2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测1.3.2秦九韶算法与进位制
高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测：1.3.3算法综合问题
D．至少含两个结构
4．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( C )
A．312 B．1010 C．82 D．74
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◆数学•必修3•(配人教A版)◆ 多层条件结构的嵌套
设计一个计算方程ax2＋bx＋c＝0解的 程序框图．
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2．学习算法不但能发展同学们有条理的思考与表 达的能力，而且能提高逻辑思维能力．程序框图与算法 语句的学习中应注意哪些问题？
解析：在程序框图与算法语句的学习中应注意的问 题主要有：各种框图有其固定的格式和作用，不要乱 用．条件结构中不要忘了“是”与“否”，流程线不要 忘记画箭头，条件分支结构的方向要准确．还有，程序 或程序框图不要出现死循环(无限步的循环)，进位制中， n进位制的数中不会出现大于等于n的数字，等．
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思考应用
1．如何理解现代意义上的算法思想？其基本要求 有哪些？
解析：算法思想通常是指可以用计算机来解决某一 类问题的程序或步骤，指按照一定的步骤，一步一步去 解决某个问题的程序化思想．我们将要学习的很多知识 都可以运用算法思想，设计出程序框图，能使解答过程 一目了然．其基本要求有：①步骤有限步完成；②步骤 确定有效；③步骤有顺序．当然，一类问题的算法往往 不唯一．
3．在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、 操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程．在 具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻 辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．
数学知识点人教A版高中数学必修三1.3《算法案例(秦九韶算法)》word教案-总结
时案例2 秦九韶算法（一）导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.（三）应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k-1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i ＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.（四）知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．（五）拓展提升用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.（六）课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.（七）作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.。
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
人教版数学高一A版必修3学案 1.3.算法案例2
数学学案——秦九韶算法与排序（1）教学目标（a ）知识与技能1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计（3）学法与教学用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。
显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。
人教A版高中数学必修三试卷：1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n-1＋…+a1x＋a0，当x＝x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为A.，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，n2．三个数4 557，1 953，5 115的最大公约数是A.31B.93C.217D.6513．用秦九韶算法，求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4的值时，v4的值为A.－57B.220C.－845D.3 3924．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x).②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x).③需要计算5次乘法，5次加法.马鸣风萧萧马鸣风萧萧④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是________(填序号).5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是____.6．分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数.7．用秦九韶算法计算在时的值，并判断多项式在区间上有没有零点.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；(2)用更相减算术求440与556的最大公约数.能力提升1．用秦九韶算法计算多项式当时的值.2．求612,396,264的最大公约数.1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法详细答案【基础过关】1．D2．B3．B【解析】由秦九韶算法，得υ0＝3，υ1＝3×(－4)＋5＝－7，υ2＝－7×(－4)＋6＝34，υ3＝34×(－4)＋79＝－57，υ4＝－57×(－4)－8＝220.4．②③【解析】本题考查了辗转相除法.①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误.5．62【解析】多项式变形为f(x)=3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，υ0＝3υ1＝3×(－4)＋12＝0，υ2＝0×(－4)＋6＝6，υ3＝6×(－4)＋10＝－14，υ4＝－14×(－4)－8＝48，所以υ4最大，υ3最小，所以υ4－υ3＝48＋14＝62.6．辗转相除法：1 734＝816×2＋102，816＝102×8(余0)，所以1 734与816的最大公约数是102.更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.867－408＝459，马鸣风萧萧马鸣风萧萧459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以1 734与816的最大公约数是51×2＝102. 7．因为2=x ()1)2)0)0)3)0)58((((((12358467+++++++=++++=x x x x x x x x x x x x f 所以80=v21528501=+⨯=+=x v v42221012=⨯=+=x v v873242323=+⨯=+=x v v174287034=⨯=+=x v v348217445=⨯==x v v69822348256=+⨯=+=x v v139712698167=+⨯=+=x v v所以1397)2(=f .又当1-=x 时01)1(<-=-f ，且01397)2(>=f ，所以01397)2()1(<-=-f f所以多项式()x f 在区间[]2,1-上有零点.【解析】本题考查了秦九韶算法.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数如下：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数是84.(2)用更相减损术求440与556的最大公约数如下：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝208，208－116＝92，116－92＝24，92－24＝68， 68－24＝44，44－24＝20，24－20＝4，20－4＝16，16－4＝12，12－4＝8，8－4＝4.所以440与556的最大公约数是4.【能力提升】1．所以所以.【解析】本题考查了秦九韶算法.2．由辗转相除法可得：612=396×1+216；396=216×1+180；216=180×1+36；180=36×5；所以612和396的最大公约数为36，又264=36×7+12；36=12×3，所以264和36的最大公约数为12，综上三个数612,396,264的最大公约数是12. 【解析】本题考查了辗转相除法或更相减损术.马鸣风萧萧。
人教A版必修3 1.3 算法案例训练题及答案
一、选择题（共10小题；共40分）
1.用秦九韶法计算多项式 ，当 时求 的值，需要作乘法和加法的次数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.在秦九韶算法中，用到的一种方法是( )
A.消元B.递推C.回代D.迭代
3.我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中同欧几里得辗转相除法功能相同的是( )
A.割圆术B.更相减损之术C.秦九韶算法D.孙子剩余定理
4. 与 的最大公约数为( )
A. B. C. D.
5.用秦九韶算法求多项式 的值，当 时， 的值为( )
A. B. C. D.
6.下列各进制中，最大的值是( )
A. B. C. D.
7.将 化成四进制数的末位数是( )
A. B. C. D.
8.用秦九韶算法计算多项式 在 时的值为( )
(1)用辗转相除法求 与 的最大公约数．
(2)用秦九韶算法计算函数 当 时的函数值．
20.用辗转相除法求 ， ， 数的最大公约数．
21.用秦九韶算法求 次多项式 当 时的值．
答案
第一部分
1. A2. D3. B4. B5. D
6. D7. A8. A9. C10. D
第二部分
11.
12.
13.
14.
．
从内到外的顺序依次计算一次多项式当 时的值；
， ， ， ， ．
所以，当 时，多项式的值等于 ．
20. (1) ， ， 与 的最大公约数为 ；
又 ， ， ，则 与 的最大公约数是 ．
所以数 ， ， 数的最大公约数是 ．
21. (1) ．
由内而外依次计算，可得 ．
人教A版高中数学必修三试卷：1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．用秦九韶算法求n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n -1＋…+a 1x ＋a 0，当x ＝x 0时，求f (x 0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为A.n(n+1)2，n ，nB.n ，2n ，nC.0，2 n ，nD.0，n ，n2．三个数4 557，1 953，5 115的最大公约数是A.31B.93C.217D.6513．用秦九韶算法，求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6当x ＝－4的值时，v 4的值为A.－57B.220C.－845D.3 392 4．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1在x ＝－2时的值：①第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1.第三步，输出f (x ).②第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝((((7x ＋5)x ＋10)x ＋10)x ＋5)x ＋1.第三步，输出f (x ).③需要计算5次乘法，5次加法.④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是________(填序号).5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，v 0，v 1，v 2，v 3，v 4中最大值与最小值的差是____.6．分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数.7．用秦九韶算法计算f(x)=8x 7+5x 6+3x 4+2x +1在x =2时的值，并判断多项式f(x)在区间[−1,2]上有没有零点.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；(2)用更相减算术求440与556的最大公约数.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 & 能力提升1．用秦九韶算法计算多项式f(x)=x4+2x3+3x2+4x+5当x=3时的值.2．求612,396,264的最大公约数.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法【基础过关】1．D2．B3．B【解析】由秦九韶算法，得υ0＝3，υ1＝3×(－4)＋5＝－7，υ2＝－7×(－4)＋6＝34，υ3＝34×(－4)＋79＝－57，υ4＝－57×(－4)－8＝220.4．②③【解析】本题考查了辗转相除法. ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误.5．62【解析】多项式变形为f(x)=3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，υ0＝3υ1＝3×(－4)＋12＝0，υ2＝0×(－4)＋6＝6，υ3＝6×(－4)＋10＝－14，υ4＝－14×(－4)－8＝48，所以υ4最大，υ3最小，所以υ4－υ3＝48＋14＝62.6．辗转相除法：1 734＝816×2＋102，816＝102×8(余0)，所以1 734与816的最大公约数是102.更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.867－408＝459，鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以1 734与816的最大公约数是51×2＝102.7．因为2=x ()1)2)0)0)3)0)58((((((12358467+++++++=++++=x x x x x x x x x x x x f 所以80=v21528501=+⨯=+=x v v42221012=⨯=+=x v v873242323=+⨯=+=x v v174287034=⨯=+=x v v348217445=⨯==x v v69822348256=+⨯=+=x v v139712698167=+⨯=+=x v v所以1397)2(=f .又当1-=x 时01)1(<-=-f ，且01397)2(>=f ，所以01397)2()1(<-=-f f所以多项式()x f 在区间[]2,1-上有零点.【解析】本题考查了秦九韶算法.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数如下：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数是84.(2)用更相减损术求440与556的最大公约数如下：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝208，208－116＝92，116－92＝24，92－24＝68， 68－24＝44，44－24＝20，24－20＝4，20－4＝16，16－4＝12，12－4＝8，& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &8－4＝4.所以440与556的最大公约数是4.【能力提升】1．f(x)=x4+2x3+3x2+4x+5=(((x+2)x+3)x+4)x+5所以v0=1v1=v0x+2=1×3+2=5v2=v1x+3=3×3+3=12v3=v2x+4=11×3+4=37v4=v3x+5=37×3+5=116所以f(3)=116.【解析】本题考查了秦九韶算法.2．由辗转相除法可得：612=396×1+216；396=216×1+180；216=180×1+36；180=36×5；所以612和396的最大公约数为36，又264=36×7+12；36=12×3，所以264和36的最大公约数为12，综上三个数612,396,264的最大公约数是12.【解析】本题考查了辗转相除法或更相减损术.。
最新人教A版高中数学必修三第1章1.3同步训练习题(含答案解析)
人教A高中数学必修3同步训练1．用更相减损术求294和84地最大公约数时，需做减法地次数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42＝42，故选C.2．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时地值，则需要做乘法运算和加减法运算地次数分别为( )A．4，2 B．5，3C．5，2 D．6，2解析：选 C.f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．3．将二进制数10001(2)化为五进制数为( )A．32(5)B．23(5)C．21(5)D．12(5)解析：选A.将10001(2)化为十进制数为：10001(2)＝1×24＋0×23＋0×22＋0×21＋1×20＝17，将17化为五进制数为32(5)，∴10001(2)＝32(5)．4．378与90地最大公约数为________．解析：辗转相除法：378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，∴378与90地最大公约数是18.答案：181．45和150地最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5，150 B．15，450C．450，15 D．15，150解析：选B.利用辗转相除法求45和150地最大公约数：150＝45×3＋15，45＝15×3，所以45和150地最大公约数为15.所以45和150地最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4地值时，先算地是( )A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析：选D.因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x ＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4地值时，先算地是7×4＋6＝34.3．二进制数算式1010(2)＋10(2)地值是( )A．1011(2)B．1100(2)C．1101(2)D．1000(2)解析：选 B.1010(2)＋10(2)＝(1×23＋0×22＋1×21＋0×20)＋(1×21＋0×20)＝12＝1100，故选(2)B .4．已知一个k进制地数132与十进制地数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．都不对＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋解析：选 C.132(k)2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时地值时，v3地值为( ) A．27 B．11C．109 D．36解析：选D.将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.6．由389化为地四进制数地末位为( ) A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.以4作除数，相应地除法算式为，故选C.∴389＝12011(4)7．七进制数中各个数位上地数字只能是________中地一个．解析：“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大地数字，所以各个数位上地数字只能是0、1、2、3、4、5、6中地一个．答案：0、1、2、3、4、5、68．将八进制数127化成二进制数为________．(8)化为十进制数：解析：先将八进制数127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，127(8)再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．答案：1010111(2) 9．下列各数①111111(2)②210(6)③1000(4)④81(8)最大数为________，最小数为________．解析：可以考虑将①②③④中地数都转换成十进制，那么①中111111(2)＝63；②中210(6)＝78；③中1000(4)＝64；④中81(8)＝65.作比较，可知①地数最小，②地数最大．答案：②①10．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，试用秦九韶算法求f(10)地值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.我们把x＝10代入函数式，得f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.转化为二进制数．11．把110(5)＝1×52＋1×51＋0×50＝30，解：110(5)30＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋0×20＝11110(2)，即110(5)＝11110(2)．12．利用秦九韶算法分别计算f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时地值，并判断多项式f(x)在区间[－1，2]有没有零点．解：∵f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x ＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，且x＝2，∴v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.∴当x＝2时，f(x)＝1397.同理可求当x＝－1时，f(x)＝－1，又∵f(－1)f(2)＝－1397<0，则多项式f(x)在区间[－1，2]上有零点．。
人教A版高中数学必修3同步检测第1章1.3算法案例
第一章算法初步1.3 算法案例A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数为()①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1B．2C．3D．4解析：依据辗转相除法可知，①②④正确，③错误．答案：C2．用更相减损术求48和132的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：132－48＝84，84－48＝36，48－36＝12，36－12＝24，24－12＝12.答案：D3．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4，2 B．5，3 C．5，2 D．6，2解析：f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．答案：C4．已知一个k进制的数123与十进制的数38相等，那么k等于()A．7或5 B．－7C．5 D．都不对解析：(123)(k)＝1×k2＋2×k＋3＝k2＋2k＋3，所以k2＋2k＋3＝38，即k2＋2k－35＝0.解得k＝5或k＝－7(舍去)．答案：C5．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为()A．8 B．55C．56 D．62解析：当题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.答案：B二、填空题6．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________．解析：f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________．解析：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝[(x－2)x－5]x＋6.当x＝10时，f(10)＝[(10－2)×10－5]×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7568．已知1 0b1(2)＝a02(3)，则(a，b)＝________．解析：因为1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，所以2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.因为a∈{1，2}，b∈{0，1}，所以当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，所以a＝1，b＝1.所以(a，b)＝(1，1)．答案：(1，1)三、解答题9．分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数．解：辗转相除法：319＝261×1＋58，261＝58×4＋29，58＝29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，所以319与261的最大公约数是29.10．已知函数f(x)＝x3－3x2－4x＋5，试用秦九韶算法求f(2)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－3x2－4x＋5＝(x2－3x－4)x＋5＝((x－3)x－4)x＋5.把x＝2代入函数式得f(2)＝((2－3)×2－4)×2＋5＝－7.B级能力提升1．m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号ab(MOD m)表示，则下列各式中不正确的为()A．127(MOD 5) B．2110(MOD 3)C．3420(MOD 2) D．477(MOD 40)解析：逐一验证，对于A，12－7＝5是5的倍数；对于B，21－10＝11不是3的倍数；对于C，34－20＝14是2的倍数；对于D，47－7＝40是40的倍数．答案：B2．324，243，135三个数的最大公约数是________．解析：324＝243×1＋81，243＝81×3，所以243与324的最大公约数是81.又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，所以135与81的最大公约数是27.答案：273．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________________．解析：将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，所以33(4)＜12(16)＜25(7)．答案：33(4)＜12(16)＜25(7)。
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4．十进制数是满十进一的原则，同理二进制数是满二进一的原则，要把
十进制数9转化为二进制数，常常用如下方式：9＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20，
因此十进制数9的二进制表示法为＝1001(2)．把十进制数20化为二进制数为(
)
A．10000 (2)
Байду номын сангаас
B．10100(2)
C．11001(2)
D．10001(2)
自测自评
1.关于进位制说法错误的是
D
A.
B.
C .满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几
D.
2．在求高次代数方程根的完整算法时，秦九韶算法要比西方同样的算法
(
)
A．晚五、六百年 B B．早五、六百年
C．早七、八百年
D．晚七、八百年
3．下列各数中最小的一个是(
)
A
A．111111(2)
B．210(6)
B
5．二进制数100001(2)等于十进制数________．
5.33
思考应用 1．设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋……＋a1x＋a0，用秦九韶算法
求当x＝x0时f(x0)的值需要算乘法、加法的次数分别为多少？
解析： 用秦九韶算法求当x＝x0时f(x0)的值需要算乘法n次， 加法n次．
2．秦九韶算法与直接计算相比较有何优点？
祝
您
再见
B．110101(2) D．100001(2)
解析：法一：(除二取余法)53＝2×26＋1， 26＝2×13＋0,13＝2×6＋1,6＝2×3＋0, 3＝2×1＋1， 1＝2×0＋1；余数由后往前写得110101.
法二： 答案：B
跟踪训练 2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n位)a＝anan－1…a3a2a1(k)＝
解析：秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系 数一起逐次增长幂次，大大节省了乘法的次数，使计算量减小，并且 逻辑结构简单，从而可提高计算的精度．
3．如何理解进位制？ k进制数如何转换成十进制数？
解析：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同 的数值．可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即称k进制．k进制需要 使用k个数字．k进制转换十进制的方法：先把这个k进制数写成用各位上的数 字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
C．1000(4)
D．81(8)
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x
＝－4时的值时，V3的值为(
)
A．－144
B．－136
B
C．－57
D．34
用秦九韶算法求函数值
用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x6－3x5＋4x4－x3＋2x2＋x－3， 当x＝2时的值．
)
A．6,6
B．5,6
A
C．5,5 D．6,5
秦九韶算法的程序框图与程序
设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5＋a4x4＋a3x3 ＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0时的值的程序框图．
解析：程序框图如下：
十进制数与二进制数的互化
把十进制数53化为二进制数为( )
A．101101(2) C．110001(2)
十进制数与其它进制数的互化 把十进制数53化为八进制数为_______． 65(8)
跟踪训练 3．把十进制数53化为五进制数为________． 解析：
答案：203(5)
1．秦九韶算法的优点是能大量减少计算量，对相应的程序框图不 作具体要求．
2．进位制是十分重要的知识点，要求掌握不同进位制的转换．
表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如111001(2)表示二进制 数，34(5)表示5进制数．
电子计算机一般都使用二进制，下面我们来进行二进制与十进制之间的转 化
例如：十进制3的二进制表示方法为________． 11(2)
3．二进制数111(2)在十进制中表示哪个数？______
3.7
解析：f(x)＝((((((2x－3)x＋4)x－1)x＋2)x＋1)x－3)
因为V0＝2，V1＝1，V2＝6，V3＝11，V4＝24， 所以f(2)＝95.
V5＝49，V6＝95，
跟踪训练
1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1
当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为(
解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1 ＝(((x－2)x＋1)x－1)＝1.
2．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数 值．可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进 制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数．
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57，可 以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它 们所代表的数值都是一样的．
基础梳理
1．秦九韶计算多项式的方法 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝…… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用秦九韶算法求这 个多项式当x＝2时的值．
ank(n－1)＋an－1k(n－2)＋…＋a3k2＋a2k1＋a1k0的算法步骤．
解析：算法步骤： 第一步，输入a，k和n的值． 第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1. 第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1. 第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否则返回第三步． 第五步，输出b的值．