1、3、3算法案例(进位制)
10.§1.3.3算法案例—进位制
教师课时教案备课人授课时间课题§1.3.3算法案例—进位制课标要求了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
教学目标知识目标了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
技能目标学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
情感态度价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
重点各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一．复习引入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制二．研探新知探究一: 进位制的概念思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数？思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：)(011knnaaaa-其中各个数位上的数字na ,1-na ,…，1a，a的取值范围如何？教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动思考4:十进制数4528表示的数可以写成123108102105104⨯+⨯+⨯+⨯，依此类比，二进制数)2(110011,八进制数)8(7342分别可以写成什么式子？思考5:一般地，如何将k进制数)(011knnaaaa-写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？探究二: k进制化十进制的算法思考1:【例3】二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？思考2:二进制数右数第i位数字ia化为十进制数是什么数？思考3:【例4】运用循环结构，把二进制数)2(011aaaaann-=化为十进制数b的算法步骤如何设计？算法分析：从例3的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如右图：思考6:该程序框图对应的程序如何表述？教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动探究三：除k取余法思考1:二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？【例5】十进制数89化为二进制数是什么数？解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。
1.3.3进位制课件8
进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数 系统。 比如： 满二进一，就是二进制；
满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
基数：
“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
11011 234 89=324（5） 156
（8）
思考：把
化为四,八，十六进制
（2）
数表示
思路一:利用十进制作为中间桥梁转化
思路二:利用4,8,16与2的次方关系直接 转化
小结
一、进位制
anan1L a1a0(k)(0 an k,0 an1,L , a1, a0 k).
二、各进制数之间的转化（只限整数） 1、其它进制数化成十进制数公式 anan1L a1a0(k ) an k n an1 k n1 L a1 k1 a0 k 0 2、十进制数化成k进制数
古巴比仑的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是六十进 位的，计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符 号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形 的，如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达，因而轻视计 算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字， 字母不够就用加符号“‘”等的方法来补充。古罗马采用的是 累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累 积法，到公元七世纪时方采用十进位值制，很可能受到中国的 影响。现通用的印度——阿拉伯数码和记数法，大约在十世纪 时才传到欧洲。
解例：5
把89化为二进制数。
除2取余法
余数
Байду номын сангаас
人教版数学必修三1.3.3算法案例(三)——进位制 课件
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等， 求k的值. 拓展：若已知 132 =30 呢？
(k) (7)
解： 132(k) =30
2
1 k 3 k 2=30 2 即k 3k 28=0
1
Hale Waihona Puke k=4或k= 7(舍去) 故，k的值为4.
如 何 例2、把89化为三进制数 将 89 余数 3 解： 89＝3×29＋2 解： 2 29 十 3 29＝ 3×9＋2 2 9 3 进 9＝ 3× 3＋ 0 3 0 3 制 3＝ 3 × 1＋ 0 1 0 3 数 0 1 1＝ 3× 0＋ 1 转 所以，89=10022（3） 则 89＝ 3×29＋2 化 ＝3×（ 3×9＋2 ）＋2 为 注意： 2×（ 3×3＋0 ）＋2 × 3 ＋2 ＝ 3 三 1.最后一步商为0， ＝将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 33×（ 3× 1 ＋0 ）＋ 0 × 32 ＋ 2 × 3＋2 进 2. 4 ＋ 0 × 3 3＋ 0 × 3 2＋ 2 × 3 ＋ 2 × 3 0 89=10022 制 ＝1×（ 33 ） 所以，89=10022（3） k进制数的方法：除k取余法 数 小结：将十进制数转化为 ?
1.3 算法案例
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.
“满二进一”就是二进制， “满十进一”就是十进制， “满k进一”就是k进制（k叫做基数）. 一小时有六十分 用的是六十进制 一个星期有七天 用的是七进制 一年有十二个月 用的是十二进制 电子计算机 用的是二进制
半斤=八两？
【学习目标】 1、了解进位制的概念，理解各种进位制与十进制 之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联 系进行各种进位制之间的转换. 2、根据对进位制的理解,体会计算机的计数原理； 3、了解进位制的程序框图及程序.
数学《1.3.3 进位制》
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知识探究(一):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什 么数？十进制数89化为二进制数是什么数？
101101(2)=25+23+22+1=45. 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
2.通过k进制数与十进制数的转化，我 们也可以将一个k进制数转化为另一个 不同基数的k进制数.
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5 5 5 5 1Hale Waihona Puke 13871
3
2
1
0
191=1231(5)
1
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思考4:若十进制数 a除以2所得的商是q0，余数是r0， 即a=2· q0+ r0； q0除以2所得的商是q1，余数是r1， 即q0=2· q1+ r1； …… qn-1除以2所得的商是0，余数是rn， 即qn-1= rn， 那么十进制数a化为二进制数是什么数？
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知识探究(二):k进制化十进制的算法
思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十 进制数是什么数？
a i× 2 i－ 1
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理论迁移
例1 将下列各进制数化为十进制数. (1)10303(4) ； (2)1234(5). 10303(4)=1×44+3×42+3×40=307.
1
0
1.3.3算法案例ppt
其它进位制的数又是如何的呢？
二、 二进制
二进制的表示方法 二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
区分的写法：11001（2） 11 (2 1 0 )2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 0 2 1 1 2 0
a n k n a n 1 k n 1 a 1 k 1 a 0 k 0
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数 解：根据进位制的定义可知
11 ( 2 ) 1 0 2 5 1 0 2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 1 1 2 0
89=1011001（2）
练习 将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10
（2）20
3、十进制转换为其它进制
例3 把89化为五进制数
解： 根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
余数
4 2 3
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）1010111（2）=
3、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
1.3.3算法案例 精品教案
【 课 前 准 备 】 电脑，计算器，图形计算器
四、教学过程：
教学 环节
教学内容
师生互 设计意图 动
创设 情景 ，揭 示课
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每 一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位 制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位 制之间又又什么联系呢?
【 教 学 重 点 】 各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
【 教 学 难 点 】 除 k 去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
【 学 法 】在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，
熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除 k 去余法。
本节的重 点。
练习与测试： 1、4511.完成下列进位制之间的转化：
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,
历史
步认识到 计算机与 数学的联
系
概念 深化 及 应用 举例
例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20
小结: (1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
教材 P48 习题 1-3 A 3 补充：设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进
制数，并写出算法语句。
通过学 生思考、 解答交 加 强 学 生 流，教 对 于 概 念 师巡视， 的理解，培 注意个 养 学 生 独 别指导， 立 解 决 问 发 现 普 题的能力， 遍性问 并 加 强 学 题，应 生 的 相 互 及 时 提 纠错能力。 到全体 使 学 生 深 学生面 入 了 解 课 前 供 大 堂内容。 家讨论 学生先 自觉回 通 过 师 生 忆 本 节 合作总结， 收获并 使 学 生 对 交流， 本 节 课 所 教师板 学 的 知 识 书，并 结 构 有 一 加强归 个 明 确 的 纳整理 认识，抓住
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
高中数学 132 进位制课件 新人教A版必修3
最大公约数是( )
A．57
B．3
C．19
D．34
[答案] C
第十一页，共69页。
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3 ＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时的值时，令v0＝a6；v1＝v0x＋ a5；…；v6＝v5x＋a0时，v3的值为( )
A．－9.8205 B．14.25 C．－22.445 D．30.9785 [答案] C
24005(7)＝2×74＋4×73＋0×72＋0×71＋5＝2401， 故七进制数24005(7)化成十进制数为2401.
第三十六页，共69页。
把十进制数化为k进制数 学法指导 十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
第三十七页，共69页。
(1)把十进制数89化为二进制数． (2)将十进制数21化为五进制数．
[答案] 111111(2)
第四十九页，共69页。
[解析] 将题中四个数化为十进制数． 85(9)＝8×91＋6×90＝72＋6＝78； 211(6)＝2×62＋1×6＋1＝72＋7＝79； 1000(4)＝1×43＝64； 111111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.
第五十页，共69页。
[破疑点] 教材中的算法案例进一步体现了编写程序的 基本过程：
①算法分析，将解决实际问题的过程以步骤的形式用文 字语言表述出来．
②画程序框图，把算法分析用程序框和流程线的形式表 达出来．
③编写程序，将程序框图转化为算法语句即程序．
第二十四页，共69页。
以下各数有可能是五进制数的是( ) A．15 B．106 C．731 D．21340 [答案] D
第七页，共69页。
1.3.3进位制
(1)10231(4)＝________(10)；
[ 解析 ] 301(10)， ∴10231(4)＝301(10)． (1)10231(4) ＝ 1×44 ＋ 0×43 ＋ 2×42 ＋ 3×4 ＋ 1 ＝
(2)235(7)＝________(10)；
(2)235(7)＝2×72＋3×7＋5＝124(10)，
∴1010111(2）＝1113(4）．
[点评] 1.k进制之间相互转化可以借助十进制作跳板来 进行． 2．将十进制与k进制相互转换的算法结合在一块，就能 实现非十进制数之间的转换了．
小结作业
1. k进制数使用0～（k-1）共k个数 字，但左侧第一个数位上的数字（首位 数字）不为0.
L a12a a0(k) anna ann„a 2.用 a 表示k进制数，其 -1 1( k ) 中k称为基数，十进制数一般不标注基数.
理论迁移
例1 将十进制数458分别转化为四进 制数和六进制数.
4 458 余数
4
4 4 4
114
28 7
2 2 0 3
1
6 6 6 6
458 76 12 2 0
余数
2 4
0 2
1 0
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数30241（5）转化为七 进制数. 30241（5） =3×54+2×52+4×5+1=1946.
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
思考2:上述化十进制数为二进制数的算 法叫做除2取余法，转化过程有些复杂， 观察下面的算式你有什么发现吗？
2 89 44 2 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 余数 1 0
1、3进位制
例题： 1、把二进制数110011（2）化为十进制数。 2、把89化为二进制数。（除二取余法）
除k取余法
3、把89化为五进制数。
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）1010111（2）=
1、3 算法案例 —进位制
案例4：进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的 计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进 一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制； 等等。也就是说，“满几进一”就是几进制，几 进制的基数就是几。
十进制使用0～9十个数字。十进制的数可表 示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形 式。如：
（10）； （10）； （6）； （7）； （3）；
（4）。
Hale Waihona Puke 3712=3×103+7×102+1×101+2×100
二进制用0和1两个数字，七进制用0～6七个 数字。等等。
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k 为基数的进制数可以表示为一串数字连写在一 起的形式
anan1 a1a0k 0 an k,0 an1, a0 k
其他进制的数也可表示成不同位上数字与基 数的幂的乘积之和的形式。如：
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3、十进制转换为其它进制 例3 把89化为五进制数 解： 根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17 53 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）。
练习：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) (2) 10212(3) (3) 2376(3)
练习：完成下列进位制间的转化
2、十进制转换为二进制 例2 把89化为二进制数
2
89 余数
2 48 1
2 22
0
2 11
0
25
1
注意：
22
1
21
0
01
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）
练习 将下面的十进制数化为二进制数？ （1）10 （2）20 （3）128
（4）256
算法案例
（进位制）
一、进位制
1、什么是进位制？ 2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常 见的进位制？请举例说明． 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是人们为了计数和运算便而约定的 记数系统.“满十进一”就是十进制，“满二
进一”就是二进制，“满k进一”就是k进
制，因此k进制需数k个数字.
(1) 154(6)=_____ (7) (2) 412(5) =_____ (7) (3) 119(10)=_____ (6)
INPUT a, k, n i=1 b=0 t=a MOD 10 DO
b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END
判断下列数表达是否正确？
(1) 12(2) (2) 061(7)
(3) 291(8)
1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如 何构成的？
十进制由两个部分构成
第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数字；(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，
结束
INPUT “a,k=” ;a,k b=0 i=0 DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
INPUT a, k, n i=1 b=0 t=a MOD 10 WHILE i<=n
b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 WEND PRINT b END
开始
输入a,k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r 输出r a=q 否 q=0? 是 ①
① 将依次输出的r从右到左排列
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋＋21
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
8进制呢？ 如7342(8) k进制呢？ anan-1an-2…a2a1(k)？
二、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) 1 25 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 132 116 12 1 51
3个千即3个10的立方
3721 3103 7102 2101 1100
其它进位制的数又是如何的呢？
2、 二进制
（１）二进制的表示方法 二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等
区分的写法：11001（2）或者（11001）2
11001(2) 1 24 1 23 0 22 0 21 1 20
所以，110011（2）=51。
练习 将下面的二进制数化为十进制数？ （1）11 （2）111 （3）1111
（4）11111
2、十进制转换为二进制
(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数)
例2 把89化为二进制数
解： 根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
＝ 2× (2×22＋0)+1
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1 5＝ 2× 2＋1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1