计算流体力学实验报告

计算流体力学实验报告——热传导方程求解
姓名：梁庆
学号：0808320126
指导老师：江坤
日期：2010/12/30
基于FTCS格式热传导方程求解程序设计
摘要
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的定量描述，并以预测流体运动规律的学科。

在CFD中，我们将流体控制方程中积分微分项，近似的表示为离散的代数形式，使得积分或微分形式的控制方程转化为离散的代数方程组；然后通过计算机求解这些代数方程，从而得到流场在空间和时间点上的数值解。

基于以上思路，我们利用FTCS格式差分，工程上常用的热传导方程，并编制计算机求解程序，解出其数值解。

并通过Matlab绘制，求解结果，分别以二维，三维的形式，给出求解结果，本实验通过求解的数值解，制作了1秒内长度为1的距离内，热传导情况动画，以备分析所用。

关键词FTCS 有限差分热传导方程
一、 问题重述
编制一个可以有限差分程序，实现求解热传导方程。

非定常热传导方程：
22(0)
u u t t
γγ∂∂=>∂∂
初边值问题的有限差分求解。

初始条件和边界条件为：
(,0)()
(0,)()0(1,)()0
u x f x u t a t u t b t =⎧⎪
==⎨⎪==⎩ 其中1γ=，初值条件为：000.3()1
0.30.71010
0.7 1.0
3
3x f x x x ⎧
<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪-+<⎩ 取网格点数Mx=100，要求计算t=0.01,t=0.1,t=1,t=10,时的数值解。

计算时间步长取
2
0.1t
x γσ=
=V V 。

差分格式为：FTCS 格式。

本程序采用FTCS 格式为：
111
(12)n n n n k k k k u u u u σσσ++-=+-+
二、 程序设计规程
解决差分格式程序设计，主要解决初值初始化问题，差分求解问题，输出显示问题，
三大模块。

本文通过函数设计，分别将这里的三个问题，用三个函数实现。

图1 设计总图
具体差分原理如下：
图2 差分模块
三、程序建立及各模块
1.初始化模块建立
本程序需实现有提示性的操作，因而需要有相应的文字输出，在主函数中，输出提示文字，输入界面如下：
图3 输入界面
2.差分模块的建立
差分模块函数体：
void deidai(double **num,double x,double t)
{ double dt=t/(N-1); double dx=x/100.0;
double ss=dt/(dx*dx);
cout<<"差分因子为："<<ss<<endl;
for(int i=1;i<N;i++)
for(int j=1;j<100;j++)
num[i][j]=ss*num[i-1][j+1]+(1-2*ss)*num[i-1][j]+ss*num[i-1][j-1];//差分格式
}
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
位置 X 热传导量u
热传导方程求解结果
3. 显示模块的建立
本程序在输入求解时间上，每次所取的差分空间步长，由题目中100网格数所定，时间步长由2
0.1t
x γσ=
=V V ，反求得到，故而，所求时间越长，所求得的结果越细，为了便于在
c++中输出显示，实验时只输出其中一部分结果。

而在在后序图形化显示中，利用了求解出的全部结果。

四、 实验结果分析
利用C++求解程序，计算出题目要求的，时间分别为t=0.01,t=0.1,t=1,t=10;时数值解，老师可调阅所附文件夹中的“所有时间的数值解.txt ”文件，为了便于图形显示及说明，下面只说明T=1s 的过程的结果。

（T=10s 时间过长，1s 后结果已经基本趋于0）
下图所绘即为，T=1s 时的结果，以时间间隔0.1s 输出，T=0s 时为初始条件
图4 1s 热传导过程
从结果中可以明显看出，0.1秒内，下降的最快，而后下降速度放缓，最终趋于0， 这符合经验的结果，因为边界条件热传导两边均为0，随着时间的递减，中间的热量也必将变为0
距离X
时间T
热传导U
下图为1s 内热传导立体图：
图5 1s 热传导三维立体图
更详细的结果，见所附文件，并有动画展示求解结果。