公平的席位分配问题
公平的席位分配
公平的席位分配席位公平分配问题—Q值法的改进摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。
通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。
结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。
一、问题背景席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。
席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。
同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理：公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。
公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。
公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。
公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。
公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。
然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。
著名的Q 值法是1982年由D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。
但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。
基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
1.席位分配问题
1.席位分配问题一. 问题提出设有甲、乙、丙三个部门，人数分别为1a 、2a 、3a ，有N 个名额进行分配。
甲、乙、丙所分名额分别是1n 、2n 、3n ，即有123N n n n =++。
公平分配要求如下：1. 一个部门人数的增加不会导致它分得的名额减少；2. 总的分配名额的增加不能导致某个部门分得的名额减少；3. 任一部门分得的名额数不能偏离其比例的名额数。
分法一：比例加惯例分配即按照人口比例进行名额分配。
若各部门所得恰好是正整数，分配完毕； 否则，把小数部分对应的名额分给尾数最大的。
分法二：Q 值法假设A 、B 两方，人数分别为1p 、2p ，待分配的名额是N 个，A 方和B 方得到的名额分别是1n 、2n 。
首先给出衡量公平分配的数量指标： 当1212p p n n =时，分配公平；若1212p pn n >，对A 不公平，此时定义1212p p n n -为对A 的绝对不公平度，()12121222,A p pn n r n n p n -=为对A 的相对不公平度；若1212p p n n <，类似的定义2121p p n n -为B 的绝对不公平度，()21211211,B p p n n r n n p n -=为对B 的相对不公平度。
要使分配方案尽可能公平，制定分配方案的原则是使()12,A r n n =与()12,Br n n =都尽可能小。
假设A 方和B 方已分得1n 、2n 个名额，利用相对不公平度()12,A r n n =与()12,B r n n =讨论当分配名额再增加一个时应该分配给A 还是给B 。
不妨设1212p p n n >，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： （1） 当12121p p n n >+ 时，说明即使给A 增加1个名额，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方。
（2） 当12121p p n n <+时，说明给A 增加1个名额后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为()21121211,1B p n r n n p n ++=- (1)（3） 当12121p p n n >+时，这说明给B 增加1个名额，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为()1212211,11A p n r n n p n ++=- (2)因为公平分配席位的原则是使相对不公平度尽可能小，所以如果()()12121,,1B A r n n r n n =+<+ (3)则这1个名额给A 方，反之这1名额给B 方. 由【1】、【2】知，【3】等价于()()2221221111p p n n n n <++ (4)不难证明上述的第(1)种情况12121p p n n >+也与【4】式等价。
公平席位分配方法
某学校三个系共200名学生，其中甲系 100名，乙系60名，丙系40名. 若学生代表 会议设20个席位，公平而又简单的席位分配 办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占10，6，4席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系 人数如下表第二列所示
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例， 找到衡量公平分配席位的指标，并由此建 立新的分配方法。 建立数量指标 设两方人数分别 p1 和 p2 ， 占有 席位分别是 n1 和 n2 ，则两方每个席位代表 的人数分别为 p2 n2 和 p2 n2 ，显然仅当
一般假设 p1 n1 > p2 n2 ，即对A不公平，当再分 配一个席位时， 关于 pi ni (i = 1, 2) 不等式有三 种情况：
公平分配席位的原则是使得相对不公平值 尽可能地小，所以如果 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这一席应分给A方，反之则应分给B方。 事实上，第一种情况也包含在上式中。 p22 n2 (n2 +1) < p12 n1(n1 +1)
模型推广：m方分配席位的情况. 设第i 方人数为 pi ，分配席位为 ni ，当总席位增 加1席时，计算
pi 2 Qi = , i = 1, 2, ..., m n i ( n + 1)
应将1席分给最大一方-------Q值法
1.作业：用Q法重新讨论甲乙丙三系分配 21席问题。
p1 n1 = p 2 n2
因为人数和席位都是正数，但通常有 p1 n1 ≠ p2 n2 这时席位分配不公平，且 p i n i 的数值较大 的一方吃亏，或者说对这一方不公平。
假设 p1 n1 > p 2 n2 ，不公平程度可 以用 p1 n1 − p 2 n2 衡量。 1. p 1 = 1 2 0 , p = 1 0 0 , n1 = n 2 = 1 0 2. p 1 = 1 0 2 0 , p 2 = 1 0 0 0 , n1 , n 2 不变 设 p1, p 2 为A，B 两方固定人数， n 1 , n 2 两方 分配席位（可变）。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
数学建模论文-席位公平分配问题
数学建模论文-席位公平分配问题数学建模论文(席位公平分配问题)席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型1目录一、问题重述与分析: ................................... 3 1.1问题重述: ........................................ 3 1.2问题分析: ........................................ 3 二、模型假设 .......................................... 4 三、符号说明 .......................................... 4 四、模型建立: ........................................ 5 4.1公平的定义: ...................................... 5 4.2不公平程度的表示: ................................ 5 4.3相对不公平数的定义: .............................. 5 4.4模型一的建立:(比例分配模型) ...................... 6 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6)五、模型求解 .......................................... 8 5.1模型一求解: ...................................... 8 5.2模型二的求解: .................................... 8 六、模型分析与检验 ..................................... 9 七、模型的评价: ...................................... 11 7.1、优点: ......................................... 11 7.2、缺点: ......................................... 11 7.3、改进方向: ..................................... 11 八、模型优化 ......................................... 11 九、参考文献 (12)2一、问题重述与分析:1.1问题重述:三个系学生共200名(甲系100，乙系60，丙系40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
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公平的席位分配问题
席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数
学生数100 60 40 200
学生人数比例100/200 60/200 40/200
席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200
按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉
得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A p 1 n 1
11n p 单位B p 2 n 2 22n p 要公平，应该有11n p =22
n p ， 但这一般不成立。
注意到等式不成立时有
若 11n p >22
n p ，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )
若11
n p <22n p ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2
211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =120， p 2=100， 算得 p =2 另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =1020，p 2=1000, 算得 p =2 虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若 2211n p n p > 则称 11
2212
22211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A
若 2211n p n p < 则称 12
1121
11122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11
n p >
22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22
n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(2
1211111
2221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为 1)1(11)1,(1
2122222
1121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A
4.11n p <122
+n p ,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B
则增加的一席应给A ，反之应给B 。
对不等式 r B (n 1+1,n 2)<r A (n 1,n 2+1)进行简单处理，可以得出对应不等式
)
1()1(11212222+<+n n p n n p 引入公式
k k k k n n p Q )1(2+=
于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。
用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。
对多个组（m 个组）的席位分配Q 值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q 值：
Q k , k =1,2,…,m
2．求出其中最大的Q 值Q i （若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q 值Q i 对应的第i 组。
这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q 值分配。
本问题的整数名额共分配了１９席，具体为：
甲10.815 n1 =10
乙 6.615 n2 =6
丙 3.570 n3 =3
对第２０席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10⨯11) = 96.45 ; Q2=632/(6⨯7)= 94.5; Q3 =342/(3⨯4)=96.33
因为Q1最大，因此第２０席应该给甲系; 对第２１席的分配，计算Q值Q1=1032/(11⨯12)=80.37 ; Q2 =632/(6⨯7)=94.5; Q3 =342/(3⨯4)=96.33
因为Q3最大，因此第２1席应该给丙系
最后的席位分配为：
甲１１席乙６席丙４席
注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3 =1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。
简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。
请对一般情况编程。