2017-2018学年人教版高中数学必修一全册教案【湖南用】
人教版高中数学必修第一册第一章优质课件
【名师点拨】 (1)正确区分子集与真子集概 念是解题的关键．(2)写一个集合的子集时， 按子集中元素个数的多少，以一定顺序来写 不易发生重复和遗漏现象．
集合常用大写字母表示，如集合A，集合B... 元素则常用小写字母表示，如a，b...
3．集合元素的性质 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，
记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
子 集
是集合B中的元 素，我们就说 这两个集合有 包含关系，称
A⊆B ______
或 __B_⊇_A__
(2)设A为任何 一个集合，则 A_⊆__A；规定：
∅_集__
4.集合相等与真子集
名 称
定义
符号
集
如果
合 相
__A__⊆_B_且__B_⊆_A____， 那么就说集合A与
知新益能
1．Venn图的概念 用平面上__封__闭__曲__线___的内部代表集合，这种图 称为Venn图． 2．空集的定义 不含任何元素的集合叫做__空__集____，记作__∅___. 3．子集
名 称
定义
符号
Venn图 表示
性质
如果集合A中任
(1)A⊆B，
意一个元素都
B⊆C⇒_A_⊆__C__；
练习
1.用符号“ ”或“ ”填空
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课
π π π 解析：由 x＋4≠kπ＋2，k∈Z，得 x≠kπ＋4，k∈Z. 答案：D
4． 已知函数 π A.4
π f(x)＝tan2x＋3， 则函数
f(x)的最小正周期为(
)
π B.2
C．π
D．2π
π π π 解析：法一函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期 T＝|ω|，可得 T＝|2|＝2. π 法二 由诱导公式可得 tan2x＋3 π π π ＝tan2x＋3＋π＝tan2x＋2＋3， π π 所以 f x＋2 ＝f(x)，所以周期为 T＝2. 答案：B
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tanx 是增函数 B．y＝tanx 在第一象限是增函数 C．y＝tanx 在某一区间上是减函数 π π D．y＝tanx 在区间kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知 D 正确． 答案：D
π 3．函数 y＝tanx＋4的定义域是( ) π π A. xx≠－4 B. xx≠4 π π C. x x≠kπ－4，k∈Z D. x x≠kπ＋4，k∈Z
y＝tanx
π x|x≠kπ＋ ，x∈R，(k∈Z) 2
R π 奇函数 π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 2 2 无
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × ) (3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期 π.( √ )
跟踪训练 2 调区间．
本例(1)函数变为
20172018学年高中数学全一册学案湘教版选修22
2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-24．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度[学习目标]1．理解并掌握平均速度的概念．2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程． [知识链接]1．一物体的位移s 与时间t 满足函数关系s ＝t 2，则在时间段[1,2]内的平均速度v ＝________.答案 v ＝22－122－1＝3.2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋d )中，相应的平均速度等于________． 答案 v ＝3＋d 2＋3－32－33＋d －3＝6＋d .[预习导引]1．伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s 和时间t 有近似的函数关系，其关系是s ＝4.9t 2. 2．瞬时速度(1)在t 0时刻的瞬时速度即指在时刻t 0＋d ，当d 趋于0时，时间段[t 0，t 0＋d ]内的平均速度． (2)若物体的运动方程为s ＝f (t )，则物体在任意时刻t 的瞬时速度v (t )就是平均速度v (t ，d )＝f t ＋d －f t d在d 趋于0时的极限.要点一 求平均速度例1 已知一物体做自由落体运动，运动的方程为s ＝12gt 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求：(1)物体在t 0到t 0＋d 这段时间内的平均速度v .(2)物体在t ＝10 s 到t ＝10.1 s 这段时间内的平均速度．解 (1)s (t 0＋d )－s (t 0)＝12g (t 0＋d )2－12gt 20＝gt 0d ＋12gd 2，在t 0到 t 0＋d 这段时间内，物体平均速度为v (t 0，d )＝gt 0d ＋12gd 2d＝gt 0＋12gd .(2)由(1)知：t 0＝10 s ，d ＝0.1 s ， 平均速度为10g ＋12g ×0.1＝10.05g (m/s)．规律方法 物体的运动方程是s (t )，则从t ＝t 1到t ＝t 2的平均速度是v (t ，d )＝s t 2－s t 1t 2－t 1.跟踪演练1 已知物体运动方程为s (t )＝2t 2＋2t (位移单位：m ，时间单位：s)，求： (1)物体在运动前3 s 内的平均速度； (2)物体在2 s 到3 s 内的平均速度． 解 (1)物体在前3 s 内的位移为：s (3)－s (0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前 3 s 内的平均速度为s 3－s 03＝243＝8(m/s)．(2)物体在2 s 到3 s 内的位移为s (3)－s (2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)．故物体在2 s 到3 s 这段时间内的平均速度为s 3－s 23－2＝12(m/s)．要点二 求瞬时速度例2 已知一物体做自由落体运动，s ＝12gt 2(位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)．(1)计算t 从3 s 到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各段时间内平均速度； (2)求t ＝3 s 时的瞬时速度．解 (1)当t 在区间[3,3.1]时，d ＝3.1－3＝0.1(s)，s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝2.989(m)， v 1＝s 3.1－s 3d ＝2.9890.1＝29.89(m/s)．同理，当t 在区间[3,3.01]时，v 2＝29.449(m/s)，当t 在区间[3,3.001]时，v 3＝29.404 9(m/s)． (2)物体在[3,3＋d ]上的平均速度是：s 3＋d －s 3d＝12g 3＋d2－12g ×32d ＝12g (6＋d )当d →0时，上式表达式值为3g ，即物体在3 s 时的瞬时速度为3g ＝29.4(m/s)． 规律方法 平均速度即位移增量与时间增量之比s t ＋d －s td，而瞬时速度为平均速度在d →0时的极限值，二者有本质区别．跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解 运动方程为s ＝12at 2.v (t ，d )＝12a t ＋d2－12at 2d＝12ad 2＋atd d ＝12ad ＋at .当d 趋于0时，12ad ＋at 的极限为at .a ＝5.0×105 m/s 2，t ＝1.6×10－3 s ，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3m/s ， 即800 m/s.1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋d ]内相应的平均速度为( )A ．2d ＋4B ．－2d ＋4C ．2d －4D ．－2d －4答案 D解析 v (1，d )＝4－21＋d2－4＋2×12d＝－4d ＋2d 2d＝－2d －4.2．已知物体位移s 与时间t 的函数关系为s ＝f (t )．下列叙述正确的是( ) A ．在时间段[t 0，t 0＋d ]内的平均速度即是在t 0时刻的瞬时速度B ．在t 1＝1.1，t 2＝1.01，t 3＝1.001，t 4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t ＝1时刻的速C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．已知s＝12gt2，从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2，d)＝s2＋d－s2d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f t＋d－f td，其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.一、基础达标1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d( )A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠02．一物体运动的方程是s ＝2t 2，则从2 s 到(2＋d ) s 这段时间内位移的增量为( )A ．8B ．8＋2dC ．8d ＋2d 2D ．4d ＋2d 2答案 C解析 Δs ＝2(2＋d )2－2×22＝8d ＋2d 2.3．一物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．4.11 B ．4.01 C ．4.0 D ．4.1 答案 D解析 v ＝3＋2.12－3－220.1＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的方程为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 C解析 Δs Δt ＝182＋Δt 2－18×22Δt ＝12＋18Δt →12(Δt →0)．5．质点运动规律s ＝2t 2＋1，则从t ＝1到t ＝1＋d 时间段内运动距离对时间的变化率为________． 答案 4＋2d 解析 v ＝21＋d2＋1－2×12－11＋d －1＝4＋2d .6．已知某个物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝－t 2＋1. (1)t ＝2到t ＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s 内完成刹车，其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s (t )＝－3t 3＋t 2＋20，求：(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s 1－s 01－0＝－3×13＋12＋20－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为：v 2＝s 2－s 12－1＝－3×23＋22＋20－－3×13＋12＋201＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为：v 3＝s 1＋d －s 1d＝－31＋d3＋1＋d2＋20－－3×13＋12＋20d＝－7d －8d 2－3d3d＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2，则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( ) A ．8＋2Δt B ．4＋2Δt C ．7＋2Δt D ．－8＋2Δt答案 A 解析 Δs Δt＝22＋Δt2－2－2×22－2Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________，在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________，在t ＝1时刻的瞬时速度为________． 答案 12g g ＋12g Δt g解析1 2 g×12－12g×021－0＝12g.12g1＋Δt2－12g×12Δt＝g＋12gΔt.当Δt→0时，g＋12gΔt→g.10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝12gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.答案9.8解析12g2＋Δt2－12g×22Δt＝2g＋12gΔt.当Δt→0时，2g＋12gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.8.11．求函数s＝2t2＋t在区间[2,2＋d]内的平均速度．解∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(2×22＋2)＝9d＋2d2，∴平均速度为Δsd＝9＋2d.12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)?解(1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲<s乙，故有s甲t<s乙t即在任一时间段(0，t]内，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以Δs乙d>Δs甲d即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg 的物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能． 解s Δt ＋4－s 4Δt＝3Δt ＋42＋Δt ＋4＋4－3×42＋4＋4Δt＝3Δt ＋25，当Δt →0时，3Δt ＋25→25. 即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12mv 2＝12×10×252＝3 125(J)4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线[学习目标]理解并掌握如何求抛物线的切线． [知识链接]1．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋d 时，函数的改变量Δy 为________． 答案 f (x 0＋d )－f (x 0)2．函数y ＝x 2在x ＝1处的切线斜率k ＝________. 答案 Δy Δx ＝1＋Δx2－12Δx ＝2＋Δx →2(Δx →0)．[预习导引]求曲线上点P 处切线斜率的方法设P (u ，f (u ))是函数y ＝f (x )的曲线上的任一点，则求点P 处切线斜率的方法是： (1)在曲线上取不同于P 的点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))，计算直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud.(2)在所求得的PQ 的斜率的表达式k (u ，d )中，让d 趋于0，如果k (u ，d )趋于确定的数值k (u )，则k (u )就是曲线在P 处的切线斜率.要点一 有关曲线的割线斜率的探索例1 点P (3,9)为抛物线y ＝x 2上的一点，A 1(1,1)，A 2(2,4)，A 4(4,16)，A 5(5,25)为抛物线上另外四点．(1)分别求割线PA 1，PA 2，PA 4，PA 5的斜率；(2)若A (x 0，x 20)为曲线y ＝x 2上异于P 的动点，当A 逐渐向P 趋近时，说明割线斜率的变化情况．解 (1)k PA 1＝1－91－3＝4，k PA 2＝4－92－3＝5，k PA 4＝16－94－3＝7，k PA 5＝25－95－3＝162＝8. (2)当A 沿曲线趋近于P 点时，x 0的值趋近于3，不妨设x 0＝3＋d (d ≠0)，当x 0→3时，d →0，则k PA ＝x 20－9x 0－3＝x 0＋3＝(3＋d )＋3＝6＋d ，当d →0时，k PA →6，表明随A 点无限趋近于P ，割线PA 的斜率无限趋近于6.规律方法 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d 趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃．跟踪演练1 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为函数y ＝x 3曲线上两不同点． (1)当x 1＝1，x 2＝2时，求k AB ；(2)求当x 1＝x 0，x 2＝x 0＋d 时，A 、B 两点连线斜率k AB .解 (1)k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝23－132－1＝7.(2)k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝x 0＋d 3－x 3d＝3x 20d ＋3x 0d 2＋d3d＝3x 20＋3x 0d ＋d 2.要点二 有关切线方程的探索例2 已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 3＋2x ，求曲线在点P (1,3)处的切线方程． 解 f (x 0＋d )－f (x 0)＝f (1＋d )－f (1) ＝(1＋d )3＋2(1＋d )－(13＋2×1) ＝3d ＋3d 2＋d 3＋2d ＝5d ＋3d 2＋d 3.则k (1，d )＝5d ＋3d 2＋d 3d＝5＋3d ＋d 2，当d →0时，k (1)＝5，则切线方程为y －3＝5(x －1)即5x －y －2＝0. 规律方法 求曲线上点(x 0，y 0)处切线方程的步骤： (1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．跟踪演练2 求y ＝f (x )＝x 2－1在x ＝1处的切线斜率及切线方程． 解 f (x 0＋d )－f (x 0)＝f (1＋d )－f (1)＝(1＋d )2－1－(12－1)＝d 2＋2d ，d 2＋2dd＝d ＋2→2(d →0)， 即在x ＝1处切线斜率为2. ∵f (1)＝0，∴切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝4x 2上求一点P 使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件： (1)平行于直线y ＝x ＋1； (2)垂直于直线2x －16y ＋1＝0； (3)倾斜角为135°.解 设f (x )＝4x 2且P 点坐标为(u ，f (u ))．在曲线上取另一点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))，计算直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud＝4u ＋d2－4u2d＝8u ＋4d .在所求得的斜率表达式中让d 趋于0，表达式趋于8u ，所以P 点处切线斜率为8u . (1)因为切线与直线y ＝x ＋1平行，所以8u ＝1. ∴u ＝18，f (u )＝116.即P (18，116)．(2)因为切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， 所以8u ·(－2－16)＝－1，∴8u ·18＝－1.∴u ＝－1，f (u )＝4，即P (－1,4)．(3)因为切线倾斜角为135°，所以8u ＝tan 135°＝－1，u ＝－18，f (u )＝116，即P (－18，116)．规律方法 解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识． 跟踪演练3 在抛物线y ＝x 2上求一点P ，使点P 到直线y ＝4x －5的距离最小． 解 设P 点坐标为(u ，f (u ))，在抛物线上另取一点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))． 直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud＝u ＋d 2－u 2d＝2u ＋d ，在所求得的斜率表达式中让d 趋于0，表达式趋于2u,所求过P 点处切线斜率为2u ，当过P 点的切线与直线y ＝4x －5平行时，P 点到直线y ＝4x －5的距离最小， 所以2u ＝4，u ＝2.∵P 点在抛物线y ＝x 2上，∴f (u )＝4， ∴所求P 点坐标为(2,4).1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A 处时( ) A ．运动方向指向圆心O B ．运动方向所在直线与OA 垂直 C ．速度与在圆周其他点处相同 D ．不确定 答案 B2．若已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy )，则Δyd等于( )A ．1B ．2＋dC ．4＋2dD ．4＋d 答案 C 解析 Δy d ＝21＋d2－1－2×12－1d＝4＋2d .3．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析 由平均变化率的几何意义知，k ＝2－11－0＝1.4．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d ，－2＋Δy )，则Δy d＝________.解析 Δy ＝f (－1＋d )－f (－1) ＝－(－1＋d )2＋(－1＋d )－(－2) ＝－d 2＋3d .∴Δy d ＝－d 2＋3d d＝－d ＋3.答案 －d ＋31．求曲线y ＝f (x )上一点(x 0，y 0)处切线斜率的步骤 (1)作差求函数值增量Δy ，即f (x 0＋d )－f (x 0)． (2)化简Δyd，用x 0与d 表示化简结果．(3)令d →0，求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u ，v )处的切线方程”和“过点(u ，v )的切线方程”．前者以点(u ，v )为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．一、基础达标1．已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6d ＋2d 2D ．6答案 B2．已知曲线y ＝12x 2－2上的一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B3．如果曲线y ＝2x 2＋x ＋10的一条切线与直线y ＝5x ＋3平行，则切点坐标为( )A ．(－1，－8)B ．(1,13)C ．(1,12)或(－1,8)D ．(1,7)或(－1，－1)答案 B4．曲线y ＝x －2在点P (3,1)处的切线斜率为( ) A ．－12 B ．0 C.12 D ．1答案 C 解析3＋Δx －2－3－2Δx＝Δx ＋1－1Δx ＝1Δx ＋1＋1.当Δx →0时，1Δx ＋1＋1→12.5．若曲线y ＝x 2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________． 答案 (1,2)6．曲线y ＝x 2＋2在点P (1,3)处的切线方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0 解析1＋Δx2＋2－12＋2Δx＝Δx ＋2，当Δx →0时，Δx ＋2→2.所以曲线y ＝x 2＋2在点P (1,3)处的切线斜率为2，其方程为y －3＝2(x －1)． 即为2x －y ＋1＝0.7．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求点P 的坐标及切线方程． 解 设点P (x 0，y 0)，f x 0＋d －f x 0d ＝x 0＋d2－x 2d ＝d ＋2x 0，d →0时，d ＋2x 0→2x 0.抛物线在点P 处的切线的斜率为2x 0，由于切线平行于2x －y ＋4＝0，∴2x 0＝2，x 0＝1，即P 点坐标为(1,1)，切线方程为y －1＝2(x －1)，即为2x －y －1＝0. 二、能力提升8．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2答案 A 解析－1Δx ＋1－－11Δx＝1－1Δx ＋1Δx ＝1Δx ＋1，当Δx →0时，1Δx ＋1→1.曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y ＋1＝1×(x －1)，即y ＝x －2.9．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率为________． 答案 7 解析 f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2＋32＋Δx －22＋3×2Δx＝Δx ＋7，当Δx →0时，Δx ＋7→7，所以，f (x )在A 处的切线的斜率为7.10．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A 处的切线的斜率为7，则A 点坐标为________． 答案 (2,10)解析 设A 点坐标为(x 0，x 20＋3x 0)， 则f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx2＋3x 0＋Δx －x 20＋3x 0Δx＝Δx ＋(2x 0＋3)，当Δx →0时，Δx ＋(2x 0＋3)→2x 0＋3， ∴2x 0＋3＝7，∴x 0＝2.x 20＋3x 0＝10.A 点坐标为(2,10)．11．已知抛物线y ＝x 2＋1，求过点P (0,0)的曲线的切线方程． 解 设抛物线过点P 的切线的切点为Q (x 0，x 20＋1)．则x0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝Δx ＋2x 0.Δx →0时，Δx ＋2x 0→2x 0.∴x 20＋1－0x 0－0＝2x 0，∴x 0＝1或x 0＝－1.即切点为(1,2)或(－1,2)．所以，过P (0,0)的切线方程为y ＝2x 或y ＝－2x .即2x －y ＝0或2x ＋y ＝0. 三、探究与创新12．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求切点的坐标及a 的值． 解 设切点A (x 0，y 0)，x 0＋d3－x 0＋d2＋1－x 30－x 20＋1d＝3x 20d ＋3x 0d 2＋d 3－2x 0d －d2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率为3x 20－2x 0，∴3x 20－2x 0＝1， ∴x 0＝1或x 0＝－13，代入C 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327代入直线l ，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1时，a ＝0(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327时，a ＝3227，即切点坐标为(－13，2327)，a ＝3227.4．1.3 导数的概念和几何意义[学习目标]1．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的方法． 2．理解导数的几何意义． [知识链接]曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线与导数的关系．答 函数f (x )在点x 0处有导数，则在该点处函数f (x )的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f (x )的曲线在点x 0处有切线，而函数f (x )在该点处不一定可导，如f (x )＝x 在x ＝0处有切线，但它不可导．即若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．若f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)>0，则切线与x 轴正向夹角为锐角；f ′(x 0)<0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行． [预习导引]1．函数在自变量的某个区间上的平均变化率函数f (x )在x ＝u 处步长为d 的差分为f (u ＋d )－f (u )，差商为f u ＋d －f ud，它表示函数在自变量的某个区间上的平均变化率，它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变化的总体的快慢． 2．导数的概念设函数f (x )在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值f x 0＋d －f x 0d在d 趋于0时(d ≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f (x )在x ＝x 0处的导数或微商，记作f ′(x 0)，上述定义可简述为f x 0＋d －f x 0d→f ′(x 0)(d →0)．当x 0是f (x )的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x ，而f ′(x )也是x 的函数，叫作f (x )的导函数或一阶导数．有时也可记作f ′(x )＝f x ＋d －f xd.3．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.要点一 导数的概念例1 设函数f (x )(x ∈R )可导，则当d 趋于0时，f 1＋d －f 13d趋于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3)答案 C 解析 原式＝13·f1＋d －f 1d，当d 趋于0时，f 1＋d －f 1d趋于f ′(1)．故原式趋于13f ′(1)，故选C.规律方法 在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用凑项的方法凑成定义的形式再解决．跟踪演练1 已知f (x )在x ∈R 时处处可导，若f ′(1)＝1，则d →0时，f 1＋2d －f 1d的值为( )A.12 B ．2 C ．f ′(2) D．f ′(12) 答案 B要点二 求函数某一点处的导数 例2 已知f (x )＝1x，求f ′(1)．解f1＋d －f 1d ＝11＋d －1d＝－d 1＋d d ＝－11＋d，由于d →0时，－11＋d→－1，故f ′(1)＝－1.规律方法 差分式化成分子和分母极限都在的情形(但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论． 跟踪演练2 已知f (x )＝x (x >0)，求f ′(1)． 解f 1＋d －f 1d ＝1＋d －1d ＝dd1＋d ＋1，＝11＋d ＋1，当d →0时，11＋d ＋1→12，故f ′(1)＝12.要点三 求函数的导函数例3 求函数f (x )＝4x2的导函数f ′(x )，并求f ′(2)．解 f x ＋d －f x d＝4x ＋d2－4x 2d＝－4d 2x ＋d x2x ＋d 2d＝－42x ＋dx 2x ＋d 2. 当d →0时，－42x ＋d x 2x ＋d 2趋于－8x x 4＝－8x 3.即f ′(x )＝－8x3.∴f ′(2)＝－1.规律方法 求某一点x 0处的导数值f ′(x 0)，可先求出导函数f ′(x )，再赋值求解f ′(x 0)．跟踪演练3 求函数f (x )＝x ＋1x的导函数f ′(x )及f ′(1)．解f x ＋d －f xd＝1x ＋d ＋x ＋d －1x －x d＝－dx x ＋d ＋dd ＝1－1xx ＋d， 当d →0时，1－1x x ＋d →1－1x2，∴f ′(x )＝1－1x 2，∴f ′(1)＝1－112＝0.要点四 利用导数求切线方程 例4 已知曲线C ：y ＝x 2，(1)求曲线C 在点(1,1)处的切线方程， (2)求过点(1,0)且与曲线C 相切的直线的方程．解 (1)f x ＋d －f x d ＝x ＋d 2－x 2d＝2x ＋d .当d →0时，2x ＋d →2x ， ∴f ′(x )＝2x ，f ′(1)＝2， ∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)点(1,0)不在曲线y ＝x 2上．设过点(1,0)与曲线C 相切的直线其切点为(x 0，x 20)， 则切点处的斜率为2x 0.切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0) (*) 又因为此切线过点(1,0)．∴－x 20＝2x 0(1－x 0)，解得x 0＝0或x 0＝2，代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C ：y ＝x 2相切的直线方程为y ＝0或4x －y －4＝0.规律方法 本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出切点．跟踪演练4 求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝f－2＋d－f－2d＝2－2＋d＋1d＝1－2＋d＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.1．f(x)在x＝x0处可导，则limh→0f x0＋h－f x0h( )A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是( )A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0答案 C3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 A4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.答案3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy d＝fx 0＋d －f x 0d；(3)取极限：f ′(x 0)＝ Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y ＝f (x )在x 0处的导数是表示在x 0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x ＝x 0处的切线的斜率．(2)f ′(x )是指随x 变化，过曲线上的点(x ，f (x ))的切线斜率与自变量x 之间的函数.一、基础达标1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析 分别作出A 、B 两点的切线，由题图可知k B >k A ，即f ′(x B )>f ′(x A )． 3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2解析 在点A 处的切线的斜率即为曲线y ＝2x 2在x ＝2时的导数，由导数定义可求y ′＝4x ，∴f ′(2)＝8. 答案 C4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 答案 A解析 分别求四个选项的导函数分别为f ′(x )＝2(x －1)＋3；f ′(x )＝2；f ′(x )＝4(x －1)；f ′(x )＝1.5．抛物线y ＝x 2＋x ＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________． 答案 3 3x －y ＋1＝0解析 Δy ＝(1＋d )2＋(1＋d )＋2－(12＋1＋2)＝3d ＋d 2，故y ′|x ＝1＝li m d →0 Δyd＝lim d →0(3＋d )＝3. ∴切线的方程为y －4＝3(x －1)， 即3x －y ＋1＝0.6．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3，则这条切线方程为____________． 答案 4x －y －5＝0 解析 ∵f ′(x )＝f x ＋d －f xd＝x ＋d2－1－x 2－1d＝2xd ＋d2d＝(2x ＋d )＝2x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0. 7．求曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解 ∵f ′(3)＝f 3＋d －f 3d＝3＋d3－33d＝(d 2＋9d ＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x答案 A解析－Δx ＋13＋3Δx ＋12－－13＋3×12Δx＝－Δx 2＋3.Δx →0时，－Δx 2＋3→3.∴f ′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.9．函数y ＝f (x )图象在M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由已知切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝3.10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程为x －y ＋1＝0，则a ，b 的值分别为________，________. 答案 1 1解析 ∵点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上， ∴－b ＋1＝0，b ＝1.又f 0＋Δx －f 0Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx＝a ＋Δx ，∴f ′(0)＝a ＝1.11．已知曲线y ＝x 3＋1，求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.x 0＋Δx3＋1－x 30＋1Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12.当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程．解由已知得，Δyd＝2x＋d，∴当d→0时，2x＋d→2x，即y′＝2x，设此切线过抛物线上的点(x0，x20)，又因为此切线过点(52，6)和点(x0，x20)，其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0，由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0，此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数4．2.2 一些初等函数的导数表[学习目标]1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法．2．掌握常见函数的导数公式．3．灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． [预习导引]常见基本初等函数的导数公式： (1)(c )′＝0(c 为常数函数)； (2)(x α)′＝αxα－1(α≠0)；(3)(e x)′＝e x；(4)(a x)′＝a x(ln_a )(a >0，a ≠1)； (5)(ln x )′＝1x(x >0)；(6)(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1，x >0)； (7)(sin x )′＝cos_x ； (8)(cos x )′＝－sin x ； (9)(tan x )′＝1cos 2x； (10)(cot x )′＝－1sin 2x.要点一 幂函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x2 011；(2)y ＝1x3；(3)y ＝4x 3.解 (1)y ′＝(x2 011)′＝2 011x2 011－1＝2 011x2 010.(2)y ′＝(x －3)′＝－3x－3－1＝－3x －4＝－3x4.(3)y ′＝＝344x.规律方法 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪演练1 求曲线y ＝13x 2在点P (27，19)处的切线斜率．解 ∵y ＝13x 2＝，∴，∴y ′|x ＝27＝－23×＝－23×＝－236，故所求切线的斜率k ＝－2729. 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝5x 3；(5)y ＝log 3x .解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5xln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝＝355x2；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4).解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝，∴y ′＝；(4) y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 (1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝axa －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________. 答案 64解析∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______.答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .4．2.3 导数的运算法则[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则．4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数的运算法则 (1)(cf (x ))′＝cf ′(x )；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )； (3)(f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (4)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)(1f x)′＝－f ′xf x 2(f (x )≠0)；(6)(g x f x )′＝f x g ′x －g x f ′xf x2(f (x )≠0)． 2．一般地，若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积.要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3xln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3xln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e xx＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′＝。
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 第二课时 集合的表示
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(2)因为12∈xx2－ax－52＝0 ，所以122－12a－52＝0， 解得：a＝－92，
当 a＝－92时，方程 x2－129x＋92＝0 的判别式 Δ＝－129 2－
4×92＝2849>0，
所以集合xx2－129x＋92＝0
() D．{(1，－2)}
答案：C
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3．不等式 x－3＜2 且 x∈N*的解集用列举法可表示为 ( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} 答案：B
D．{1,2,3,4,5}
4．不等式 4x－5＜7 的解集为________． 答案：{x|4x－5＜7}
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． ( × )
(2)集合{(1,2)}中的元素是 1 和 2.
(× )
(3)集合 A＝{x|x－1＝0}与集合 B＝{1}表示同一个集合．( √ )
2．方程组xx＋ －yy＝ ＝－ 1，3 的解集是 A．(－1,2) B．(1，－2) C．{(－1,2)}
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识别集合含义的 2 个步骤 (1)一看代表元素：例如{ x | p (x) }表示数集，{(x，y)|y ＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
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则集合中的元素是什么？ 解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是 x，且 x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
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新人教版高中数学必修一精品教案全册
新人教版高中数学必修一精品教案全册课题：1.1集合的含义及表示内容分析：1．集合是中学数学的一个重要的基本概念的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主教科书给出的“一般地，某些指定”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N，{}N=,2,1,0（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}0±±Z=1，2，，（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数Q=（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数R=数轴上所有点所对应的注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数（2）非负整数集内排除0的集N*或N+、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值（三） 有限集与无限集1、有限集2、无限集3、空集记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x课 题：1.2子集 全集 补集内容分析在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学过程：一、复习引入：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、（2）用列举法表示下列集合：①}022|{23=+--x x x x {-1，1，2}②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50} （3）用描述法表示集合：}51,41,31,21,1{ }5,1|{*≤∈=n N n n x x 且 （4）集合中元素的特性是什么？（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”}3|2||{=-∈x Z x {-1，5}问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A=N ，B=Q（3）A={-2，4}，}082|{2=--=x x x B（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、讲解新课：（一） 子集1 定义：（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一 个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆（6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ3、全集：如果集合S 集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示课 题：1.3 交集、交集内容分析这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系教学过程：一、复习引入：1．说出A C S2．填空：若全集U={x|0≤x ＜6，X ∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么=A C U {0，2，4} =B C U {0，2，3，5}3．已知B={1，2，5，10}，2}） 4有什么关系？图1图2如上图，集合A 和B 的公共部分叫做集合A 和集合B 的交（图1的阴影部分），集合A 和B 合并在一起得到的集合叫做集合A 和集合B 的并（图2的阴影部分）．观察问题3中A 、B 、C 三个集合的元素关系易知，集合C={1，2}是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的，即集合C 的元素是集合A 、B 的公共元素，此时，我们就把集合C 叫做集合A 与B 的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A=N ，B=Q（3）A={-2，4}，}082|{2=--=x x x B（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、讲解新课：1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A B （读作‘A 交B ’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．3、交集、并集的性质用文图表示(1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B,则A A=A A A=A (4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含则A B A,A B BA B A, A B B (5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：1．交集的性质(1)A A=A A Φ=Φ，A B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．2．并集的性质(1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B B A (B)A BA联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．3. 德摩根律：(C u A) (C u B)= C u (A B),(C u A) (C u B)= C u (A B)(可以用韦恩图来理解)．结合补集，还有①A (C u A)=U, ②A (C u A)= Φ．容斥原理一般地把有限集A 的元素个数记作card(A).对于两个有限集A ，B ，有card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．三、讲解范例：例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.解：A B=｛x|x>-2｝ ｛x|x<3｝=｛x|-2<x<3｝．例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B. 解：A B=｛x|x 是等腰三角形｝ ｛x|x 是直角三角形｝=｛x|x 是等腰直角三角形｝．例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.解：A B=｛3,4,5,6,7,8｝．例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.解：A B=｛x|x 是锐角三角形｝ ｛x|x 是钝角三角形｝=｛x|x 是斜三角形｝．例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.解：A B=｛x|-1<x<2｝ ｛x|1<x<3｝=｛x|-1<x<3｝．说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,B=｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B. 解：A B=｛(x,y)|y=-4x+6｝ ｛(x,y)|y=5x-3｝=｛(x,y)|⎩⎨⎧-=+-=3564x y x y ｝=｛(1,2)｝ 注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．形如2n （n ∈Z ）的整数叫做偶数，形如2n+1（n ∈Z ）的数叫做奇数，全体奇数的集合叫做奇数集全体偶数的集合叫做偶数集． 交集与并集性质例题例1（课本第12页）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求C u A, C u B, (C u A) (C u B), (C u A) (C u B), C u (A B) , C u (A B)．解：C u A=｛1,2,6,7,8｝ C u B=｛1,2,3,5,6｝(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,6｝(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝例2 已知集合A={y |y=x 2-4x+5},B={x |y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．解：A ∩B= {x |1≤x ≤5}, A ∪B=R ．例3 已知A={x |x 2≤4}, B={x |x>a },若A ∩B=Ф,求实数a 的取值范围． 解：a ≧2例4 集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M ∪N ． 解：M ∪N=｛(x,y) |xy=-1,或xy=1(x ＞0)｝．例5 已知全集U={x |x 2-3x+2≥0}，A={x ||x-2|>1}，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--021x x x ， 求C U A ，C U B ，A ∩B ，A ∩（C U B ），（C U A ）∩解：∵U={x |x 2-3x+2≥0}＝{x|x ≤1或x ≥2}，A={x ||x-2|>1}={x|x<1或x>3}， B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--021x x x ={x| x ≤1或x>2} ∴C U A={}321≤≤=x x x 或C U B={}2=x xA ∩B=A={x|x<1或x>3}，={x|x<1或x>3}，A ∩（C UB ）=φ（C U A ）∩B={}3212≤<=x x x 或课 题：1.4 逻辑联结词内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．教学过程：一、复习引入：命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题例如：①11>5 ②3是15的约数③0.7是整数①②是真命题，③是假命题反例：④3是15的约数吗？⑤x>8都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假“这是一棵大树”；“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”是否成立．注意：①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能判断真假的语句，就不是命题.③与命题相关的概念是开语句例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．二、讲解新课：1．逻辑连接词例⑥10可以被2或5整除；（10可以被2整除或10可以被5整除）⑦菱形的对角线互相垂直且平分；（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）⑧ 0.5非整数 .( 非“0.5是整数”)逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2．简单命题与复合命题： 简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式 2x -x -6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }且：不等式2x -x -6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 }3．复合命题的构成形式如果用 p, q, r, s ……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：即：p 或q 记作 p ∨q p 且q 记作 p ∧q非p (命题的否定) 记作 ⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A B ）.“非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈A C U ）.开语句：语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．例1（课本第26页例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：⑴24既是8的倍数，也是6的被数；⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；⑶平行线不相交.解：⑴这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数.⑵这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是跳高运动员.⑶这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交.例 2 命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑联结词的情况是（）A：使用了逻辑联结词“或”B：使用了逻辑联结词“且”C：使用了逻辑联结词“非”D：没有使用逻辑联结词判断复合命题真假的方法1．“非p”形式的复合命题例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.小结：非p复合命题判断真假的方法当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的2．“p且q”形式的复合命题例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）小结：“p且q”形式的复合命题真假判断当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q 为假可用下表表示3．“p或q”形式的复合命题：例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）小结：“p或q”形式的复合命题真假判断当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p 或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：①p：2+2=5，q：3>2；②p：9是质数，q：8是12的约数；③p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；④p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.③p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.④p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.4．逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A 或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.课题：1.5 四种命题内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．教学过程：一、复习引入：复习初中学过的命题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充）两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，(1)同位角相等，两直线平行；条件（题设）：同位角相等；结论：两直线平行它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等二、讲解新课：1．引例(3)同位角不相等，两直线不平行；(4)两直线不平行，同位角不相等.比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理原命题若p 则q 否命题逆命题若q 则p 逆否命题互为逆否互逆否互为逆否互否互补充）在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；（让学生取名字）思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？（学生回答，教师整理补充）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.2．概括：(1)为原命题 (2)为逆命题(3)为否命题 (4)为逆否命题反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？强调：“互为”的含义3．四中命题的形式若p 为原命题条件，q 为原命题结论（学生回答，教师整理补充）则：原命题：若 p 则 q逆命题：若 q 则 p否命题：若 ⌝p 则 ⌝q逆否命题：若 ⌝q 则 ⌝p4．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：5．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真6．反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法7．反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论课题：1.6 充分条件与必要条件内容分析：这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p。
2017-2018学年人教版高中数学必修一教材用书word文件
[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．
②不正确．由于 ＝ ， ＝ ，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1， ， 这三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．
[类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．
问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？
提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．
2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 第8课时 事件的相互性独立课件 新人教A版选修2-
解析：令事件 A、B、C 分别表示 A、B、C 三个独立的研究机构 在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A、B、C 相互独 立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610.
计算 公式
P(AB)＝P(A)P(B)
事件独立性的判断
例 1 判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与 “从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意 取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取 出的还是白球”；
目标导航 1．理解相互独立事件的定义及意义. 2.理解概率的乘法公式. 3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公 式解题．
1 新知识·预习探究 知识点一 相互独立的概率
设 A、B 为两个事件，若 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立．
【练习 1】 掷一颗骰子一次，设事件 A：“出现偶数点”，事件 B：“出现 3 点或 6 点”，则事件 A，B 的关系是( )
A．A 与 B，A 与 C 均相互独立 B．A 与 B 相互独立，A 与 C 互斥 C．A 与 B，A 与 C 均互斥 D．A 与 B 互斥，A 与 C 相互独立
解析：由于摸球过程是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次 摸球的结果没有影响，故事件 A 与 B，A 与 C 均相互独立，且 A 与 B， A 与 C 均有可能同时发生，说明 A 与 B，A 与 C 均不互斥，故选 A.
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
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2017-2018学年人教版高中数学必修1全册教案课题：第一章 第一节 第一课时§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重难点1、教学重点：集合的含义与表示方法.2、教学难点：表示法的恰当选择. 三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 四. 教学过程(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例： (1)数组1、3、5、7； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)太平洋的鱼；(6)衡钢中学的所有学生； (7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；2．教师组织学生讨论：这8个实例的共同特征是什么? 3.每个学生进行思索，并进行归纳总结，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； （3）高个子的人； （4）小于2004的数；（5）和2004非常接近的数. 让学生充分发表自己的见解.3. 举一反三:让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4. 让学生完成教材第5页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题. （四）例题分析1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法、描述法和图示法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚四种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
（4）练习：试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程 的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合； （4）不等式4x-5<3的解集。
(五)集合的分类⑴有限集：含有有限个元素的集合． ⑵无限集：含有无限个元素的集合．⑶空集：不含任何元素的集合. 记作φ． 在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：092=-x1．本节课我们学习过哪些知识内容?2．你认为学习集合有什么意义？3．选择集合的表示法时应注意些什么?(六)承上启下，留下悬念1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.五、板书设计六、教学反思课题：第一章第二节第二课时§1.1.2集合间的基本关系一. 教学目标:1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.二. 教学重难点1、教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.2、教学难点：难点是属于关系与包含关系的区别．三.教学准备1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.2.学用具：投影仪. 四.教学过程(—)创设情景，揭示课题问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.(二)研探新知问题2:观察下面几个例子：（1）A={1,2,3} B={1,2,3,4,5}（2）A={高一1班全体男生} B={高一1班全体学生} （3）E={2,4,6} D={6,4,2}组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：读作：A 含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。
如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.投影问题3：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若.问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示. 学生主动发言，教师给予评价. (三)学生自主学习，阅读理解然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问题： (1)集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?(2)集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别? (3)0，{0}与∅三者之间有什么关系?(4)包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈正义有什么区别?试结合实例作出解释.BAE （F ）(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?⊆?(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A(7)对于集合A，B，C，D，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A与C有什么关系?教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.(四)巩固深化，发展思维1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1、写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
例2、化简集合 A={x|x-3>2}，B={x|x≥5}，并表示A、B的关系；2.学生做教材第7页的练习第l～3题，以及课堂练习1～2，教师及时检查反馈。
强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集.(五)课堂小结1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些.2. 在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出.(六)布置作业第12页习题 1.1A组第5题.五、板书设计六、课后反思课题：第一章 第二节 第三课时 §1.1.3 集合的基本运算一. 教学目标： 1. 知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观(1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重难点1、教学重点：交集与并集，全集与补集的概念.2、教学难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系． 三.教学准备1.学法：学生借助Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.2.教学用具：投影仪. 四. 教学过程(一)创设情景，揭示课题问题1：我们知道，实数有加法运算。
类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C ===(2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。
教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。
(二)研探新知 l.并集 —般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集. 记作：A ∪B. 读作：A 并B.其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或用Venn 图表示如下：请同学们用并集运算符号表示问题1中A ，B ，C 三者之间的关系. 课堂例题：通过例4和例5的讲解，让学生体会并集的运算，并强调： （1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.(2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题. （3）得出结论2.交集（1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合A .B 与集合C 之间有什么关系？①{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};A B C ===②A =｛x |x 是新华中学2004年9月在校的女同学｝， B =｛x |x 是新华中学2004年9月入学的高一年级同学｝， C =｛x |x 是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学｝．教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集. 记作：A ∩B. 读作：A 交B其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈且接着教师要求学生用Venn 图表示交集运算.（2）例题、练习.检查和反馈①设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线1l 上点的集合为2L ，试用集合的运算表示1l 的位置关系.②学校里开运动会，设A={x |x 是参加一百米跑的同学}，B={x |x 是参加二百米跑的同学}，C={x |x 是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算A ∩B 与A ∩C 的含义..,)5(;,)4(;)3(;)2(;)1(B A B B A B B A B A A A A A A A A B B A ⊆==⊆=∅=∅==则若则若学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正. 得出结论：（三）学生自主学习，阅读理解1．教师引导学生阅读教材第11～12页中有关补集的内容，并思考回答下例问题： （1）什么叫全集？（2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用Venn 图又表示？ （3）例题、练习.检查和反馈在学生阅读.思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回答上述问题，并及时给予评价.（四）课时小结1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？ 2．并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？ （五）课后作业1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集.交集和补集的现实含义. 3．书面作业：教材P12 第9、10题。