不等式知识点归纳与总结
授课教案
③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1
-=
n n S S 偶
奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2
1+n n ②()()6
1213212222++=+++n n n n Λ
③()2
2
13213333??
???
?+=++n n n Λ
[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n
a ;
5,55,555,…()1109
5-=?n n a .
2 等比数列 (1)性质
当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2
=a p a q ,数列{ka n },{
∑=k
1
i i
a
}成等比数列。
3 等差、等比数列的应用
(1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等;
(2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1);
若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。
典型例题
例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。
例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{
n
S n
}的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式;
(2)
设1n n n a a 1b +=
,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2
1
<.
例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33,
且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。
例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8
1
,求等差数列的通项a n 。
4 练习
1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和
S n =______。
2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。
3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。
4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。
5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项
b n =a n+1+a n+2(n ∈N +),数列{a n },{b n }的前n 项和分别记为A n ,B n ,试比较A n 与B n 大小。
6 数列{a n }中,a 1=8,a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n (n ∈N +) (1) 求数列{a n }通项公式;
(2) 设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求S n ;
(3)
设)
a 12(n 1
b n n -=
(n ∈N +)T n =b 1+b 2+…+b n ,是否存在最大的整数m ,
使得对于任意的n ∈N +,均有32
m
T n >成立?若存在,求出m 的值;若不
存在,说明理由。
二、不等式章节知识点 1、实数的大小比较法则:
设a ,b ∈R ,则a>b ?;a =b ?;ab ?
定理2(同向传递性) a>b ,b>c ? 定理3 a>b ?a +c > b +c 推论 a>b ,c>d ? 定理4 a>b ,c>0? a>b ,c<0?
推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0,c>d≥0?
推论2 a>b >0 ?n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b >0?>n a n b (n ∈N 且n>1) 3 均值不等式以及灵活变式
设a ,b ∈R ,则○1a 2》0;○2a 2+b 2》0 设a ,b ∈(0,+∞),则
2
b
a +》a
b 2,当且仅当时等式成立。 灵活变式:○1)(2b a +22b a 2
2
+;○2ab 2
b a 2
2
+;○3ab )(2b a +2
;
○
4(a+b )24ab 当且仅当a=b 时,各式中等号成立。
4 例题
例1.设a 、b ∈R +
,试比较2
b
a +,
ab ,2
2
2b a +,b
a 112+的大小.
例2设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b +++=11, a 与b 的大小关系()
A .a >b
B .a
C .a ≤b
D .a ≥b
例3. 函数)(x f =ax 2+bx 满足:1≤)1(-f ≤2,2≤)1(f ≤4,求)2(-f 的取值范围.
5 练习
1、若不等式02<--b ax x 的解集为{32< 2、若a 、b 、c 都是正数,且a +b +c =1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc . 3、已知函数f(x)=x a x x ++22,x ∈[)∞+,1. (1) 当a =2 1时,求函数f(x)的最小值; (2) 若对任意x ∈[)∞+,1,f(x)>0恒成立,求实数a 的取值范围. 4、(2008广东理)若变量x,y 满足 ,则z=3x+2y 的最大值是 ( ) A .90 B. 80 C. 70 D. 40 5、已知x y ∈+ R ,,且14=+y x ,则x y ?的最大值是。 {} 2540A x x x =-+|≤, 6、已知集合 {} 2|220B x x ax a =-++≤,若B A ?,求实数a 的取值范围. 6、一元二次不等式及其解法 会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型,了解一元二次不等式与函数方程的联系;会解一元二次不等式,会由一元二次不等式的解求原不等式;用同解变形解不等式,分类解不等式;对解含参的不等式,对参数进行讨论;注意数形结合,会通过函数图象来解不等式.解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 (1)用图象法解一元二次不等式 (2)弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系 练习 1 不等式2 x x >的解集是( ) A .(0)-∞, B .(01), C .(1)+∞, D .(0)(1)-∞+∞U , , 2 不等式 2 24 1 22x x +-≤ 的解集为. 3 解不等式|5x+1|>2-x 4 已知|x-a|< 2m ε,0<|y-b|<2a ε,y ∈(0,m),求证:|xy-ab|<ε ???? ?? ?≥≥≤+≤+,0,0,502, 402y x y x y x 5 已知a 、b 、c ∈R+,且a+b+c=1.求证: (1+a )(1+b )(1+c )≥8(1-a )(1-b )(1-c ) 6 已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c 不全相等.求证: bc ac ab a b c ++ >a+b+c. 7 已知不等式02 >++c bx ax 的解集为()βα,且βα<<0 求不等式02 >++a bx cx 的解集。 8 方程()0342 =-+-a x ax 的两个根都在区间()1,0内, 求实数a 的取值范围。 9.不等式0)(322>++-a x a a x 的解集为{|x 2 a x <或a x >} 则实数a 的取值范围 . 10 本公司计划20XX 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 11 某化工企业20XX 年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1)求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y (万元); (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备? 课后作业 1.已知函数f (x )=??? ?? x 2 ,x ≤0 2x -1,x >0 ,若f (x )≥1,则x 的取值范围是( ) A .(-∞,-1] B .[1,+∞) C .(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 2.不等式x 2 -ax -b <0的解集为{x |2 -ax -1>0的解集为( ) A .{x |2 ???? x ?? ? 1 3 ???? x ??? -1 2 3.(2009·天津)设函数f (x )=? ?? ?? x 2 -4x +6,x ≥0 x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是 ( ) A .(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C .(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 4.(2009·山东)在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( ) A .(0,2) B .(-2,1) C .(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 5.若-1<a <0,则不等式(x -a )(ax -1)<0的解集为________. 6.已知函数f (x )=(x -2)x 2 -2x -3,则不等式f (x )≥0的解集是________. 7.(2010·辽宁丹东调研)若x ∈R,ax 2 +4x +a ≥-2x 2 +1恒成立,则a 的范围是________. 8.解关于x 的不等式x 2-x +3 x 2+ax >0(a ≠0). 9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>x 的解集为(1,2),若f (x )的最大值大于1,求实数a 的取值范围. 10.(2010·安徽铜陵调研)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策, 现知某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税, 每销售100元要征税R 元(叫做税率R%),则每年的销售收入将减少10R 万瓶,要使每 年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,问R 应怎样确定? 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②(传递性),a b b c a c >>?> ①(对称性)a b b a >?> ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>?∈>且 ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性) 0,0a b a b c d c d >>< > ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>(当且仅当a b c ==时取到等号). ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式: 22 .2 a b ab +≤ ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈,(当且仅当a b c ==时取到等号). ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 ()a b c R + ∈、、(当且仅当 a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号)0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 2 2 .x a x a a x a -<< ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>,,规律:小于1同加则变大, 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式: 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈, (当且仅当a b =时取 ""=号).(即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式:222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式:222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++ 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小) 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一:绝对值三角不等式 1.定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab ≥0时,等号成立. 2.定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c|≤ |a -b|+ |b -c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.知识点二:绝对值不等式的解法 1.不等式|x|a 的解集: 不等式 a>0a =0a<0|x|a {x|x>a ,或x<-a}{x|x ≠0}R 2.|ax +b|≤c(c>0)和|ax +b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax +b|≤c?-c ≤ax +b ≤c; (2)|ax +b|≥c?ax +b ≤-c 或ax +b ≥c. (3)|x -a|+|x -b|≥c(c>0)和|x -a|+|x -b|≤c(c>0)型不等式的解法: 巩固专区:典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析:由|x+1|+ |x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2,故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义; (3)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)x a <表示小于a 的全体实数,在数轴上表示a 左边的所有点,不包括a 在内。 (2)x a ≥表示大于或等于a 的全体实数,在数轴上表示a 右边的所有点,包括a 在内。 (3)()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 (1)基本性质1:若a b <,b c <,则a c <。(不等式的传递性) (2)基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。 ①若a b >,则a c b c +>+,a c b c ->-;②若a b <,则a c b c +<+,a c b c -<-。 (3)基本性质3:①不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立; 若a b >,且0c >,则ac bc >, a b c c >。 ②不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。 若a b >,且0c <,则ac bc <,a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念:不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法:步骤如下 (1)去分母:在不等式两边同乘分母的最小公倍数;(根据基本性质3) (2)去括号:把所有因式展开;(根据单项式乘多项式法则) (3)移项:把含未知数的项移到不等式的左边,不含有未知数的项移到不等式的右边;(根据基本性质2) (4)合并同类项:将所有的同类项合并,得ax b >或ax b <(0a ≠)的形式; (5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数,或乘未知数系数的倒数。(根据基本性质3) 4、一元一次不等式的应用:解有关应用题步骤如下 (1)审题:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”、“不小于”等; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出不等关系; (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式; (5)解:解出所列不等式的解集; (6)答:写出答案,并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1 -= n n S S 偶 奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 (1)性质 当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2 =a p a q ,数列{ka n },{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1); 若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式; (2) 设1n n n a a 1b += ,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33, 且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8 1 ,求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项 期末复习之不等式知识点 2 3 1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x2–(a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0; 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有: 1、讨论a与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题: 例1.已知关于x的不等式 在(–2,0)上恒成立,求实数a的取值范围. ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2.关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立,求a 的取值范围. 4 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 (1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3),a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a =b 时取“=”号). 总结:已知y x ,都是正数,则有 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)如果和y x +是定值s ,那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正,则要加负号,若不定,则要凑定值,若不等,则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z += 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2ab b a b a =+?= ②仅当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1+=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 2.若函数)2(2 1)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值,则=a ( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 3.已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz 的( ) A .最小值为8 B .最大值为8 C .最小值为18 D .最大值为18 4.函数x x y 1+=的值域为 ____________________. 5.在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(= 的图象交于P 、Q 两点,则线段PQ 长的最小值是________. 第三章 不等式 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则) 0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<<>> 2、几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2 a b ab +≤ ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: a b +≥ 2 .2a b ab +?? ≤ ???(也可用柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+) 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则 (当仅当a=b 时取等号) 选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b +≥()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取"" =号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 2 22;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式: 222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③二维形式的三角不等式: ≥1122(,,,). x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式: 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.高中不等式知识点总结
基本不等式知识点和基本题型
不等式知识点汇总
必修五-不等式知识点总结
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不等式知识点归纳与总结
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(完整版)高中数学不等式知识点总结