全等三角形复习(精华)

如图： △ABC中， ∠B=2 ∠A，AB=2BC，
试说明：AC ⊥ BC A
B
C
三、活动探究：
例1、把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图，问 图中共有几对全等三角形？请分别指出。
F
O P Q
A
∟
B
D
△ABC≌ △FED △BPD≌ △EQC △FPO≌ △AQO
∟
C
E
例2，把以上两块三角板先拼成如图，再连接AO， 则图中共有几对全等三角形？请任选一对加以证明。
解：∵AE=CF ∴AE－FE=CF－EF 即AF=CE 又∵ ∠AFD=∠CEB，
DF=BE 根据“SAS”，可以得到 △AFD≌△CEB
A
D
F
E
C
B
5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ B
E D A
解： ∵ ∠CAE=∠BAD 即∠BAC=∠DAE 又∵∠B=∠D AC=AE 根据“AAS”,就可以得到 ∴ △ABC≌ △ADE
C
O
C
O
D
D
A 图1
B A 图2
B
中考链接：
（06年嘉兴市）如图，矩形纸片ABCD，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△ EDB落 在同一个平面内），则A，E两点的距离是---------。 E（C）
∟
A
D
B
C
知识回顾
全等图形: 全等三角形: 能完全重合的图形叫全等图形 能完全重合的三角形是全等三角形.
全等三角形的周长相等、面积相等. 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
全等三角形的性质: 全等三角形的对应边、对应角相等.
全等三角形的判定 一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS 直角三角形全等的判定： 、ASA、AAS、SSS、HL SAS
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， E AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？ 为什么？ C 6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据 AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道 ∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。 A
D
4.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS）
B
C F E
三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E
B C F E A D
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
三角形全等判定方法4
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三
角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
三角形全等判定方法5
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(HL）。
在Rt△ABC和Rt△DEF中 AB=DE （已知 ） A D
AC=DF（已知 ）
C ∴ △ABC≌△DEF（HL） B F E
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA)
回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可 简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)
∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
C
6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根 据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道 ∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说 明。
解:连接AC ∵ AB=AD,BC=DC 又∵AC=AC 根据“SSS”就可以得到 ∴△ADC≌△ABC 在根据全等三角形的 对应角相等,得到: ∴ ∠ABC=∠ADC
C
A
B
思路2： 已知一边一角（边角相对） 再找一角 ∠C= ∠D，AB=AB
D
∠CAB=∠DAB （AAS） 或 ∠CBA=∠DBA
如图，已知∠1= ∠2，添加一个条件___________________， 可得△ABC≌ △CDA，
D 2 1 C
A
B
思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：
∠1= ∠2，AC=CA
３、全等三角形的判定方法
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
找一角的对边
AC=AD (AAS) 或 DE=BC
三个角对应相等的两个三角形全等吗？
三个角对应相等的两个三角形全等吗？
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角对应相等的 两个三角形全等吗？
两边和其中一边的对角对应相等的两 个三角形全等吗？
\
=
=
两边和其中一边的对角对应相等的两 个三角形不一定全等
公共边，公共角，对顶角
一、挖掘“隐含条件”判全等
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则 △ABC≌△DCB吗?说说理由 2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上， CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 20° , ∠B=20°,CD=5cm，则∠C= BE= 5cm .说说理由.
∟
Q
∵在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2 ∴AB=4 又 在Rt△ACP中，∠ACP=30°，AC=2 ∴AP=1， 同理 BQ=1 ∴PQ=4-1-1=2
探究：
把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图，再过点C 作CP⊥AB于P，过点D作DQ ⊥AB于Q，你能求出C、D之间 的距离吗？
3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，若 3cm . 说说理由. AB=3cm，则CD= B A D
图（1） B D A O E C 图（2） A D O B C 图（3）
C
A
D F E C B
二、转化“间接条件”判全等
4.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， B △AFD与△ CEB全等吗？为什么？
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
找夹此角的另一边 找夹此边的另一角 找此边的对角 AD=CB （SAS）
∠ACD=∠CAB （ASA） ∠D=∠B （AAS）
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需 要添加的一个条件是_______________
A
D
C
E
思路ห้องสมุดไป่ตู้：
已知两角： ∠B= ∠E， ∠A= ∠A 找夹边 AB=AE (ASA)
(3):已知两角---
找夹边外的任意边(AAS) 注意：１、“分别对应相等”是关键； ２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。 2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。
归纳： 全等三角形的进一步应用
全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的 重要方法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一般是对应边， 有公共角的， 公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应 角 注意：有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的 等价转化
A
D O
C
E
△ABC≌ △AED △BOD≌ △EOC △ADO≌ △ACO △AOB≌ △AOE
例3，把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图， 再过点C作CP⊥AB于P，过点D作DQ ⊥AB于Q，请问CP和 DQ相等吗？为什么？若AC=2，求P、Q两点间的距离。
C
O
D
A
P
解：∵△ACB≌△BDA ∴AC=BD，∠CAP= ∠DBQ ∵∠CPA=∠DQB=90 ° ∴△CAP≌△DBQ ∴CP=DQ