高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充难 学生版

目录
目录 (1)
考点一虚数单位i、复数 (2)
考点二复数的代数表示法及其几何意义 (3)
课后综合巩固练习 (4)
考点一 虚数单位i 、复数
1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为
2.负数的运算
1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．
形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数．
2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．
3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．
4、复数的模：
→
OZ
的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=
⎷ a 2+b 2
1．（2019•湖北模拟）若复数232019|34|134i z i i i i i
-=++++⋯+++，则复数z 对应的点在第( )象限
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
2．（2018秋•泉州月考）若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于( )
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．2
3．（2019春•龙凤区校级月考）若ABC ∆是锐角三角形，则复数⎷ a 2+b 2
(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．（2018秋•兴庆区校级月考）若复数cos sin z i θθ=+且221z z +=，则2sin (θ= )
A ．12
B ．14
C ．34
D ．1
4
- 5．（2018春•内江期末）下面是关于复数1(z i i =+为虚数单位）的四个命题： ①z 对应的点在第一象限；②||2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．（2018春•武清区期中）i 是虚数单位，2501i i i +++⋯+等于( )
A ．0
B ．i
C ．1i +
D ．2i +
考点二 复数的代数表示法及其几何意义
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ；
（2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
7．（2019春•安庆期末）复数2(1)21z m i i m i =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围( )
A ．(,1)-∞-
B ．(1,1)-
C ．(1,2)-
D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞
8．（2019春•松江区期末）已知复数1cos 2()z x f x i =+，2cos )z x x i =++，x R ∈，在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为( )
A ．1
4- B ．14 C ．1
2- D ．12
9．（2019春•河南期中）设复数z 的共轭复数是z ，且||1z =，又(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()|(1)()|f z z z i =+-取最大值时在复平面上以z ，A ，B 三点为顶点的图形是( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
10．（2019•安徽二模）已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22i i
+的共轭复数对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．（2019•河南三模）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．（2019春•东湖区校级月考）设复数()a i z a R a i -=
∈+在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围是( )
A ．1a <-
B ．0a <
C ．0a >
D ．1a > 课后综合巩固练习
13．（2019春•扬州期末）设a R ∈，若复数(2)(2)i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =-上，则a = ．
14．（2019春•诸暨市校级期中）已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足|1|z x -=，那么z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程为 ；||min z = ．
15．（2019春•青浦区期末）若复数z 满足||2z =，则|3||3|z z ++-的取值范围是 ．
16．（2018春•南康区校级月考）已知m R ∈，复数2(2)(1)(12)z i m m i i =+---+（其中i 为
虚数单位），若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是
17．（2018春•厦门期末）如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则12||z z += ．
18．（2018春•朔州期末）若i 是虚数单位，复数z 满足121
z i i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为 ．
19．（2018春•沭阳县期中）已知复数1(3)z m m i =-+-，()m R ∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是 ．。