B ．24C ．26D ．3221.已知：集合2012,3,2,{1,A =}，A B ⊆，且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。
2019-2020年高考数学试卷题含答案
xx 上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷（有答案）一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数（为虚数单位）的实部是__________________. 2.若，则_________________. 3.直线与直线的夹角为__________________. 4. 函数的定义域为___________________.5. 三阶行列式135400121--中，元素的代数余子式的值为_____________________. 6. 函数的反函数的图像经过点，则实数______________.7. 在中，若，，，则_______________.8. 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为____________________（结果用数值表示）. 9. 无穷等比数列的首项为，公比为，则的各项的和为________________.10. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则__________________. 11. 函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是___________________. 12. 在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为____________________.二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13. 满足且的角属于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 14. 半径为的球的表面积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15. 在的二项展开式中，项的系数为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16. 幂函数的大致图像是（ ）17. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）18. 设直线与平面平行，直线在平面上，那么（ ）（A ）直线平行于直线 （B ）直线与直线异面（C ）直线与直线没有公共点 （D ）直线与直线不垂直19. 在用数学归纳法证明等式212322n n n ++++=+ 的第步中，假设时原等式成立，那么在时需要证明的等式为（ ）（A ）2212322(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ （B ）212322(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++ （C ）221232212(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ （D ）21232212(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）（A ）焦距相等，渐近线相同 （B ）焦距相等，渐近线不相同（C ）焦距不相等，渐近线相同 （D ）焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件22. 下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）23. 设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：○1若，则；○2若，则. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ）（A ）○1成立，○2不成立 （B ）○1不成立，○2成立（C ）○1成立，○2成立 （D ）○1不成立，○2不成立24. 对于椭圆22(,)22: 1 (,0,)a b x y C a b a b a b+=>≠. 若点满足. 则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点构成的图形为（ ）（A ）三角形及其内部 （B ）矩形及其内部 （C ）圆及其内部 （D ）椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. （本题满分8分）如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为，求异面直线与所成的角的大小.26.（本题满分8分）已知函数，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值时的值.27.（本题满分8分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点的距离.28.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知数列是公差为的等差数列.（1）若成等比数列，求的值；（2）设，数列的前项和为. 数列满足，记，求数列的最小项（即对任意成立）.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.对于函数，记集合.（1）设，，求；（2）设，，，如果.求实数的取值范围.2019-2020年高考数学试卷题含答案一. 选择题:(9分)1.若函数是偶函数,则的一个值是 ( )(A) (B) (C) (D)2.在复平面上,满足的复数的所对应的轨迹是( )(A) 两个点 (B)一条线段 (C)两条直线 (D) 一个圆3.已知函数的图像是折线,如图,其中(1,2),(2,1),(3,2),(4,1),(5,2)A B C D E ,若直线与的图像恰有四个不同的公共点,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)二. 填空题:(9分)4.椭圆的长半轴的长为_________________5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为,则该圆锥的侧面积为__________________6.小明用数列记录某地区xx12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第天下过雨时,记,当第天没下过雨时,记,他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第天有雨时,记,当预报第天没有雨时,记记录完毕后,小明计算出112233313125a b a b a b a b ++++=,那么该月气象台预报准确的总天数为______________________三. 解答题:(12分)对于数列与,若对数列的每一项,均有或,则称数列是与的一个“并数列”。
2019-2020年高三综合练习数学9试题含答案
若不
可能，请说明理由。
（文）已知函数满足，是不为的实常数。
（1）若当时，，求函数的值域；
（2）在（ 1）的条件下，求函数 y f ( x), x n, n 1 , n N 的解析式；
（3）若当时，，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？ 若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习 [9] 参考答案 1、； 2、； 3、；4、； 5、； 6、 ； 7、； 8、（理）；（文）； 9、（理）；（文）； 10、； 11、；12、 60； 13、； 14、； 15、；16、
5、复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数
。
6、在中，角所对的边分别为，若， ，，则
。
7、如图，正四棱柱中， ，则异面直线与所成角为
。
：俄罗斯语、 种。
sin(
8 、（理）若
) cos cos(
22 ) sin
3 ，在第三象限，
则
。
（文）已知∈ (,)，sin=,则 tan
。
9、（理）的展开式中，常数项为，则
你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（
1）
个问题；否则就回答第（ 2）个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，
只需要回答“是”或“不是” ，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了
回答。如果被调查的 600 人（学号从 1 到 600）中有 180 人回答了“是” ，由此可以估计在
元（其中工资性收入为 1800 元，其他收入为 1350 元），预计该地区自 xx 年起的 5 年内，农
民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长，其他收入每年增加 160 元。根据以上数据， xx 年
2019-2020年高考数学大题综合训练
2019-2020年高考数学大题综合训练11．等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，假设a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <34.(1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝12(a 2＋a 8)＝11.∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 27＝a 4·a 12，即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )，又d ≠0， ∴d ＝2，∴a 1＝11－4×2＝3，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴1S n＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.∴T n <34.2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)假设PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π4，求二面角B －PD －C 的余弦值．(1)证明 由ABCD 是直角梯形，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2，从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π3，BD 平分∠ADC ，∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE .又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD .(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π4，又∵PB ＝PD ，∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 那么B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，PC →＝(0，3，－3)，PD →＝(－1,0，－3)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y －3z ＝0，－x －3z ＝0， 令z ＝1，那么x ＝－3，y ＝1，得n ＝(－3，1,1)． 又平面PBD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设二面角B －PD －C 的平面角为θ， 那么|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝15×1＝55，由图可知θ为锐角，∴所求二面角B －PD －C 的余弦值是55. 方法二 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π4，又∵PB ＝PD ，∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3， 作OH ⊥PD 于点H ，连接CH ，那么PD ⊥平面CHO ，又HC ⊂平面CHO ，那么PD ⊥HC ，那么∠CHO 为所求二面角B －PD －C 的平面角． 由OP ＝3，得OH ＝32， ∴CH ＝152，∴cos ∠CHO ＝OH CH ＝32152＝55. 3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进假设干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，假设有剩余，那么将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)假设该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X (单位：元)，求X 的分布列及期望；(2)假设该超市方案一天购进A 水果150千克或160千克，请以当天A 水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？假设受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 解 (1)假设A 水果日需求量为140千克， 那么X ＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8) ＝680(元)，且P (X ＝680)＝550＝0.1.假设A 水果日需求量不小于150千克， 那么X ＝150×(15－10)＝750(元)， 且P (X ＝750)＝1－0.1＝0.9.故X 的分布列为X 680 750 P0.10.9E (X )＝680×0.1＋750×0.9＝743.(2)设该超市一天购进A 水果160千克， 当天的利润为Y (单位：元)， 那么Y 的可能取值为140×5－20×2,150×5－10×2,160×5， 即660,730,800， 那么Y 的分布列为Y 660 730 800 P0.10.20.7E (Y )＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.因为772>743，所以该超市应购进160千克A 水果． 假设剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地， 同理可得X ，Y 的分布列分别为X 670 750 P0.10.9Y 640 720 800 P0.10.20.7因为670×0.1＋750×0.9<640×所以该超市还是应购进160千克A 水果．4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点K (2,0)作一直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作直线l ：x ＝a 2c的垂线，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，假设是，求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，54a 2＋34b 2＝1，c a ＝255⇒⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝52，AB 1与A 1B 的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0.②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 2＋5y 2＝5，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2， 所以lAB 1：y ＝y 2－y 152－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋y 1，联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2－51＋5k 2－25420k21＋5k2－5 ＝－45(1＋k 2)－20(1＋k 2)＝94， 代入上式可得y ＝k (x 2－x 1)－10＋4x 1＋y 2＝－9k (x 1＋x 2)＋4kx 1x 2＋20k4x 1－10＝－9k ·20k 21＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2＋20k 4x 1－10＝0.综上，直线AB 1与A 1B 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0.5．设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，数a 的取值围；(3)当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，试比拟12ln(tan θ)与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的大小，并说明理由．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，那么g ′(x )＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )min ＝g (1)＝1>0，∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增， 无单调递减区间．(2)f ′(x )＝ln x ＋1x＋1－a ＝g (x )＋1－a ，由(1)可知g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 那么g (x )≥g (1)＝1，即f ′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝2－a ， ①当a ≤2时，f ′(x )≥0，f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时，设h (x )＝ln x ＋1x＋1－a (x ≥1)，那么h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0(x ≥1)，∴h (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 且h (1)＝2－a <0，h (e a)＝1＋e －a>0， ∴∃x 0∈[1，e a]，使得h (x 0)＝0，∴当x ∈[1，x 0)时，h (x )<0，f (x )单调递减， 即当x ∈[1，x 0)时，f (x )≤f (1)＝0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值围为(－∞，2]． (3)由(2)可知，取a ＝2，当x >1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0， 即12ln x >x －1x ＋1， 当0<x <1时，1x>1，∴12ln 1x >1x －11x＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1， 又∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1，∴当0<θ<π4时，0<tan θ<1，12ln(tan θ)<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4；当θ＝π4时，tan θ＝1，12ln(tan θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4；当π4<θ<π2时，tan θ>1，12ln(tan θ)>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.综上，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，12ln(tan θ)<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4；当θ＝π4时，12ln(tan θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，12ln(tan θ)>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.6．直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)假设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2，整理得t 2＋t －1＝0，Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1，∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.7．(2018·模拟)函数f (x )＝x 2－|x |＋3.(1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)假设关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，数a 的取值围．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ，即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}． (2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |，当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．。
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2019-2020年高考数学大题综合训练11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <34.(1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝12(a 2＋a 8)＝11.∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 27＝a 4·a 12，即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )， 又d ≠0， ∴d ＝2，∴a 1＝11－4×2＝3，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴1S n＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.∴T n <34.2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π4，求二面角B －PD －C 的余弦值．(1)证明 由ABCD 是直角梯形，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2，从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π3，BD 平分∠ADC ，∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE .又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD .(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π4，又∵PB ＝PD ，∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，PC →＝(0，3，－3)，PD →＝(－1,0，－3)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，得⎩⎨⎧3y －3z ＝0，－x －3z ＝0，令z ＝1，则x ＝－3，y ＝1，得n ＝(－3，1,1)． 又平面PBD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设二面角B －PD －C 的平面角为θ， 则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝15×1＝55，由图可知θ为锐角，∴所求二面角B －PD －C 的余弦值是55. 方法二 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π4，又∵PB ＝PD ，∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3， 作OH ⊥PD 于点H ，连接CH ， 则PD ⊥平面CHO ，又HC ⊂平面CHO ，则PD ⊥HC ，则∠CHO 为所求二面角B －PD －C 的平面角． 由OP ＝3，得OH ＝32，∴CH ＝152， ∴cos ∠CHO ＝OH CH ＝32152＝55. 3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)若该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X (单位：元)，求X 的分布列及期望；(2)若该超市计划一天购进A 水果150千克或160千克，请以当天A 水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 解 (1)若A 水果日需求量为140千克， 则X ＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8) ＝680(元)，且P (X ＝680)＝550＝0.1.若A 水果日需求量不小于150千克， 则X ＝150×(15－10)＝750(元)， 且P (X ＝750)＝1－0.1＝0.9. 故X 的分布列为E (X )＝680×0.1＋750×0.9＝743.(2)设该超市一天购进A 水果160千克， 当天的利润为Y (单位：元)， 则Y 的可能取值为140×5－20×2,150×5－10×2,160×5， 即660,730,800， 则Y 的分布列为Y 660 730 800 P0.10.20.7E (Y )＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.因为772>743，所以该超市应购进160千克A 水果． 若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地， 同理可得X ，Y 的分布列分别为X 670 750 P0.10.9Y 640 720 800 P0.10.20.7因为670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7， 所以该超市还是应购进160千克A 水果．4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点K (2,0)作一直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作直线l ：x ＝a 2c的垂线，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，54a 2＋34b 2＝1，c a ＝255⇒⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝52，AB 1与A 1B 的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0.②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 2＋5y 2＝5，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2，所以lAB 1：y ＝y 2－y 152－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋y 2，lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋y 1， 联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2－51＋5k 2－25420k21＋5k 2－5 ＝－45(1＋k 2)－20(1＋k 2)＝94， 代入上式可得y ＝k (x 2－x 1)－10＋4x 1＋y 2＝－9k (x 1＋x 2)＋4kx 1x 2＋20k4x 1－10＝－9k ·20k 21＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2＋20k 4x 1－10＝0.综上，直线AB 1与A 1B 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0.5．设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，数a 的取值围；(3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小，并说明理由． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，则g ′(x )＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )min ＝g (1)＝1>0，∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增， 无单调递减区间．(2)f ′(x )＝ln x ＋1x＋1－a ＝g (x )＋1－a ，由(1)可知g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 则g (x )≥g (1)＝1，即f ′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝2－a ， ①当a ≤2时，f ′(x )≥0，f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时，设h (x )＝ln x ＋1x＋1－a (x ≥1)，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0(x ≥1)，∴h (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 且h (1)＝2－a <0，h (e a)＝1＋e －a>0， ∴∃x 0∈[1，e a]，使得h (x 0)＝0，∴当x ∈[1，x 0)时，h (x )<0，f (x )单调递减， 即当x ∈[1，x 0)时，f (x )≤f (1)＝0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值围为(－∞，2]． (3)由(2)可知，取a ＝2，当x >1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0，即12ln x >x －1x ＋1， 当0<x <1时，1x>1，∴12ln 1x >1x －11x＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1， 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1，∴当0<θ<π4时，0<tan θ<1，12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时，tan θ＝1，12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当π4<θ<π2时，tan θ>1， 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上，当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时，12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4.6．已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2，整理得t 2＋t －1＝0， Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1， ∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.7．(2018·模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，数a 的取值围．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ， 即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0. 综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}． (2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |，当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．。