4.稳定性(第六讲)
第六讲汽车造型设计与空气动力学
————《汽车车身结构与设计》课程
教 师: 李 迪 专 业：车辆工程 学 院：交通与车辆工程学院
2006年11月6日
概要
汽车空气动力学性能
汽车行驶时所受到的气动力和力矩 改善汽车空气动力性能的措施 汽车空气动力学的发展阶段 整体优化法设计
汽车造型设计
汽车车身结构与设计
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二、汽车造型技术与方法
3.汽车造型技术与方法
（1）收集资料信息形成造型设计概念 借鉴、继承和改进; 征得消费者对汽车的意见和期望; 每年参加各地举办的汽车展览会; 收集市场的信息反馈.
（2）获得造型设计的基本硬点-控制线图 总布置设计、局部改型设计的控制关系
（3）造型构思草图
侧倾力矩Mx(以汽车右倾为正)：
Mx
Fy ZC
1 2
2SCZ ZC
1 2
2SLCMX
汽车车身结构与设计
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一、汽车的空气动力学性能
2.汽车的空气阻力
Fx
1 2
2SCD
正比：空气阻力系数CD，迎风面积S，空气密度ρ及车速v2
分为5个部分：
形状阻力
摩擦阻力
诱导阻力
干扰阻力
首先确定一个符合总布置要求的理想的低阻形体，在其发展成 实用化汽车的每一设计步骤中，都应严格地保证形体的光顺性， 在不改变其整体流场的条件下，使其逐步形成具有低气动阻力 系数的实车 ，称之为形体最佳化(Shape Optimization)。
汽车车身结构与设计
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一、汽车的空气动力学性能
汽车车身结构与设计
个月和24个月,最终目标是12—18个月。
第六讲--国际收支的弹性分析法
2. 马歇尔——勒纳条件
如果我们已经预先知道现实世界中的外汇供求曲线的 确切形状，可以很容易（如上所述）确定在特殊情况下外 汇市场稳定与否，而且，如果稳定的话，还可以知道为消 除国际收支逆差所需的贬值程度。然而事实并非如此。因 此，我们仅能从一国进出口的供求来推断外汇市场是否稳 定以及外汇供求的弹性大小。
当外汇市场不稳定时，浮动汇率制度将增强而不是减 弱国际收支的失衡程度。因此，为消除或减少一国逆差， 就要求该国货币增值而不是贬值，贬值将用于调节顺差。 这些政策与稳定的外汇市场下的做法相反。这样一来，确 定外汇市场稳定与否非常关键。只有在确定外汇市场稳定 之后，曲线D€和S€的弹性（因而以贬值调节逆差国国际收 支失衡的可行性）才变得重要起来。
由于汇率以一固定百分比变动，D'M与DM实 际上不是平行的。因而，从B'点（1欧元）减少 20%，价格只下降了0.20欧元，而同时对应于G点 （1.25欧元）则下降了0.25欧元。在D'M与SM的交 点E'处，ＰＭ=0.9欧元，QM=110亿单位，这样， 美国对于欧元的需求降至99亿欧元（图2左图中的 E'点），相当于图1中的E点（99亿欧元四舍五入 为100亿欧元）。因此，美国对欧元的需求在汇率 为R=1美元/1欧元时为120亿欧元（由图2左图中的 B'点给出），在汇率R=1.2美元/1欧元时为100亿 欧元（由E'点给出）。这相当于图1中B点沿D€曲 线上升至E点的运动。
青少年发展与教育第六讲练习题
第六讲练习题一、概念解释1．情绪情感 2．情绪表达的掩饰性 3．亲密感 4．友谊 5．孤独感 6．情绪能力 7．情绪调节8．情感素质1．情绪情感:是个体对客观事物的态度体验，是对客观事物的与主体之间关系的反应。
2．情绪表达的掩饰性:即情绪的表现与内心真实体验会是分离，就像是戴着一副假面具一样，有时候让家长和老师琢磨不透其内心的真实情感。
3．亲密感:是指两个人之间情感上的依恋，它的特征是彼此关心对方的身体健康和幸福感；愿意同对方谈私人的、有时甚至是敏感的话题；拥有共同的兴趣，并会参与共同的活动。
4．友谊:友谊是人们在交往活动中产生的一种特殊情感，它与交往活动中所产生的一般好感是有本质区别的。
友谊是一种来自双向（或交互）关系的情感，即双方共同凝结的情感，任何单方面的良好，不能称为友谊。
友谊以亲密为核心成分，亲密性也就称为衡量友谊程度的一个重要指标。
5．孤独感：是指当个人的感觉缺乏令人满意的人际关系，自己对交往的渴望与实际的交往水平产生差距时，通过自我知觉产生的孤单、寂寞、失落、疏离和不满的主观情绪体验。
6．情绪能力：也叫情绪智力，是青少年识别、理解与监控自己和他人的情绪和情感，并利用信息指导自己的思想和行为的能力。
7．情绪调节：是指个体对情绪反应、体验、唤醒及表达进行监控、调整和修正，以达到一种动态平衡的过程，从而保证个体良好的适应性。
8．情感素质：是指个体在遗传和环境共同作用下，在生活实践中形成的相对稳定的、积极的情感特征和品质。
二、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，选出一项最符合题目要求的选项）1．随着青春期的到来，青少年的消极情绪体验（B ）。
A．减少 B．增多C．不变 D．与积极情绪体验达到均衡2．青少年的情绪表现方式由外在冲动性向（C）转变。
A．内在稳定性B．外在文饰性 C．内在掩饰性 D．外在调节性3．（A）是青少年中比较常见的一种消极情绪体验，是他们过分担心考试失败并渴望获得更好的分数而产生的一种紧张的心理状态。
第六讲 管理决策分析(冲突分析)(doc 4页)
第六讲 管理决策分析（冲突分析） 一、管理决策概述 1.基本概念决策是决策者对系统方案所做决定的过程和结果。
决策是决策者的行为和职责。
决策者的决策活动需要系统分析人员的决策支持。
决策分析就是为帮助决策者在多变的环境条件下进行正确决策而提供的一套推理方法、逻辑步骤和具体技术，以及利用这些方法技术规范地选择满意的行为方案的过程。
按照H.A.西蒙（H.A.Simon ）的观点，“管理就是决策”。
从本课程已有内容来看，决策是系统工程工作的目的，系统分析从某种意义上就是决策分析。
2.决策问题的基本模式和常见类型 n j m i A f W j i ij ,1,,1)(===θ，其中，A i ——决策者的第i 种策略或第i 种方案。
属于决策变量，是决策者可控因素。
j θ——决策者和决策对象（决策问题）所处的第j 种环境条件或第j 种自然状态。
属于状态变量，是决策者不可控制的因素。
W ij ——决策者在第j 种状态下选择第i 种方案的结果，一般叫益损值、效用值。
根据决策问题的基本模式，可划分决策问题的类型。
其中依照j θ的不同所得到四种类型是最基本和最常见的划分。
决策问题的要素 决策问题的类型3.管理决策分析方法二、对策论与冲突分析方法罪犯困境（Prisoners Dilemma ）问题j θ完全把握———确定型决策 不完全把握——风险型决策 完全不把握——对自然不确定——不确定决策 对人的不确定——对抗型决策（对策）Niall M. Fraser & Keith W. Hipel.Conflict Analysis: Models and Resolution, 1984冲突分析的要素（1）时间点：是说明“冲突”开始发生时刻的标志，对于建模而言，则是能够得到有用信息的终点。
因为冲突总是一个动态的过程，各种要素都在变化，这样很容易使人认识不清，所以需要确定一个瞬间时刻，使问题明朗化，但时间不直接进入分析模型。
青少年心理发展与教育_第六讲_练习题答案
第六讲练习题一、概念解释情绪情感：情绪和情感是个体对客观事物的态度体验，是对客观事物与主体需要之间关系的反映。
情绪和情感在人类精神生活和社会活动中发挥着非常重要的作用。
情绪表达的掩饰性：青少年期情绪表现的另一个特点是情绪表达的“掩饰性”，即情绪的表现与内心真实体验会是分离，就像戴着一副假面具一样，有时候让家长与老师捉摸不透其内心的真实情绪情感。
亲密感：亲密感是指两个人之间情感上的依恋，它的特征是彼此关心对方的身体康健和幸福；愿意同对方谈论私人的、有时甚至是敏感的话题；拥有共同的兴趣，并会参与共同的活动。
在青春期，两个人之间可以拥有亲密关系，但这种亲密感不包含与性或身体亲密有关的含义。
友谊：友谊是人们在交往活动中产生的一种特殊情感，它与交往活动中所产生的一般好感是有本质区别的。
友谊是一种来自双向（或交互）关系的情感，即双方共同凝结的情感，任何单方面的良好，不能称为友谊。
友谊以亲密为核心成分，亲密性也就称为衡量友谊程度的一个重要指标孤独感：孤独感是一种封闭心理的反映，是感到自身和外界隔绝或受到外界排斥所产生出来的孤伶苦闷的情感。
一般而言，短暂的或偶然的孤独不会造成心理行为紊乱，但长期或严重的孤独可引发某些情绪障碍，降低人的心理健康水平。
孤独感还会增加与他人和社会的隔膜与疏离，而隔膜与疏离又会强化人的孤独感，久之势必导致疏离的个人体格失常。
情绪能力：情绪能力（emotionalcompetence）也叫情绪智力（emotional intelligence），是指青少年识别、理解与监控自己及他人的情绪和情感，并利用情绪信息指导自己的思想和行为的能力。
情绪能力是社会能力的组成部分，是青少年社会适应的重要心理品质。
情绪调节：情绪调节是个体对于情绪反应、体验、唤醒及表达进行监控、调整和修正，以达到一种动态平衡的过程，从而保证了个体良好的适应性。
在教育中要帮助青少年掌握一定的情绪调节方法。
8．情感素质：情感素质是指个体在遗传和环境共同作用下，在生活实践中形成的相对稳定的、积极的情感特征与品质。
第六讲--元素周期表与周期律知识要点
第六讲元素周期表与周期律知识要点一、2013年四川高考考试说明1.了解化学的主要特点是在原子、分子水平上认识物质，了解化学可以识别、改变和创造分子。
2.了解分子、原子、离子等概念的涵义。
了解原子团的定义。
3．物质结构与性质（1）原子结构与元素性质①了解元素、核素和同位素的涵义。
②了解原子的构成。
了解原子序数、核电荷数、质子数、核外电子数的彼此关系以及质子数、中子数、质量数之间的相互关系。
③了解原子核外电子的运动状态，了解电子云、电子层（能层）、能级、原子轨道、电子自旋的涵义。
④了解多电子原子核外电子分层排布遵循的原理，能用电子排布式表示1~36号元素的原子及简单离子的核外电子排布。
⑤了解原子核外电子在一定条件下会发生跃迁，了解其简单应用。
⑥认识元素周期律的实质。
了解元素周期表（长式）的结构（周期、族、区）及其应用。
⑦以第3周期为例，掌握同一周期内元素性质的递变规律与原子结构的关系。
⑧以IA和VIIA族为例，掌握同一主族内元素性质递变规律与原子结构的关系。
⑨了解金属、非金属在元素周期表中的位置及其性质递变的规律，了解元素的原子结构、元素在周期表中的位置和元素性质三者之间的相互关系。
⑩了解元素电离能的涵义，并能用以说明元素的某些性质。
了解电负性的概念，知道元素的性质与电负性的关系。
了解主族元素第一电离能、电负性等性质的周期性变化规律。
（2）化学键与物质的性质①了解化学键的涵义，了解离子键、共价键的概念，能说明离子键、共价键的形成。
②了解共价键的主要类型σ键和π键，能用键能、键长、键角等数据说明简单分子的某些性质（对σ键和π键之间相对强弱的比较不作要求）。
③了解键的极性和分子的极性。
④了解“等电子原理”的涵义。
⑤了解杂化轨道理论及常见的杂化轨道类型（sp、sp2、sp3）。
⑥能用价层电子对互斥理论和杂化轨道理论推测常见的简单分子或者离子的空间结构。
（对d轨道参与杂化和AB4型以上复杂分子或离子的空间构型不作要求）。
6-劳斯判据
注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断 的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。
3-2 劳思稳定性判据
[判据] （1） 系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大 于 0 （同号）；只要有1项等于或小于 0 ，则为不稳定系 统。
（2）系统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0 （同号） 。
s0 7
5 分母总是上一行第一个元素
8 再令正无穷小量ε趋近于6 一行可同乘或同除某正数
0，得到真正的劳斯表如下。7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 同号！ 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
系统在虚轴上有重根， 响应中含有tsin(t)成分， 是发散的。
3-3 劳思判据的应用举例
例3.8 试分析如下系统的稳定性，其中K>0
s 1
s 1
R(s)
_
k
ss 1
Y(s)
系统的特征方程为：
1
Gs
1
Ks 1 ss 1s 1
0
系统稳定否？ 不稳定！
例3.9 焊接控制（p256例6.5)
Ks a
劳斯表情况一 例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：
s3+s2+s+K=0; K不等于１或０
劳 s3 1 1
s2 1 K
斯 s1 1-K 0 表 s0 K
参数取值影响稳定性！
于是： Ｋ小于０，系统不稳定；
Ｋ大于１，系统不稳定；
Ｋ大于０且小于１时，系 统稳定。
例3.4 设系统特征方程为： 劳斯表情况二 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
自动控制理论第六讲 方框图
06
总结与展望
本讲内容总结
方框图基本概念
方框图的绘制方法
介绍了方框图的基本元素，包括方块、箭 头、分支点和交汇点等，以及它们在控制 系统中的含义。
详细讲解了如何根据控制系统的结构和功 能，选择合适的方块和连接方式，绘制出 清晰、准确的方框图。
方框图的分析方法
方框图在控制系统中的应用
介绍了方框图的分析步骤和方法，包括前 向通路、反馈通路、开环传递函数和闭环 传递函数的计算等。
梅森公式介绍
01
梅森公式是一种用于求解复杂控制系统方框图传递函
数的数学方法。
梅森公式应用步骤
02 首先找出所有前向通道、回路和不相交回路的传递函
数；然后按照梅森公式计算系统的总传递函数。
梅森公式在化简复杂方框图中的优势
03
能够简化计算过程，避免繁琐的代数运算，提高求解
效率。
实例分析：典型系统方框图化简过程
05
方框图在控制系统分析中的应用
稳定性分析：通过方框图判断系统稳定性
01
稳定性定义
系统受到扰动后，能够自动恢复到平衡状态的能力。
02 03
稳定性判据
通过方框图中各环节传递函数的极点位置，判断系统是否稳定。若极点 全部位于复平面的左半部分，则系统稳定；若有极点位于复平面的右半 部分，则系统不稳定。
结合实际工程问题进行实践
通过实际工程问题，将所学的方框图知识应用到实践中去，提高分析 和解决问题的能力。
拓展相关领域的知识
学习与自动控制理论相关的其他领域知识，如现代控制理论、智能控 制等，以完善自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
方框图的作用
方框图是一种用图形符号表示系统各 环节间相互关系的图解表示法，它简 洁明了地表示了系统的结构和功能。
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第六讲：第四章：稳定性分析系统稳定性是衡量系统能否正常工作的首要条件。
经典理论中介绍了关于“稳定性概念”及判据。
从讨论的观点和应用范围上与现代控制理论中有关稳定性的概念及判据有本质不同。
* 经典理论中，介绍的有关稳定性针对系统的输入——输出。
对在有限输入作用下，以系统的输出是否有限确定系统的稳定性。
（输出稳定性）判据有：1、劳斯判据；2、根轨迹法；3、奈氏判据。
应用范围：除奈式判据可用于某些非线性系统外，均用于线性定常系统。
稳定性的充要条件：闭环极点均具负实部。
* 现代控制理论中：稳定性是指状态稳定性，称为李亚谱诺夫稳定性。
应用范围：不仅可用于线性系统，而且可用于非线性系统，为一般性方法。
李亚谱诺夫稳定性理论是一个古老的数学问题。
现代控制理论中介绍李氏稳定性理论的原因是人们力图找到一个好的方法用以完满解决系统稳定性问题。
理论上讲李氏理论也却为一个好的方法。
作为老理论新应用，介绍李氏稳定性理论。
李氏稳定性问题分析分为二类。
其一为间接法：要求解微分方程，进而分析系统的稳定与否。
称为第一法；其二为直接法：不求微分方程，直接判定系统稳定性，称为第二法。
一、李亚谱诺夫稳定性概念设系统用状态方程()u x f x,=&表示，且参数输入设为u=0,即()x f x=&()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n n n n x x f x x f x x ΛM Λ&M &1111 i f 连续且具连续一阶导数。
1、 平衡状态设x x e ∈（x 表示由状态形成的n 维空间），若满足()0=e x f 则称e x 为系统平衡状态。
（也称平衡点，平衡位置）2、 稳定性设e x x =为一平衡状态，若对任意一个0>ε可找到一个()0>εδ（与ε有关的数δ）使满足()δ<-e x t x 0的所有()()0,t t t x >有：()ε<-e x t x 0称在e x 系统稳定。
∆称为范数，是“广义距离”。
()()()距离21221222122211121,x x x x x x x x x x n n →-++-+-=-Λ，稳定性定义可解释为：对给定的一个域()εs 不论多么小，总存在另一个域()δs 在初始偏差不超出()δs 条件下，0t t >后()t x 的运动轨迹均落在()εs 范围内，称平衡点e x 稳定。
可见：稳定性式针对平衡点而言。
3、 渐进稳定性设e x x =为一平衡状态，若系统e x x =处稳定，且()e t x t x =→ϖlim 称系统在e x x =处渐进稳定。
4、 大范围稳定设e x x =是平衡状态，若系统对任意的初始状态()x t x ∈0其对应轨线()t x 在e x x =处稳定，则称大范围稳定。
二、李亚谱诺夫稳定性方法（第二法）设系统状态方程()()⎩⎨⎧==0e x f x f x&（平衡点为e x ）思路：在第二法中要求找到一个具有特殊性质的函数，而这个函数可对时间求导，如果该导数沿系统的轨迹是恒负值，则李氏第二法说明系统为渐进稳定。
为了讨论的方便，设0=e x （平衡点为原点）。
否则，可进行出标变换将非零状态化为零状态。
()⎩⎨⎧==为平衡点0ex x f x & 讨论系统的稳定性。
1、李亚谱诺夫函数1）标量函数的正定性正定性：设标量函数()x v ，它对域s 中所有非零状态0≠x 总有()0>x v 且当x=0时，()0=x v 称()x v 在s 域正定。
负定性：V(x)在s 域中所有非零状态有()0<x v 且()0=x v 称()x v 是负定性。
()x v -为正定的。
半正定、半负定：在域s 中，对x=0及某些s x ∈，()0=x v 对s 中其它状态均有()0>x v 时，称为半正定。
()x v -为负正定。
不定性：V(x)时正时负为不定性。
2）李亚谱诺夫函数满足下列条件的函数称为李式函数。
⑴V(x)为正定，亦V(0)=0且存在0≠x 的一个临域k x <使k x <<0时()0>x v ⑵V(x)在临域k x <内对i x 的偏导存在且渐进⑶()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=n n TT T f f x v x v x f x v x x v t x x v x v M Λ&&11半负定，亦()0=x v &且在k x <内()0≤x v& 2、李氏稳定判据结论：1）对系统()()⎩⎨⎧==00x x f x&若存在李亚谱诺夫函数V(x)，测系统在平衡点0=e x 处稳定。
2）若存在李氏函数，且()x v&负定的，则系统在平衡点0=e x 处渐进稳定。
结论说明：系统存在李氏函数是确定系统稳定与否的充分条件，但并非必要条件。
即，如果找到李氏函数系统就稳定。
但找不到并不能说明系统不稳定。
问题关键是李氏函数的构造。
一般讲，李氏函数的获得并没有一明确的、成熟的方法，往往存在一定偶然因素。
尽管如此，还是存在一些常用的求李氏函数的方法。
例1、⎩⎨⎧-==1221x x x x &&，0=x 处为平衡点，取()2221x x x v +=正定形容亦验证。
()()0022)(2121122≤=-+=-∂∂+∂∂=x x x x x x vx x v x v&为半负定。
可由结论1得系统是在X=0处稳定。
例2、()()⎩⎨⎧-++--==12222121221x x x x x x x x &&（0=e x ，平衡点），取()()22212212221214225x x x x x x x x x v ++-=+-=正定()()()()()()()()124210)12(2221211222122212122≤=-++---+-=-++--∂∂+∂∂=Λ&x x x x x x x x x x x x x x x x v x x v x v系统在平衡位置渐进稳定。
3、线性系统李氏函数的构造：二次型函数： ()px x x v T=设P 为对称阵j i p p ji ij ≠=,二次型函数的正定型：0≠x 时()0>x v 称矩阵P 为正定的。
检验P 为正定的标准： ⑴赛而维斯特准则：若P 的所有主子式均大于0，则P 为正定阵，即称V(x)为正定； ⑵P 的特征值均为正值，对称阵P 为正定的。
设线性定常系统：Ax x=&若A 为非奇异阵，则唯一平衡点x=0取V(x)px x T=（二次型函数）为李是函数，且P 为实对称阵。
()()()xpA p A x pAx x px A x pAx x px Ax x p x px x x vT T T T T T T T T +=+=+=+=&&由李氏判据：要是在X=0处渐进稳定，则要求)(x v &负定，Qx x x v7)(-=&负定，亦)(PA P A Q T+-=为正定阵。
Q （对称）存在一个正定阵P （对象）使PAP A Q T +=-满足标量函数px x x V T =)(为李氏函数。
通常取Q=I （单位阵），称I PA P A T -=+为李亚谱诺夫方程，求解P 且判断正定性问题，称为解李亚谱诺夫问题。
三、 用稳定性理论确定校正方案一般线性定常系统：bu Ax x+=&（单输入） 取(),px x x v T=P 为正定阵()()()upb x px b x pA p A x bu Ax p x px bu Ax x p x px x x vTTTTT T T +++=+++=+=)()(&&且()pb x pxb T TT =且其为标量。
()pbu x x pA p A x x vT T T 2)(++=& 如果构造：Q pA p A T -=+负定（Q 正定）且取u ，使pbu zx T为非正标量，则可保证)(x V &负定性（稳定）。
取()px kb pbx k u T TT =-=（K 为正常数，使u 用状态x 表示）其实质：利用px kb u T-=状态反馈构成控制u 作为校正方案，可使系统满足稳定性要求。
Ex: U y状态方程：⎩⎨⎧+-==ux x x x 1221&& 取()2221x x Ix x x v T +==则()u x u x x x x xI x Ix x x v T T112212)(22=+-+=+=&&& 为使)(x V&负定，取2kx u -=(0>k )即可。
当2kx u -=时，可使⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=cx y x k bu Ax x 110&稳定。
设u=ky 则系统化为⎩⎨⎧=+=cxy buy Ax x&，()[]()111011000det 2+-+=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-k kk bkc A I λλλλλλ，pk ±=λ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=+=0110kx bkc A bkcx Ax x&， 输出反馈不能使系统稳定。
归纳线性系统：稳定性与渐进稳定性一致；局部渐进稳定性和大范围渐进稳定性一致；局部稳定性、大范围稳定性一致。
而非线性系统不同。
四、 非线性系统李氏函数的求法对系统稳定性而言，局部渐进稳定与大范围渐进稳定概念相同，但非线性系统的稳定性则不然。
在大范围内不是渐进稳定则在局部完全可能渐进稳定。
可见非线性系统的稳定性具有局部性质。
因此在寻找李是函数时，需要确定平衡点附近邻域的最大稳定范围。
具体介绍n 个研究非线性系统李亚谱诺夫稳定性方法。
常见的方法：1、雅可比法；2、矩阵法；3、线性近似法；4、变量梯度法。
具体介绍1、3法。
1）雅可比法（克拉索夫斯基法）设非线性系统可描述为)(x f x =&，亦--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()(1111n n n n x x f x x f x x ΛM Λ&M &，且设F(0)=0。
设系统的雅可比阵T 为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=n n nnn x f x f x f x f xF x f ΛM MΛ111)( 且作如下形式二次型)()()(x PF x F x v T=其正定性指P 的正定性（设P 对称阵），且)()(x F x J xx Ft v v F t F ⋅=⋅∂∂=∂∂⋅∂∂=∂∂& )()()()]()([)()()()()()()()]()([)()()]()([)()()()()(x QF x F x F x PJ P x J x F x F x PJ x F x PF x J x F x F x J P x F x PF x F x J x F P x F x PF x F tx v T T T T T T T T T T =+=+=+=+=∂∂&&Q=)()(x PJ P x J T+可见：⑴Q 半负定，则系统稳定； ⑵Q 负定，则系统渐进稳定；⑶（x ） ∞时，V(x) ∞则系统大范围渐进稳定。