圆锥曲线的几何性质

培优点十七 圆锥曲线的几何性质1．椭圆的几何性质例1：如图，椭圆()2222+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ）A ．(2:3B ．()3:3C ．(2:2D ．()3:2【答案】B【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::A B F B F O A B O BF O BF O S S S S S a b b c b c =-=-△△△△△而c a =():3:3ABF BFO S S =△△，故选B ．2．抛物线的几何性质例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=︒，所以4AF =，由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以4为边长的正三24=C ．3．双曲线的几何性质例3：已知点P 是双曲线2213664x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()22104x y ++=和()22101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．【答案】15【解析】在双曲线2213664x y -=中，6a =，8b =，10c =，()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．一、单选题1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：12p=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．对点增分集训【答案】B【解析】据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==．从而12sin F PF ∠=，所以121682PF F S =⨯⨯=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于（ ） A ．3- B ．13±C ．13-D ．12-【答案】C【解析】椭圆方程为2212x y +=，a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程为1y x =-，代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以13OM ON =⋅-，故选C ．4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，54PQ m =，则m =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则1232x x +=，125644m PQ x x p m =++=+=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O 为原点），可得2c =，ba =，即223b a =，2223c a a -=，解得1a =，b双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2213y x -=，故选B ．6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ）A ．1212c c a a =B ．1122a c a c -<-C ．1212c c a a >D ．1122a c a c ->-【答案】C【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，111111c a R Ra a a -==-，222221c a R R a a a -==-， 由12a a >知1212c c a a >，故选C ． 7．已知双曲线221:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32B ．4C ．8D ．16【答案】D【解析】双曲线221:14x C y -=，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为by x a=，可得2F M b ==，即有OM a ==，由216OMF S =△，可得1162ab =，即32ab =，又222a b c +=，且c a =解得8a =，4b =，c =16．故选D ．8．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ， 若2FM MN =，则FN =（ ） A ．1 B ．12C ．52D ．58【答案】D【解析】由题意得点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，所以向量：00,18FM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00,MN a x y =--，由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：0112y =，代入抛物线方程可得：0x =a =， 由两点之间的距离公式可得：58FN =．故选D ．9．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．52D ．9【答案】A【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴为22a ， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a =-，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，②又∵12PF PF ⊥，∴222124PF PF c +=，③22+①②，得2222121244PF PF a a +=+，④将④代入③，得222122a a c +=， ∴22222221122222121224559422222a a c c e e a a a a +=+=++≥+=，故选A ．10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当FA FB FC ++=0时，称ABC △为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个【答案】D【解析】抛物线方程为24y x =，A ，B ，C 为曲线C 上三点， 当FA FB FC ++=0时，F 为ABC △的重心，用如下办法构造ABC △，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()11,B m n ，()22,C m n ， 则1202m m x +=，1202n n y +=，1212BC n n k m m -=-，则21122244n m n m ⎧==⎪⎨⎪⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-，121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D ．11．已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆222:134x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，且11F M e F N=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A ．30︒，150︒B ．45︒，135︒C ．60︒，120︒D ．15︒，165︒【答案】C 【解析】由题112cos cos F MN F F M ∠=∠，112F MN F F M ∴∠=∠，1122MF F F c ∴==， 由双曲线的定义可得| 21|222MF MF a c a =-=-，∵椭圆222:134x y Γ+=的离心率为：12e ==，∴1112F M e F N =＝，14NF c ∴=，242NF c a =-，在12MF F △中，由余弦定理的()()222124224cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⋅⋅-， 在12NF F △中，由余弦定理可得：()()()2222212442164cos 224222c c a c a c acF F N c c a c c a +--+-∠==⋅⋅--， ∵1212πF F M F F N ∠+∠=，1212cos cos 0F F M F F N ∴∠+∠=，即()2240222c a a c acc c c a -+-+=-， 整理得，设双曲线的离心率为1e ，2113720e e ∴-+=，解得12e =或13（舍）．∴2224a b a +=，223a b ∴=，即b a =y =， ∴渐近线的倾斜角为60︒，120︒．故选C ．12．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y ++=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．563,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．)3,⎡+∞⎣【答案】C【解析】如图，由题意设2APB θ∠=，则1tan PA PB θ==，∴211cos2cos2cos2cos21cos2tan PA PB PA PB θθθθθθ+⋅==⋅=⋅-，设cos2t θ=，则()()12133311t t PA PB t tt +⋅==-+-≥=--，当且仅当211t t-=-，即1t =-cos21θ= 又当点P 在椭圆的右顶点时，1sin 3θ=，∴27cos212sin 9θθ=-=，此时PA PB ⋅最大，且最大值71756979919+⨯=-．∴PA PB ⋅的取值范围是563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C ．二、填空题13．已知过抛物线22y x =-的焦点FA 、B 两点，则AF BF AB⋅=__________．【答案】12【解析】由22y x =-知1p =，由焦点弦性质112+2AF BF p==， 而1111+22+AF BF AF BF p ABAF BFAF BF⋅⋅====． 14．已知椭圆2221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F △的周长为__________．【答案】2【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则1c b ==，2222a b c =+=，则a 故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=．15．P 为双曲线22149x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，且120PF PF ⋅=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P △的内切圆半径为__________． 【答案】2【解析】∵12PF PF ⊥，1APF △的内切圆半径为r ，∴112PF PA AF r -+=，∴2122PF a PA AF r -++=， ∴2124AF AF r =--，∵由图形的对称性知：21AF AF =，∴2r =．故答案为2．16．已知直线l 与椭圆()222210,0x y a b a b +=>>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB △(O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ∠=︒(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠，则实数m 的值是__________． 【答案】52【解析】由题意，切线方程为00221x y x y ab+=，直线l 与x 轴分别相交于点A ，B ，20,0a A x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，20,b B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220012AOB a b S x y ∴=⋅△， 2200002221x y x y ab a b +=≥，0012x yab ∴≥，AOB S ab ∴≥△，当且仅当00x y a b ==时，AOB △（O 为坐标原点）的面积最小， 设1PF x =，2PF y =，由余弦定理可得2222443c x y xy a xy =+-=-，243xy b ∴=，1221sin 602PF F S xy ∴=︒=△，20122cy ∴⨯⨯=，0y ∴==，c ∴，a ∴=，12F PF ∠，211112222x y ∴⨯⨯+⨯⨯=，)212x y ∴+，22115229a b ∴=， 52m ∴=，故答案为52．三、解答题17．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2t +；（2；（3）存在，25P ⎛ ⎝⎭．【解析】（1）方法一：由题意可知：设()B t ，则2BF t ==+，∴2BFt =+；方法二：由题意可知：设()B t ，由抛物线的性质可知：22pBF t t =+=+，∴2BF t =+； （2）()2,0F ，2FQ =，3t =，则1FA =，∴AQ =，∴(Q ，设OQ 的中点D，32D ⎛ ⎝⎭，02322QFk -==-PF方程：)2y x =-，联立)228y x y x=-=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去），∴AQP △的面积1723S ==；（3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y yk y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 根据FP FQ FE +=，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且25P ⎛ ⎝⎭．18．与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围． 【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan bcα=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，()12122sin9012||sin sin 90F F c a ce b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++， 解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：y x m =-+，()11,C x y 、()22,D x y ， 由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，12CD x =-=，而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦，四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．。