【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：2.1.1平面(含答案解析)

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 平面

A级基础巩固

一、选择题

1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是()

解析：A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B，C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．

答案：D

2．A，B，C为空间三点，经过这三点()

A．能确定一个平面

B．能确定无数个平面

C．能确定一个或无数个平面

D．能确定一个平面或不能确定平面

解析：由于题设中并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理2时要注意条件“不共线的三点”．

当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面，

当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面．

答案：D

3．下面给出了三个条件：

①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线．

其中，能确定一个平面的条件有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

解析：①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．

答案：A

4．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析：选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A.

答案：C

5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过()

A．点A B．点B

C．点C，但不过点D D．点C和点D

解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：D

二、填空题

6．设平面α与平面β交于直线l，A∈Q，B∈β.且AB∩l＝C，则AB∩β＝________．解析：因为A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因为C∈l，l⊂β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.

答案：C

7．下列命题中，不正确的是________(填序号)．

①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面；

②三条两两垂直的直线共面；

③两两相交直线上的三个点确定一个平面；

④每两条都相交但不共点的四线共面．

解析：三条两两垂直的直线最多可确定三个平面，故②错误；两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面，故③错误；①④正确．

答案：②③

8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直线________上．

解析：若EF∩GH ＝Q ，则点Q ∈平面ABC ，Q ∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD ＝AC ，所以Q ∈AC.

答案：AC

三、解答题

9．如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之前的位置关系．

图① 图②

解：(1)α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，l ∩n ＝P.

(2)α∩β＝a ，α∩γ＝b ，β∩γ＝c ，a ∩γ＝O ，b ∩c ＝O.

10.如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边

BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23

，求证：直线EF ，GH ，AC 交于一点．

证明：因为AE ＝EB ，AH ＝HD ，

所以EH ∥BD ，且EH ＝12

BD. 因为CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，且FG ＝23

BD. 所以EH ∥FG ，且EH≠FG ，故四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P ，P ∈平面ABC ，又P ∈平面DAC ，又平面ABC∩平面DAC ＝AC ，故P ∈AC ，即EF ，GH ，AC 交于一点．

B 级 能力提升

1．下列四个命题：

(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

(2)两条直线可以确定一个平面；

(3)若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；

(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．

真命题的个数为()

A．1B．2C．3D．4

解析：(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这三个公共点共线，或这两个平面重合；

(2)错，两条平行或相交直线可以确定一个平面；

(3)对；

(4)错，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内．

答案：A

2．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．

解析：图形①中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据公理2的推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．

答案：①③

3．如图所示，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面．

证明：连接EF，QG，A1C1，EH，

因为E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，

所以EF∥A1C1∥QG，同理可证FG∥EH.

设E，F，Q，G确定平面α，F，G，E，H确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，所以α与β重合，即E，F，G，H，Q五点共面，同理可证E，F，G，P，Q 五点共面，

所以E，F，G，H，P，Q共面．