行列式的计算方法论文范文

华北水利水电学院

行列式的计算方法

课程名称：线性代数

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2012年11月4日

行列式的计算方法

摘要：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，而行列式又是高等代数课程

里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此学会怎样计算行列式对你学好线性代数这门课程有和大的帮助。下文是关于行列式的计算方法的一些总结和归纳，其中共总结了10种方法，并附有关于此方法的应用的案例、例题，介绍一些解题技巧。

关键词：行列式 计算方法 性质 例题

Abstract: linear algebra is the university mathematics education is a main basic course, and column type is also the higher algebra basic and important subject in one, in the mathematics of a wide range of applications, so learn how to compute the determinant in linear algebra for you to learn the course and great help. The following is about the calculating methods of determinant of some summary and conclusion, which were summarized 10 kinds of methods, and with the application of this method to the case, example, introduces some problem solving skill.

Key words: determinant calculation method character example.

一、 前言

随着科学技术的发展，很多前沿科学都需要运用行列式。现在高等教学已经开设课程。

但是同学们对于行列式的计算方法的掌握还是有所不足。遂列举一些行列式的计算方法。

二、方法解析

方法 1 利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

12322

2

212311

11112

3

1111()n n i j j i n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=

-∏

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例1 ： 计算n 阶行列式

11112

2

2

2

(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211

1

1

1

n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=

-+-+

-

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到

(1)2

22221

1

1

1

1

111121(1)

(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a

D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： (1)(1)2

2

11(1)

[()()](1)

()n n n n n

j i n

j i n

D a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏

方法 2 利用拉普拉斯定理法

拉普拉斯定理的四种特殊情形：

1）

0nn nn mm mn mm A A B C B =⋅ 2）

0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅

3）

0(1)nn mn nn

mm mm

mn

A A

B B

C =-⋅ 4）(1)0

nm nn mn nn mm mm

C A A B B =-⋅

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。 例 2： 计算n 阶行列式：

n a a a a

b D b b

λαββββα

ββββ

β

α

= 解：

12

222

(2)(2)

(2,,1)

000

(1)(2)

00

00

00

(3,)0

000(1)00

(2)0

[(2)(1)i n

i n n i n a

a a a

b D n a a a a

b n C C i n n a

b n n ab n λλλ

ααβ

βββαααβ

λ

αβββ

βαβαβαβ

αβ

λ

αβαβ

αβλαλβ+⨯-⨯-=------+-+--=----⋅

+--=+---利用拉普拉斯定理

2

]()n αβ-⋅-

方法3 化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例3 ： 计算行列式1

12313

37952

4

213571464

410

10

2

D -----=-----． 解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

()()()()()()()()

()()

()()

231321431541234211231112311-12-3100102020410204-1

2

04

10

010

200-10

-20215302153001-1200

2

22

00

2

22

2

2-2

D +---↔+------------------