整数规划及分支定界法.ppt
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整数规划算法
只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
分支定界
所谓“分支”就是在处理整数规划问题时，逐步加入 对各变量的整数要求限制。先求解整数规划相应的松弛问 题(记为 P0)，若(P0)的最优解不符合整数条件，假设 xi b i 不符合整数条件，于是增加新的约束条件： xi bi 和
xi bi 1， 分别将其加入到松弛问题(P0)中， 从而形成两
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
个分支，称为两个后继子问题。后继子问题的可行域包含 整数规划所有的可行解。根据需要，后继子问题可以产生 类似的分支，从而把原整数规划问题通过分支迭代求出最 优解。
所谓“定界”就是在分支过程中，若某个后继子问题最优 解恰好是整数规划的可行解，则该后继子问题最优目标函 数值成为整数规划的目标函数值的一个“界限” ，从而对 那些最优目标函数值比上述“界限”还差的后继子问题可 以剔除不加考虑。 同时在分支过程中出现更好的 “界限” ， 则用它来取代原来的界限，以提高定界的效率。
则总生产成本的目标函数为：
min z C ( x j ) c j x j k j y j
j 1 j 1
n
n
这里 M 是一个充分大的正数。 所以该产品计划问题可以表 述成如下规划问题：
min z c j x j k j y j
j 1
n
0 x j My j , j 1,2,, n s.t. y j 0 or 1, j 1,2,, n
运筹学 第五章 整数规划PPT课件
x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
3 整数规划
x1 100 2 5 100 … 1 0 0
x2 x3 x4 160 0 0 2 1 0 9 0 1 160 0 0 … … … 0 9/8 -1/4 1 -5/8 1/4 0 -25/2 -15
b 12 45 … 9/4 15/4
θ
…
maxZ=100x1+160x2 是最优解，但不是整数最优解，引入割平面，在最终单 将该约束条件中的非整数系数均表示为： 2x1+2x2 +x3=12 纯形表中选一个约束条件进行分割。 a =[a]+a0 X*=（9/4，15/4）T 5x +9x +x =45 3x3+2x4 ≥6 4 1 2 Z*=825 x1, x2 x3, x4 ≥0
g2 ＝-7+5x1+3x2 +2x3+x4≤0
5x1+3x2 +2x3+x4≤7
x1, x2 , x3 , x4 ＝0,1
序号 1
解X T (0,0,0,0)
Z 0
g1≥0 1
g2≤0 -7
满足否 √
过滤条件 0
2
3 4 5 6
(0,0,0,1)
(0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
货物 甲 乙 运输能力 体积 重量 利润 （m3/箱） （m3/箱） （m3/箱） 2 2 12 1 1.8 9 100 160
设：建甲宿舍x1幢，乙宿舍x2幢 maxZ=10x1+20x2 0.25x1+0.4x2 ≤3 x1 ≤8 x2 ≤4 x1, x2≥0且为整数
整数规划的数学模型的一般形式
x j bk akj
j m 1
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt
X(0) (b1,b2 , ,br, ,bm,0, ,0)T
目标函数Z 最 (0.其 ) 优b 中 i(值 i1,为 2, ,m)不全为
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，
记为 ＝ZZ(0) 。再用观察法找出一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′,
无 B6可: 行解
z5 308
2
1
B5
01234567
分支定界的全过程：
x1 4
B : x1 4 .81 x 2 1 .82
z0,z 356
z 0 356
x1 5
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
z 0 z 349
——混合整数规划（Mixed Interger Programming,MIP） 全部决策变量取0或1的规划问题:
——0-1规划（Binary Interger Programming,BIP） 整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题:
——该整数规划的松弛问题
整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
x1 , x 2 0
max Z x1 x 2
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
(1) (2)
x1 , x 2 0
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
⑴
3 2
运筹学分支定界法 0-1整数规划课件
x1, x2 0,且为整数
松弛问题的最优解X=(2.75,2.25)T
运筹学教程
Cj
21000
CB XB b
X1 X2 X3 X4 X5
1 X2 2.25 0 1 1.5 0 -0.25
0 X4 0.5 0 0 -2 1 0.5
2 X1 2.75 1 0 -0.5 0 0.25
Cj-zj
0 0 -0.5 0 -0.25
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
运筹学教程
B2：解 （1，7/3 ）
Z21 = 17/3
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
3x1 7x2 x3 x4 1
st.
x1
2x2 5x1
6x3 3x2
4x4 x4 5
8
x1, x2, x3, x4 1or0
运算30次
运筹学教程
练习1:使用分支定界法求解整数规划
max z 2x1 x2
x1 x2 5
st.
x1 x2 0 6x1 2x2 21
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥3
X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
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+8x5 +4x6 +10x7 s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
例3-2 背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时， 常会有如下两种初始想法：
➢因为可行方案数目有限，因此经过 一一比较后，总能求出最好方案， 例如，背包问题充其量有2n-1种方式； 连线问题充其量有n!种方式；实际 上这种方法是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比 较完20!（大于2*1018）种 方式，大约需要800年。比 较完260种方式，大约需要 360世纪。
解：如果令xj=1表示携带物品j， xj=0表示不携带物品j，则问题表 示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b
xj=0 或1
数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0且部分或全部是整数
以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
分枝定界解法
（Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题：任何整数规划 （IP），凡放弃某些约束条件（如整数 要求）后，所得到的问题（P） 都称为 （IP）的松驰问题。
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
x1
❖假如能求出可行域的“整点凸包”（包 含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则 可在此凸包上求线性规划的解，即为原问 题的解。但求“整点凸包”十分困难。
x2
54321
D
I(2,4)
J
I
H
B(9.2,2.4)
G
F
O 1 2 3 4 5 6 E 7 A8 9 10
x1
❖假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃 整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解 (6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)
x2
D
I(2,4)
54321
B(9.2,2.4) P1
P2
P4
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10
x1
X1 2
P1
X2 3
X1 6
P2
P
X1 3
P3
X2 4
X2 2
P4
X1 7
P5
X2 3
❖假如放弃整数要求后，用单纯形法 求得最优解，恰好满足整数性要求， 则此解也是原整数规划的最优解。
例5-6 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2
43 2 1
P1
0
1
P2
2
3
x1 4
第三章 整数规划
3-1 整数规划问题
整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性 两类。
根据变量的取值性质，又可以分 为全整数规划，混合整数规划，01整数规划等。
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解 中等规模的线性整数规划问 题，而非线性整数规划问题， 还没有好的办法。
➢从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl
[xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加
进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
➢定界：把满足整数条件各分枝的最优目 标函数值作为上（max）（下(min)）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。
➢剪枝：把那些子问题的最优值与界值比 较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
➢先放弃变量的整数性要求，解一 个线性规划问题，然后用“四舍五 入”法取整数解，这种方法，只有 在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能成功。
例3-3 求下列问题： Max Z=3x1+13x2 s.t.2x1+9x2 40
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
两个子问题： （P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 1 ，整数
用单纯形法可解得相应的（P1）的最优 解（1，9/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况：
➢若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
➢若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
➢若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。
例3-1：一登山队员做登山准备， 他需要携带的物品有：食品，氧 气，冰镐，绳索，帐篷，照相机 和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员 可携带最大重量为25公斤。
解：如果令xi=1表示登山队员携 带物品i，xi=0表示登山队员不携 带物品i，则问题表示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最 优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最 优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点 (9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。
x2
D
I(2,4)
B(9.2,2.4)
54321
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10
例3-2 背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时， 常会有如下两种初始想法：
➢因为可行方案数目有限，因此经过 一一比较后，总能求出最好方案， 例如，背包问题充其量有2n-1种方式； 连线问题充其量有n!种方式；实际 上这种方法是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比 较完20!（大于2*1018）种 方式，大约需要800年。比 较完260种方式，大约需要 360世纪。
解：如果令xj=1表示携带物品j， xj=0表示不携带物品j，则问题表 示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b
xj=0 或1
数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0且部分或全部是整数
以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
分枝定界解法
（Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题：任何整数规划 （IP），凡放弃某些约束条件（如整数 要求）后，所得到的问题（P） 都称为 （IP）的松驰问题。
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
x1
❖假如能求出可行域的“整点凸包”（包 含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则 可在此凸包上求线性规划的解，即为原问 题的解。但求“整点凸包”十分困难。
x2
54321
D
I(2,4)
J
I
H
B(9.2,2.4)
G
F
O 1 2 3 4 5 6 E 7 A8 9 10
x1
❖假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃 整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解 (6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)
x2
D
I(2,4)
54321
B(9.2,2.4) P1
P2
P4
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10
x1
X1 2
P1
X2 3
X1 6
P2
P
X1 3
P3
X2 4
X2 2
P4
X1 7
P5
X2 3
❖假如放弃整数要求后，用单纯形法 求得最优解，恰好满足整数性要求， 则此解也是原整数规划的最优解。
例5-6 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2
43 2 1
P1
0
1
P2
2
3
x1 4
第三章 整数规划
3-1 整数规划问题
整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性 两类。
根据变量的取值性质，又可以分 为全整数规划，混合整数规划，01整数规划等。
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解 中等规模的线性整数规划问 题，而非线性整数规划问题， 还没有好的办法。
➢从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl
[xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加
进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
➢定界：把满足整数条件各分枝的最优目 标函数值作为上（max）（下(min)）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。
➢剪枝：把那些子问题的最优值与界值比 较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
➢先放弃变量的整数性要求，解一 个线性规划问题，然后用“四舍五 入”法取整数解，这种方法，只有 在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能成功。
例3-3 求下列问题： Max Z=3x1+13x2 s.t.2x1+9x2 40
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
两个子问题： （P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 1 ，整数
用单纯形法可解得相应的（P1）的最优 解（1，9/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况：
➢若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
➢若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
➢若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。
例3-1：一登山队员做登山准备， 他需要携带的物品有：食品，氧 气，冰镐，绳索，帐篷，照相机 和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员 可携带最大重量为25公斤。
解：如果令xi=1表示登山队员携 带物品i，xi=0表示登山队员不携 带物品i，则问题表示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最 优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最 优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点 (9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。
x2
D
I(2,4)
B(9.2,2.4)
54321
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10