采样频谱及采样定理
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。
它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。
1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。
采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。
采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。
如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。
2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。
这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。
通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。
采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。
这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。
图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。
在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。
3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。
然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。
为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。
7频域采样
一、频域采样与频域采样定理
设任意序列x(n)旳Z变换为 X (z) x(n)zn n
而且X(z)旳收敛域包括单位圆。以2/N为采样间隔，
在单位圆上对X(z)进行等间隔采样得到
N 1
j2k n
XN
(k)
X
(z)
j2 k
ze N
x(n)e N
n0
实质上， X N (k)是对x(n)旳频谱函数 X (ej ) 旳等间隔采样 因为 X (ej ) 以2为周期，所以 X N (k) 是以N为周期旳频域序列。
❖ 频 率 响 应 旳 内 插 函 数 (w) 具 有 线 性 相 位.
（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号
（5）注意点
❖ DFT 变 换 对 旳 一 一 对 应 关 系 也 是 由 此 而 得 到 保 证 旳.
❖实 际 上 , 在 我 们 从 连 续 傅 里 叶 变 换 引 出 DFT 时, 也 只 有 按 此 条 件 对 频 域 进 行 抽 样, 才 能 在 最 后 正 确 导 出 DFT 变 换 对 定 义式.
（2）分析
将x(n)旳频域函数 X (e j ) ，按每七天期 N点抽样，得到
一周期序列X~ (k) ,再反变换回时域,得到变换成果~xN (n) ,
是一周期延拓旳序列，且与原序列x(n) 有如下关系
~xN (n)
x(n rN )
r
即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓.
2、那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 [即 单 位 圆 上 旳 X(z)].
3、还原过 程 ：先 把 N 个 X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z)。
采样频率、采样点数、频率分辨率
1.频率分辨率的2种解释解释一：频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/NTs=1/T,其中N为采样点数，fs为采样频率，Ts为采样间隔。
所以NTs就是采样前模拟信号的时间长度T，所以信号长度越长，频率分辨率越好。
是不是采样点数越多，频率分辨力提高了呢？其实不是的，因为一段数据拿来就确定了时间T，注意：f0=1/T，而T=NTs，增加N必然减小Ts ，因此，增加N时f0是不变的。
只有增加点数的同时导致增加了数据长度T才能使分辨率越好。
还有容易搞混的一点，我们在做DFT时，常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的，我们常常认为这是增加了N，从而使频率分辨率变好了，其实不是这样的，补零并没有增加有效数据的长度，仍然为T。
但是补零其实有其他好处：1.使数据N为2的整次幂，便于使用FFT。
2.补零后，其实是对DFT结果做了插值，克服“栅栏”效应，使谱外观平滑化；我把“栅栏”效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，肯定有被栅栏挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，改变了栅栏密度，风景就看的越来越清楚了。
3.由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。
那么选择DFT时N参数要注意：1.由采样定理：fs>=2fh，2.频率分辨率：f0=fs/N，所以一般情况给定了fh和f0时也就限制了N范围：N>=fs/f0。
解释二：频率分辨率也可以理解为某一个算法（比如功率谱估计方法）将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。
这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。
在信号系统中我们知道，宽度为N的矩形脉冲，它的频域图形为sinc函数，两个一阶零点之间的宽度为4π/N。
由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数，也就是频域受到sinc函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差W0必须大于4π/N。
信号的采样与恢复
信号的采样与恢复实验一、任务与目的1. 熟悉信号的采样与恢复的过程。
2. 学习和掌握采样定理。
3. 了解采样频率对信号恢复的影响。
二、原理（条件）PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
1. 采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。
这些值包含了该连续信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。
采样定理是连续时间信号与离散时间信号之间的桥梁。
采样定理：对于一个具有有限频谱，且最高频率为ωmax的连续信号进行采样，当采样频率ωs满足ωs>=ωmax时，采样信号能够无失真地恢复出原信号。
三角波信号的采样如图4-1-1所示。
图4-1-1信号的采样2. 采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为它包含了原信号频谱以及重复周期为的原信号频谱的搬移，且幅度按规律变化。
所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。
某频带有限信号被采样前后频谱如图4-1-2。
图4-1-2 限带信号采样前后频谱从图中可以看出，当ωs ≥2Bf 时拓延的频谱不会与原信号的频谱发生重叠。
这样只需要利用截止频率适当的滤波器便可以恢复出原信号。
3. 采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以用低通滤波器。
低通滤波器的截止频率f c 应当满足f max ≤f c ≤f x -f max 。
实验中采用的低通滤波器原理图如图4-1-3所示，其截止频率固定为1802f Hz RCπ=≈图4-1-3 滤波器电路4. 单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两个部分构成，滤波器部分不再赘述。
其中的采样保持部分电路由一片CD4052完成。
此电路由两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲，经过采样后的信号如图4-1-1所示。
三、内容与步骤本实验在脉冲采样与恢复单元完成。
1. 信号的采样（1）使信号发生器第一路输出幅值3V、频率10Hz的三角波信号；第二路输出幅值5V，频率100Hz、占空比50％的脉冲信号。
奈奎斯特采样定理和香农采样定理
奈奎斯特采样定理和香农采样定理
一、奈奎斯特采样定理
1、奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem）指出，对
任何一个连续的时间函数，如果它在时间轴上有频率不超过一个上限，则只要把它采样频率设计在该上限的两倍以上即可完全重建出这个
函数。
奈奎斯特采样定理是数字信号处理的基本原理之一，该定理指出如果采样频率大于两倍最高信号频率，则可以完全重建出信号的完整信息。
该定理的意义在于，在信号数字化时，我们只需要采样频率大于信号最高频率两倍即可精确无损地重建信号，因此也可称其为“无损采样定理”。
2、基于奈奎斯特采样定理，在模拟信号转换为数字信号时，需
要将模拟信号先做低通滤波，使阻带范围不超过采样频率的一半，被称为“奈奎斯特限制频率”，与此同时，将采样频率设置在奈奎斯特
限制频率的两倍以上，这样可以保证数字信号重建时无损传输。
二、香农采样定理
1、香农采样定理（Shannon Sampling Theorem）又称“总变换
定理”，由Shannon于1949年提出，表明任何一个带宽有限的连续信号都可以通过取样的方式近似表示，而且取样频率满足一定条件时，信号可以完整的重建。
2、香农采样定理的条件是采样频率为该信号的频率范围的两倍
以上，并且频率范围的宽度要大于频谱中峰值频率的两倍，此时采样
时的取样频率叫做重建阈值，即信号可以完整重建所需要的最低采样频率。
香农采样定理是分析数字信号的基础原理，它解决了模拟信号数字化的问题，指出任何一个带宽有限的连续信号都可以通过取样的方式近似表达，并且只要实现正确的采样取样频率，就可以完整重建数字信号。
简述采样定理及其含义
采样定理及其含义1. 介绍采样定理，也被称为奈奎斯特–香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），是数字信号处理领域的基石之一。
它提供了一个确保无失真地从连续信号转换为离散信号的理论基础。
采样定理是由哈维·尤利斯·奈奎斯特（Harry Nyquist）和克劳德·香农（Claude Shannon）在20世纪20年代和30年代提出的。
采样定理的核心思想是：为了能够准确重构一个连续信号，我们必须以足够高的频率对其进行采样。
换句话说，采样频率必须大于信号中的最高频率成分的两倍。
当采样频率满足这个条件时，我们就能够在离散形式下存储和处理信号，同时能够准确地还原出原始信号。
2. 定理表述采样定理可以用数学公式形式化地表达如下：设连续时间信号x(t)的频谱有界，其最高频率成分为B Hz，则x(t)可以由其间隔为1/(2B)的采样点完全确定。
换句话说，在理论上，如果我们以频率大于2B Hz对信号x(t)进行采样，并将采样点按照确定的时间序列存储起来，那么我们就能够通过插值等算法无失真地还原出原始信号。
3. 含义解读采样定理的含义在于，在适当的采样频率下，连续信号可以通过离散信号进行精确表示。
这个定理的重要性在于它提供了一种将连续信号转换为数字信号的方式。
当我们需要对信号进行数字化处理时，采样定理确保了我们得到的离散信号能够准确地代表原始信号，而不会引入失真或信息丢失。
在实际应用中，采样定理的要求可以通过增加采样频率来满足。
例如，如果我们知道一个信号的最高频率成分是10 kHz，那么按照采样定理，我们需要以至少20 kHz的采样频率对其进行采样，以保证信号的重构能保持准确性。
这也是为什么CD 音频的采样频率被设定为44.1 kHz的原因，它超过了人耳的最高可听频率20 kHz的两倍。
另外，采样定理还告诉我们，如果我们以低于2B Hz的频率对信号进行采样，那么将会出现混叠效应，即高频成分会被错误地表示为低频成分。
信号实验二 离散信号的频谱分析
实验二离散信号的频谱分析一、[实验目的]（1）加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；（2）掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法（3）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。
（4）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。
（5）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。
二、[实验内容]1.实验原理验证（一）．采样定理及采样后信号的频谱对Sa(t)的采样后信号的频谱（二）．信号重建对cos(t)的采样与重建信号cos(t) cos(t)重建信号与原信号的比较及误差（三）．离散时间信号的傅立叶变换及频谱分析（1））离散时间傅里叶变换的概念及其性质。
有限长序列x(n)={1,2,3,4,5}（2）离散傅里叶变换的概念及其性质x(n)=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4)，N=16的序列傅里叶变换。
2. 选取信号f(t)= cos(t)作为被采样信号（最高频率为f=8Hz），取理想低通的截止频率wc=1/2*ws。
实现对信号f(t)= cos(t)的采样及由该采样信号的恢复重建，按要求完成以下内容:(1) 分别令采样角频率ws=1.5*wm 及ws=3*wm，给出在欠采样及过采样条件下冲激取样后信号的频谱，从而观察频谱的混叠现象。
答：实验程序如下clc,cleardt=0.01;t=0:dt:1;cos(t)的3倍采样信号频谱ωF (j w )f=8; %信号频率wm=2*pi*f; %信号角频率 ft=cos(wm*t); %时域信号%bs=1.5; %采样角频率，欠采样 bs=3; %采样角频率，大于两倍采样ws=bs*wm;Ts=2*pi/ws; %采样时间间隔 wc=1/2*ws; %理想低通截止频率nTs=0:Ts:1;Tf=0.01;nTf=-10:Tf:10; f_nTs=cos(wm*nTs); %时域采样信号Fs=funexer4_1(f_nTs,nTs,Ts,nTf); figure(1); plot(nTf,Fs);title('cos(t)的3倍采样信号频谱'); xlabel('ω'); ylabel('F(jw)'); grid on%//////////////////1.5倍采样 figure(2)bs=1.5; %采样角频率，大于两倍采样ws=bs*wm;Ts=2*pi/ws; %采样时间间隔wc=1/2*ws; %理想低通截止频率nTs=0:Ts:1; Tf=0.01; nTf=-10:Tf:10;Fs=funexer4_1(f_nTs,nTs,Ts,nTf); plot(nTf,Fs); title('cos(t)的1.5倍采样信号频谱');xlabel('ω');ylabel('F(jw)'); grid on(2) 若采样角频率取为ws=3*wm ，欲使输出信号与输入信号一致为cos(t)，试根据采样信号恢复信号的误差，确定理想低通滤波器H ( jw)的截止角频率Wc 的取值范围应为多大？cos(t)的1.5倍采样信号频谱ωF (j w )Sa(t)采样后的奈奎斯特采样频谱图(4倍）ωF (j ω)答：截止频率wc 应满足： wm<wc ≤ws/2。
信号的采集与处理
数单 字片 信机 号
电 平 转 换 电 路
计 算 机
数据采集系统的构成
• 传感器：将非电量转换成电信号输出。 • 调理通道：完成模拟信号的衰减、放大、隔离、滤波
、传感器激励和线性化等功能。 • 采样保持器：保证A/D转换过程中信号的稳定。 • A/D转换器：将模拟量转换成数子量。 • 单片机：进行数据采集。 • 电平转换电路：将TTL电平1转换成RS232C 2电平。 • 计算机：接收数据并进行处理。
两者区别
①模拟信号是用模拟量的电压或电流来表示的信号，时间上是连续的，幅度变 化也是连续的。 ②数字信号是通过0和1的数字串所构成的数字流来传输的，幅度变化是跳变的 。
数据采集系统的构成
一个典
物传 理感 信器 号
调 电理 信通 号道
采
电 信 号
样 保 持 器
AD 电转
Av
1
RF R1
R1一般取几十千欧。耦合电容C1、C3可根据交流放大器的下限频率fL来 确定。
C1 C3 (3 ~ 10) /(2RL fL )
调理通道
2.滤波电路
滤波可以消除噪声和不必要的干扰，噪声滤波器通常用于输入的信号是直流信号 。许多仪器信号调理模块都有合适的低通滤波器。交流信号通常需要抗失真的低通滤 波器，因为这样的滤波器有一个陡峭的截止频率，因而几乎能够完全消除高频干扰信 号。
备注: 1:晶体管-晶体管逻辑电平；2：一种串行物理接口标准
传感器
传感器是一种检测装置，能感受到被测量的信息，并能将感受到的信息， 按一定规律变换成为电信号或其他所需形式的信息输出，以满足信息的传输、 处理、存储、显示、记录和控制等要求。它是实现自动检测和自动控制的首要 环节。
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o Ts
t
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式中的抽样脉冲序列PTs如图 5.1-2 所示。它实际上就是周期 矩形脉冲函数，可表示为
PT s (t) g（r t nTs）
n
PTs(t)
1
－
Ts
－τ2
oτ 2
Ts
t
图 5.1-2 抽样脉冲序列PTs(t)
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fs (t) f (t) PTs (t)
数，所以 F() 在重复过程中不会使形状发生变化。
第2页/共18页
1.周期矩形脉冲抽样
图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
fs (t) f (t) PT s (t)
f (t)
fs(t)
f (t)
fs(t)
抽样器
o
t
图 5.1-1 信号的抽样
)对
f (t) 进行抽样，则抽样后，信号
fs (t) 的频谱 Fs () 是 F()
以 s 为重复周期的周期函数，即
6.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直 观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通 常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操 作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离 散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为 抽样，这时信号在时间轴上是离散的，但在幅值上却是连续的，通常称为抽样信号， 用 fs (t) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值 上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
P() 2 cn ( ns ) n
其中 cn
1 Ts
Ts 2
Ts
p(t)e jnst dt
2(5.1-2)s2fs2 Ts
是抽样角频率， Ts
为抽样周期。
(5.1-3)
如果设连续信号 f (t) 的频谱为 F() ，则根据频域卷积定理可知，抽样信号 fs (t) 的傅里叶变换为
Fs ()
p(t) T (t) (t nTs ) n
fs (t) f (t)T (t) 由式(5.1-3)求出 T (t) 的傅里叶系数为
1
cn Ts
Ts 2
Ts 2
T
(t)e jnst dt
1 Ts
Ts 2
Ts 2
(t)e jnst dt
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
t (a)
－ m o m
F ［PTs(t)］
2 Ts
-Ts-τ2
τ o2
Ts
t (b)
－
o
Fs(j ) Ts
-Ts o Ts
t
－ － m o m
(c)
图 5.1-3
(a) f(t)的波形及其频谱；(b) PTs的波形及其频谱； (c) fs(t)的波形及其频谱
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2. 冲激抽样 若抽样脉冲 p(t) 是冲激序列 T (t) ，这种抽样通常称为“冲激抽样”或“理想抽样”。 因为
PTs (t)
2
Ts
Sa n
n 2
( n)
由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同样，根据傅里叶变换的频域卷积
性质，可得
F[ fs (t)]
1
2
F
(
j
)
*
n
2
TS
Sa
n
2
(
n)
Sa
n
F[
j(
n)]
Ts n 2
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f (t)
F(j )
o
PTs(t) 1
等间隔的抽样值唯一地表示，此时最低抽样频率必须满足
fs
2 fm
，或者说抽样时间间隔必须小于
1 2 fm
(其中 m
2
fm
)。
f (t)
F ()
1
t
0
FS ()
（a）连续信号及频谱
m 0 m
FS ()
1/TS
t 0 TS
S m 0 m S
（b）满足抽样定理时的抽样信号及频谱（不混叠）
FS ()
S
1/TS
Fs ()
1 Ts
F( ns )
n
(5.1-6)
式(5.1-6)表明：由于冲激抽样序列的傅里叶系数 c n 是常数，所以 F() 是以 s 为周期等幅地重复。
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f (t)
F ()
t
0 p(t )
1
…
…
t
Ts 0 Ts 2Ts fS (t)
…
…t
Ts 0 Ts 2Ts
m 0 m p( )
t
m
S
m
0 TS
m 0 m
（c）不满足抽样定理时的抽样信号及频谱（混叠）
图 5.2-1 冲激抽样信号的频谱
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为了证明此定理，可以参看图 5.2-1 所示。假设信号 f (t) 的频谱 F() 限制在 m ~ m 范围内，如
图 5.2-1(a)所示。若以间隔 Ts (重复频率 s
2 Ts
第1页/共18页
6.1 抽样信号及其频谱
5.1.1 时域抽样
在时域，抽样过程是通过抽样脉冲序列 p(t) 与连续信号 f (t) 相乘来完成的，如图 5.1-3 所示。
f (t)
fs (t)
p(t ) 图 5.1-3 时域抽样过程
可以表示为 fs (t) f (t) p(t)
(5.1-1)
由于 p(t) 是周期序列，所以可以计算 p(t) 的傅里叶变换为
(S )
…
…
S …
0
S
FS ()
1
TS
…
S
0
S
(a) 冲激抽样
(b) 抽样信号频谱
图 5.1-5 冲激抽样信号的频谱
由以上讨论，有两点需要注意：(1) 原连续信号的频谱函数 F() 假设是有限带宽。根据前面的信号分
析，如果信号在频域是有限的，那么它在时域会是无限的，这就意味着它是一个物理上不存在的信号；(2)
抽样信号频谱函数 Fs () 是以周期 s 重复的， s 的大小与时域抽样间隔 Ts 有直接关系 s
2 Ts
。如果抽样
间隔大，则重复周期 s 小，反之抽样间隔小，重复周期大。
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5.2 抽样定理
5.2.1 时域抽样定理
时域抽样定理表明：一个频带受限的信号 f (t) ，如果它的频谱只占据 m ~ m 的有限范围，则信号 f (t) 可以用
1 2
F() P()
1 2
F
(
)
2
n
cn
(
ns
)
cn F( ns )
n
(5.1-4)
连续信号 f (t) 在时域被抽样后，其抽样信号 fs (t) 的频谱 Fs () 是由连续信号 f (t) 频谱 F() 以抽样频率 s 为间隔
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p(t) 的傅里叶变换 P() 的系数 cn 加权。因为 cn 只是 n(而不是 )的函