基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结向量不等式：注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.放缩不等式：①00a b a m >>>>，,则b m b b ma m a a m-+<<-+. 说明：b b m a a m+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈,b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质1函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：(0,,[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．变形：①222()22a b a b ab ++≤≤当a = b 时,222()22a b a b ab ++==注意：(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”.若0x >,则12x x +≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则12x x+≤- 当且仅当1x =-时取“=”若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”.若0>ab ,则2≥+ab ba 当且仅当b a =时取“=”若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11; ,,b a 均为正数,b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ,则222)11(2111b a ba +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”;最值定理积定和最小①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值和定积最大②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s .推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知,若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα==,其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数,在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数,在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x yxy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sincos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =c为定值,0c ≠,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d≠±,则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①对称性a b b a >⇔>②传递性,a b b c a c >>⇒>③可加性a b a c b c >⇔+>+同向可加性d b c a d c b a +>+⇒>>,异向可减性d b c a d c b a ->-⇒<>,④可积性bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤同向正数可乘性0,0a b c d ac bd >>>>⇒> 异向正数可除性0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥平方法则0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦开方法则0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧倒数法则b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,当且仅当a b =时取""=号. 变形公式：22.2a b ab +≤②基本不等式2a b +≥ ()a b R +∈，,当且仅当a b =时取到等号.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③三个正数的算术—几何平均不等式3a b c ++≥()a b c R +∈、、当且仅当a b c ==时取到等号.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，当且仅当a b c ==时取到等号.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> 当且仅当a b c ==时取到等号. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则当仅当a=b 时取等号0,2b a ab a b <+≤-若则当仅当a=b 时取等号 ⑦b a n b n a ma mb a b <++<<++<1,其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈,当且仅当a b =时取""=号.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβ是两个向量,则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.⑧排序不等式排序原理：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列,则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++反序和≤乱序和≤顺序和,当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:特例:凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称fx 为凸或凹函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差,作商法、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项,如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大缩小,如211,(1)k k k <- 211,(1)k kk >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ <≤“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法,其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
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基本不等式知识点总结向量不等式：【注意】： a b r r 、同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r ur u r u r ； a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r ur u r u r ； a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）放缩不等式：①00a b a m >>>>，，则b m b b ma m a a m-+<<-+. 【说明】：b b m a a m+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈，b d ac <，则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>，21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质(1)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．【变形】：①222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）【注意】：(,)2a b ab a b R ++∈≤，2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”*.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）*.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或baa b -≥-11。
*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则222)11(2111b a b a +≥+。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。
最值定理（积定和最小）①,0,2x y x y xy >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值2p ；（和定积最大）②,0,2x y x y xy >+≥由，若和()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s .【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有则的最小值为：21111()()2 (by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=≥④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥，222()22a b a b ++≥不易想到，应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>，且xy e =，求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设,,x a y a αα==，其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44ππ上是减函数；②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)sin cos x y m x y x y xy a αα+=+==.令sin cos 2)4t a πααα=+=+，其中[2,1)(1,1)2]t ∈--U U .由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-，从而22(,)1(1)()m x y a t a t t==--在[2,1)(1,1)2]---U U 上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b-∞上是增函数，在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2b+∞上是增函数.③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数，在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=（d 为定值，111,,x d y ），则.c y x =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d≠±，则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11[0,),(,)d d--+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.。