配方法—直接开平方法
因式分解法直接开平方法配方法
因式分解法直接开平方法配方法一、因式分解法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用因式分解法的步骤如下：1.计算二次项系数a、一次项系数b和常数项c的乘积k，k=a*c。
2.找出两个数的乘积等于k且和等于b的数m和n，即m*n=k，m+n=b。
3.将原二次方程进行因式分解，得到(x+m)(x+n)=0。
4.令(x+m)=0，求解得到x=-m。
令(x+n)=0，求解得到x=-n。
举例说明：考虑二次方程2x^2+7x+3=0。
计算k=a*c=2*3=6找出两个数的乘积等于6且和等于7，即3和2因此，可以将原二次方程进行因式分解，得到(2x+3)(x+1)=0。
令(2x+3)=0，求解得到x=-3/2令(x+1)=0，求解得到x=-1二、直接开平方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用直接开平方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。
2. 对方程两边同时加上b^2/4a^2，并化简得到(ax + b/2a)^2 =b^2 - 4ac/4a^23. 对等式两边开平方，得到ax + b/2a = √(b^2 - 4ac)/2a。
4.解方程得到x的值。
举例说明：考虑二次方程4x^2-10x+1=0。
对方程两边同时加上(10/4)^2/4*4，并化简得到(4x-5/4)^2=(25/16-1)/16对等式两边开平方，得到4x-5/4=√(16-16)/16，即4x-5/4=0。
解方程得到x=5/16三、配方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用配方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。
2. 对方程两边同时加上b^2/4a，并化简得到ax^2 + bx + b^2/4a = b^2/4a - c。
3. 对方程左边进行配方，得到(ax + b/2a)^2 = b^2/4a - c +b^2/4a。
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
九年级数学上册 配方法(1)―直接开平方法练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校 配方法(1)――直接方法◆根底过关1、方程32x +9=0的根为〔 〕A 、3B 、-3C 、±3D 、无实数根2、以下方程中，一定有实数解的是〔 〕A 、210x +=B 、2(21)0x +=C 、2(21)30x ++=D 、21()2x a a -= ３、方程ax 2+c =0(a ≠0)有实数根，那么a 与c 的关系是( )A.c =0B.c =0或a 、c 异号C.c =0或a 、c 同号D.c 是a 的整数倍 ４、、假设224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是〔 〕A 、p=4，q=2B 、p=4，q=-2C 、p=-4，q=2D 、p=-4，q=-2５、填空〔1〕x 2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x 2+12x+_____=〔3x+_____〕2６、假设28160x -=，那么x 的值是_________．７、假设x 2－2x =0，那么x 1=_________,x 2=________. ８、假设(x －2)2=0，那么x 1=________,x 2=_________.９、如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______． ●拓展提高1、一元二次方程032=+c x，假设方程有解，那么c ________． 2、方程b a x =-2)(〔b ＞0〕的根是〔 〕 A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±３、方程(x －2)2=(2x +3)2的根是( )A.x 1=－31,x 2=－5B.x 1=－5,x 2=－5C.x 1=31,x 2=5D.x 1=5,x 2=－54、假设22(3)49x m x +-+是完全平方式，那么m 的值等于________．5、解以下方程：〔1〕(1+x)2-４=0； (2) 9(x-1)2-4=0． (３) 22(3)72x -=．(４)()()22312=-x (５)()()2455=-+x x (６)2962=+-x x ６、：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．７、如果x 2-4x+y 2+13=0，求()z xy 的值．●中考链接1、〔2021年，〕一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=，那么另一个一次方程是_____________.2、〔2021年，〕用配方法解方程2250xx --=时，原方程应变形为〔 〕 A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=３、(２０１２年，)为落实“两免一补〞，某２０１１年投入教育经费２５００万元，预计２０１３年要投入教育经费３６００万元，２０１１年至２０１３年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，求２０１２年该要投入的教育经费为多少万元？。
02-24.2 解一元二次方程-课时1 直接开平方法和配方法九年级上册数学冀教版
【解题通法】用配方法解一元二次方程的步骤（1）二次项系数化为1： 方程的两边同时除以二次项的系数.（2）移项： 使方程左边含有二次项和一次项，右边为常数项.（3）配方： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方.（4）变形： 原方程变为 的形式.（5）当时，用直接开平方法解变形后的方程；当 时，原方程无实数根．
4.已知直角三角形的三边长分别为，，，且两直角边长， 满足等式，斜边长 的值为____.
【解析】 可变形为，即 ,两边开平方，得，所以 （负值已舍去），所以 .
5.用配方法解下列方程：
（1） ;
解：整理方程，得 .二次项系数化为1，得 .配方，得，即 .两边开平方，得 .所以， ．
（2） .
3.用直接开平方法解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 .二次项系数化为1，得 .两边开平方，得 .所以， .
（2） ；
解：两边同时乘2，得 .两边开平方，得 .所以， .
（3） ；
解：移项，得 .两边同时除以2，得 .两边开平方，得 .所以， .
（4） .
解：两边开平方，得或 .解得， .
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
A.第二步 B.第三步 C.第四步 D.第一步
（2）写出上述步骤中发生第一次错误的原因，并尝试写出解方程 的正确步骤．
解：发生第一次错误的原因是方程的两边应该同时加上“一次项系数一半的平方”．其正确的解题步骤如下： ，二次项系数化为1，得 .移项，得 .配方，得 ，即 .
两边开平方，得 .所以， ．
【解析】 整理方程,得.两边开平方，得， .
2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
C
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
直接开平方法
①
把方程①写成x =9， 这表明x是9的平方根， 因此 或 x 9 x 9 ， 即 x=3 或 x=-3．
这种解一元二次方程的方法，叫作直接开平方法．
例1 解4x2 -25=0.
解:
原方程可以写成 x2 25 . 4 直接开平方，得 x 25 或 x 25 , 4 4 即
x1 5 , x2 5 . 2 2
x2 36
-36=0.
2
解: 原方程可以写成
x 3
直接开平方，得
2
36
x 3 36 或 x 3 36 x1 6 3 x2 6 3
即
x1 3
或 x2 9
（4） 解9(1-2x) -16=0. . 解: 原方程可以写成
例2
解:
(x+1)2 -2=0.
原方程可以写成 = 直接开平方，得 x+1 或 解得 x+1 = =
2 -2
(x+1)2
2 ， .
.
x1= -1+ 2 ，x2= -1- 2 .
练习一
解下列方程： （1）9x2-49=0； （3）(x+3)2-36=0； （2）36-x2=0； （4）9(1-2x)2-16=0.
（1） 解9x2 -49=0.
解: 原方程可以写成
49 x 9
2
直接开平方，得
49 49 x1 或 x2 9 9 7 即 或x 7 x1 2 3 3
（2） 解 36-x2 =0.
解: 原方程可以写成
- x 2 -36
x 2 36
直接开平方，得
x1 36
即
或 或
因式分解法直接开平方法配方法
因式分解法直接开平方法配方法
直接开平方法：
直接开平方法适合于多项式可以进行开平方的情况，即多项式可以写成一些因式的平方的形式。
下面以一个示例来说明直接开平方法的步骤：例：将多项式x^2-6x+9分解。
Step 1: 将多项式进行拆分，得到(x - 3)(x - 3)。
Step 2: 观察可知，(x - 3)是一个因式的平方，即(x - 3)^2
Step 3: 可得到分解后的形式为(x - 3)^2
配方法：
配方法适合于多项式的首项系数不为1或者多项式无法直接开平方的情况。
下面以一个示例来说明配方法的步骤：
例：将多项式x^2-7x+10分解。
Step 1: 观察到首项系数不为1，所以需要用配方法来分解。
Step 2: 将多项式的首项系数和末项相乘，得到10。
Step 3: 找出两个数，它们的乘积为10，且和为-7，即-2和-5
Step 4: 用-2x和-5x来代替-7x，即x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10。
Step 5: 将多项式进行分组，得到(x^2 - 2x) + (-5x + 10)。
Step 6: 进行因式提取，得到x(x - 2) - 5(x - 2)。
Step 7: 观察到(x - 2)是(x - 2)这个因式的公因式，所以得到(x - 2)(x - 5)。
通过以上两种方法，可以将多项式进行分解，得到相应的因式形式。
需要注意的是，在使用配方法时，有时候需要对多项式进行因式提取或分组，以得到正确的结果。
解方程配方法
第二节 配方法一、课堂导入我们上节课学习了一元二次方程的定义，求解一元二次方程按照我们以前学习方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化一的方法来解题还可以吗？我们不妨来看看这道练习题。
例如0232=--x x ，用我们以前的求解步骤很难进行解答。
今天我们一起学习一下一元二次方程的解法。
二、必讲知识点 1.直接开平方法：A x =2（0≥A ）则A x ±=。
2.2)(0)x a b b +=≥（ x a b ⇒+=± x a b ⇒=-±若b<0,则方程2)x a b +=（无实根。
3.用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确应用平方根的性质，即正数的平方根有两个，他们互为相反数，零的平方根是零，负数无平方跟。
4.配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±通过配方法将方程变成2)x a b +=（的形式，再利用直接开平方法求解。
5.配方法解一元二次方程的步骤：（1）把原方程转化为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式。
（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，化为20b cx x a a++=的形式，并将常数项移到等号右边。
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程转化为2()x m n +=的形式。
（4）当0n ≥时，用直接开平方法解变形后的方程。
三、必讲例题例1： 22720x -= 2x =0.252x 2=18 0.81-x 2=0例2： (x-2)2=9 0.5－(x+1)2=0例3：(1) 212x x ++____ = 2(6)x +(2) 24x x -+____ = (x -___)2(3) 28x x ++____ = (x +____)2（4）2x －54x ＋_____＝（x －____）例4：解下列关于x 的方程x 2+2x-35=0 2x 2-4x-1=0x 2+6x+5=0 2x 2+6x-3=0例5：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6例6：试判断方程22(817)3320m m x mx -+++=是否为关于x 的一元二次方程。
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讲授新课
一 直接开平方法的概念
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆 恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能 算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的 面积，列出方程 10×6x2=1500，①
1
;x2= 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 x1＝2,x2＝－1.
3. 解下列方程：
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一 元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就 把方程②转化为我们会解的方程了.
典例精析
由此可得 x2=25 根据平方根的意义，得 x=±5， 即x1=5，x2=－5. 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能 是负值，所以正方体的棱长为5dm．
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4 (2) x2=0
解:根据平方根的意义，得 x1=2,x2=-2.
5
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5,
③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 y 1 3
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
能力拓展： 方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果
不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？
解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0.
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得 x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
如果我们把x2=4， x2=0， x2+1=0变形为x2 = )
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9,x2＝－9；
(3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1,x2＝－3.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5,x2＝－5；
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次
方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位
置并帮他改正. 解：
1 3
y
12
x 的实数根
1
p ，x2
p；
（2）当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)
无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的 方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程:
解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 即x1=3，x2=-1.
典例精析
例2 解下列方程：
(3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，
再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直接开平方法 步 骤
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)
或（x+n)2=p（p ≥0).
基本思路
一元二次 降次 两个一元
方 程 直接开平方法 一次方程
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
x1=
5 4
，
x2=
7 4
.
探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的
形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a . 3.如果 x2=64 ,则x= ±8 .
(1) x2=25；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=25， （2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±5， 直接开平方，得 x=±30，
∴ x1=5，x2=－5.
∴x1=30, x2=－30.
练一练 完成课本P6练习（1）、（2）、（6）
二 用直接开平方法解方程
探究交流
对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 x 3 5,
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1= 2. 即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2.
典例精析
例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一 样地解.
式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请 举例说明.
当堂练习
1、下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A) x2=-2,解方程，得x=± 2
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=74