分数拆项与裂项

分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有：1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲 模块一、分数裂项【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160= 【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ． 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7114605=-- 2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（） 【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155= 所以原式31115565155=⨯=． 【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……【解析】 原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-= 【例 3】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯ ＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【巩固】 2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……， 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以 原式1112100=-+++ 15049150505050=-= 【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（） 【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯ 1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭ 11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155= 【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ . 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+， 原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++- 2118=-6364= 【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ． 【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ． 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了． 原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭ 222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++ ⎪----⎝⎭ 1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【巩固】 22446688101013355779911⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 （法1）：可先找通项222111111(1)(1)n n a n n n n ==+=+---⨯+原式11111(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11555(1)552111111=+⨯-=+= （法2）：原式288181832325050(2)()()()()3355779911=-+-+-+-+- 61014185065210453579111111=++++-=-= 【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+ 【解析】 11211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++ 原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝ 【巩固】 计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 【解析】 先找通项公式12112()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++ 原式11112(21)3(31)2007(20071)222=++++⨯+⨯+⨯+ 222212233420072008=++++⨯⨯⨯⨯ 200722008=⨯ 20071004= 【巩固】 111133535735721+++++++++++ 【解析】 先找通项：()()()1111352122132n a n n n n n ===+++++⨯++⨯， 原式111111132435469111012=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111133591124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264= 【例 7】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n nn n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+-- 原式2334455623344556410182814253647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023215226=⨯= 1000999100011=-【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】 22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=211111111[()()()()]31223342627⨯+-+++-+=2152(1)32781⨯-= 【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+ 原式223398989999(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999929949131425364999710098110050⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 9】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【解析】 通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+， 原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯29999110050=⨯= 【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得 ()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124 ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124 ＝⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124 ＝⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯11116＝1160．模块二、换元与公式应用【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++【解析】 原式()333333333123414152414=++++++-+++()()223331515181274⨯+=-⨯+++22576002784=-⨯⨯8128=【巩固】 132435911⨯+⨯+⨯+⨯【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-+++-+()()()()()22222222222131101231091231010101121103756=-+-++-=+++-=++++-⨯⨯=-=【巩固】 计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【解析】 原式()()()()2222221331441991=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()333323492349=++++-++++()()2123912349=++++--++++245451980=-=【例 12】 计算：234561111111333333++++++【解析】 法一：利用等比数列求和公式。