人教A版高中数学选修2-3作业：第1章 计数原理1.3.1

第一章 1.3 1.3.1
(建议用时：40分钟)
1. 2C 1n ＋6C 2n ＋18C 3
n ＋…＋2×3n －
1×C n n ＝( )
A ．22n ＋
13
B ．2
3(4n －1)
C ．2×3n －
1
D ．2
3
(3n －1)
B 解析 2
C 1n ＋6C 2n ＋18C 3n ＋…＋2×3
n －
1C n n ＝23(C 1n
×3＋C 2n ×32
＋…＋C n n ×3n ) ＝23(C 0n ×30＋C 1n ×3＋C 2n ×32＋…＋C n n ×3n －1) ＝23[(1＋3)n －1]＝2
3
(4n －1)． 2．若⎝⎛⎭⎫x ＋1
2x n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
B 解析 因为⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数
C 0n ，12·C 1n ，14C 2
n 成等差数列， 所以C 0n ＋14C 2
n ＝C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍)． T r ＋1＝C r 8
x 8－r ·⎝⎛⎭⎫12x r
＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－2r
，
令8－2r ＝4，可得r ＝2，故x 4的系数为⎝⎛⎭⎫122·
C 2
8＝7. 3. (2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40
D ．80
C 解析 (x ＋y )(2x －y )5＝x (2x －y )5＋y (2x －y )5，由(2x －y )5展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5
(2x )5－
r (－y )r 可得，当r ＝3时，x (2x －y )5展开式中x 3y 3的系数为C 35×22×(－1)3
＝－40；当r ＝2时，y (2x －y )5展开式中x 3y 3的系数为C 25×23×(－1)2＝80，则x 3y 3的系数为80－40＝40.
故选C 项．
4．若对于任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9
D ．12
B 解析 设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原式化为(2＋t )3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝
C 23·2＝6.故选B 项．
5．若二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1
x n (x >0，且n ∈N *)的展开式中含有常数项，则指数n 必为( ) A ．奇数 B ．偶数 C ．3的倍数
D ．5的倍数
C 解析 由T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r
n x n －3r 2，因展开式中含有常数项，故n －3r ＝0有解，所以n 必为3的倍数．故选C 项．
6．在(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 的系数为( ) A ．160 B ．240 C ．360
D ．800
B 解析 把(x 2＋3x ＋2)5看作5个因式(x 2＋3x ＋2)相乘，其中一个因式取3x ，其他4个因式取2，得
C 15·3x ·C 44·
24＝240x ，所以x 的系数为240. 二、填空题
7．在⎝⎛⎭⎫x －1
4x 6的展开式中，x 2的系数为________. 解析 通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6
⎝⎛⎭
⎫－14r x 6－2r ，
令6－2r ＝2⇒r ＝2，x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516
. 答案
15
16
8．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.
解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·
22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·
22＝4. 答案 16 4
9．若n 是7777－10除以19的余数，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52x －253x 2n 的展开式中的常数项为________.
解析 将7777－10变形为(76＋1)77－10，由二项展开式可得余数为10，从而得到⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2n 的展开式的通项T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫52x 10－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－253x 2r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫5210－r ⎝⎛⎭⎫－25r x 53r －10， 令53r －10＝0，得r ＝6，所以T 7＝C 610
⎝⎛⎭⎫524⎝⎛⎭⎫－256＝1685.所以展开式中的常数项为1685. 答案
168
5
三、解答题
10．(1)某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%，求这家公司100天后的股票指数(精确到0.001)．
(2)求证：5151－1能被7整除．
解析 (1)依题意有2(1＋0.2%)100＝2(1＋0.002)100
＝2×[C 0100＋C 1100×0.002＋C 2100×0.0022
＋…]
＝2(1＋0.2＋0.0198＋…)≈2.4396≈2.440， 故100天后，这家公司的股票指数为2.440.
(2)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C 0514951＋C 1514950×2＋…＋C 5051×49×250＋C 5151
×251－1，易知除(C 5151
×251－1)以外各项都能被7整除，又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017×717＋C 117×716＋…＋C 1617×7＋C 1717－1＝7(C 017716＋C 117715＋…＋C 1617
)，显然上式能被7整除，所以5151－1能被7整除．
11．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x －124x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．
解析 依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n ·12
，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122，
所以有2C 1
n ·12
＝1＋C 2n
⎝⎛⎭⎫122， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8(n ＝1 舍去)． 所以展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8
－
k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－124x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 8·x 8－k 2·x －k
4
＝(－1)k
·C k 82k ·x 16－3k
4
.
(1)证明：若第k ＋1项为常数项，当且仅当16－3k
4＝0，即3k ＝16，
因为k ∈Z ，所以上式不可能成立，所以展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k
4
为整数，
因为0≤k ≤8，k ∈Z ，所以k ＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256
x －
2.
12．在(x －2y ＋3z )5的展开式中，求x 3yz 项的系数．
解析 可以把y ，z 看作参数，则T k ＋1＝C k 5x 5－
k (－2y ＋3z )k ，则含x 3的项为C 25
x 3(－2y ＋3z )2，即x 3yz 项的系数为2×(－2)×3×C 25＝－120.
四、选做题
13．已知⎝⎛⎭⎫2－1
x (m ＋x )n (n ∈N *)的展开式中共有7项，且所有项系数和为32，则含x 3项的系数为( )
A ．－15
B ．0
C ．15
D ．20
C 解析 因为展开式的项数共有7项，即⎝⎛⎭⎫2－1
x (m ＋x )n ＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＋a －1x －
1，所以n ＝5.令x ＝1得展开式中所有项系数和为(m ＋1)5＝32，得m ＝1.因为⎝⎛⎭⎫2－1x (1＋x )5＝⎝⎛⎭⎫2－1x ·(C 05·x 5＋C 15·x 4＋C 25·x 3＋C 35·x 2＋C 45·x ＋C 55)，故展开式中含x 3项的系数为－C 15
＋2C 25＝15.故选C 项．
由Ruize收集整理。

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