高中数学常见题型解法归纳 - 四种算法案例
高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！
高中数学各大题型详细解题方法总结，建议高考生收藏！高考数学大题考查的包括三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、函数与导数。
每类题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法：三角函数三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。
1. 解三角形不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。
所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。
至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。
2. 三角函数然后求解需要求的。
套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。
解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。
化简成：掌握以上公式，足够了。
关于题型，见下图：立体几何立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。
这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。
这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。
这两种方法各有利弊。
向量法：使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。
缺点就是计算量大，且容易出错。
使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。
建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。
其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。
箭头指的是利用前面的方法求解。
如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。
传统法：在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。
但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。
所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
另外，还有一类题，是求点到平面距离的，这类题百分之百用等体积法求解。
数列从这里开始，会明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，解决这类题目并不困难。
高中数学数列题型归纳及解题方法梳理
1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。
（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
高中数学之算法案例
算法案例（讲义）➢ 知识点睛典型算法举例： 1. 辗转相除法①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数．②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法把一个n 次多项式改写成如下形式：1110121102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++……………… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式．110()n n k a a a a -…11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，）②进位制数相互转化：k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，重复操作求和．十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）．➢ 精讲精练1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数：（1）459和357的最大公约数是____________；余数2222222012511224489（2）三个数324243135，，的最大公约数是____________．2. 用秦九韶算法求多项式的值：（1）计算多项式x x x x x x x f 876543)(23456+++++=在1.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_______，_______；（2）求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在x =-4的值时，4v 的值为_______；（3）计算多项式5432()853261f x x x x x x =+++++，当2x =时的值为________． 3. 完成下列进制的转化：(3)(10)10202____=； (10)__________(8)101=；1231(5)=_____________(7)．4. 三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（ ）A ．322B ．402C ．342D ．3655. 在下列各数中，最小的数是（ ）A ．)9(85B ．)6(210C ．)4(1000D ．(2)1111116. 已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，按照从小到大的顺序排列为________________．7. 已知()175r =(10)125，则r =________．8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 的值分别为14，18，则输出的a 的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．149. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ） A ．35B ．20C ．18D ．910.下面是把二进制数(2)11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．5i>？B．4i≤？C．4i>？D．5i≤？11.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．715816P<≤B．1516P>C．3748P<≤D．715816P<≤12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=________．13. 已知函数232 1 01 012 1x x y x x x x x -<⎧⎪=+<⎨⎪+⎩≤≥（）（）（），写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．14. 设计一算法，求使20063212222>++++n Λ成立的最小正整数n 的值.15.设计算法计算：1112131415167S=++++++，画出程序框图．【参考答案】1. （1）51；（2）272. （1）6；5；（2）220；（3）3813. 101 145 3624. C5. D6. (4)(16)(7)331225<<7. 88. B9. C 10. C 11. C 12. 495 13. 略 14. 略 15. 略算法案例（随堂测试）1. 372和684的最大公约数是（ ）A ．36B ．186C ．12D ．5892. 用秦九韶算法计算多项式65432()3567983512f x x x x x x x =+++-++在x =-4时的值时，v 2的值为（ ）A ．-57B ．-22C ．34D ．743. 1234（8）=________（10）；300=________（5）；300=_______（6）．4. 设计一个算法，输入正整数n ，输出111123n++++…．【参考答案】1. C2. C3. 668；2 200；1 2204. 略算法案例（习题）➢ 巩固练习5. 求下列数的最大公约数：（1）1 443与999的最大公约数是_____________；（2）319，377，116的最大公约数是___________．6. 用秦九韶算法求n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++…，当x =x 0时，0()f x 需要算乘法、加法的次数分别为（ ） A ．n 2，nB ．2n ，nC ．n ，2nD ．n ，n7.已知532=++++，运用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）()231f x x x x xA．27 B．11 C．109 D．368.用秦九韶算法求多项式765432=++++++在x=3时的值为________．()765432f x x x x x x x x9.把21化为二进制数，则此数为（）A．10011（2）B．10110（2）C．10101（2）D．11001（2）10.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．711.下列各数中，最小的数是（）A．75B．210（6）C．111111（2）D．85（9）12.若a=33（10），b=52（6），c=11111（2），则三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c13.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．34第9题图第10题图14.如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）A．11112310++++…B．11113519++++…C．111124620++++…D．231011112222++++…15.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？11第11题图 第12题图16. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A ．S ≤34？B ．S ≤56？C ．S ≤1112？ D ．S ≤1524？17. 设计一个算法，输入两个数，输出两个数中较大的一个．18.已知函数21111131x x y x x x x ⎧-<-⎪=+-⎨⎪+>≤≤（）（）（），试画出求函数值的程序框图．19. 对任意给定的正整数n ，写出一个求13+23+33+…+n 3的算法程序框图．20.设计算法求111112233499100++++⨯⨯⨯⨯…的值，要求画出程序框图．【参考答案】1.（1）111 （2）292.D3.D4.213245.C6.D7.C8.D9.C10.C11.A12.C13.略14.略15.略16.略12。
解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路
解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路高中数学作为学生普遍认为比较困难的学科之一，经常让同学们感到头疼。
在高中数学学习的过程中，我们会遇到各种不同的题型，有些题目看似简单，实际上需要通过一定的方法和技巧来解答。
本文将针对高中数学常见题型进行解析，并给出实例解答的技巧和思路。
一、代数方程题代数方程题在高中数学中属于基础题型，但也是容易出错的题目之一。
对于一些常见的代数方程题，我们可以采用以下技巧和思路进行解答。
1. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最基本的代数方程类型。
在解一次方程时，我们可以通过逆向思维来确定未知数的值，即从已知的结果逆推回去。
而对于二次方程，可以利用求根公式或配方法等方式来求解。
2. 分式方程分式方程在解题时需要注意分母不能为零，可以通过通分、消分母等方法来简化方程，进而求解未知数的值。
3. 绝对值方程绝对值方程可以通过分情况讨论的方式来解答。
要注意绝对值的取值范围和绝对值函数的性质。
二、几何题几何题在高中数学中占据重要地位，解几何题需要掌握一定的几何知识和技巧。
以下是一些常见的几何题的解答技巧和思路。
1. 直线与圆的相交问题当直线与圆相交时，我们可以利用相切线的性质和角的性质来解答。
对于特殊情况，如直径、垂径等，需要注意对应的特殊性质。
2. 三角形的面积问题解三角形的面积问题时，可以利用海伦公式、正弦定理、余弦定理等几何定理来求解。
同时要注意计算时的单位换算和精度控制。
3. 圆锥与球的体积问题解圆锥和球的体积问题时，可以利用体积公式进行计算。
要注意单位的统一，对于圆锥的特殊情况如棱锥、斜锥等，需要注意对应的计算方法。
三、概率题概率题是高中数学中的一类难点题型，需要运用概率知识和统计方法来解答。
以下是一些常见的概率题的解答技巧和思路。
1. 条件概率解条件概率题时，需要根据已知条件计算出对应的概率。
可以利用条件概率公式和全概率公式来求解。
2. 排列组合与概率在一些涉及排列组合的概率题中，我们可以通过计算不重复的事件数和总事件数来计算概率。
高中数学常见题型解法归纳 斜二测画法直观图的面积的求法
高中数学常见题型解法归纳斜二测画法直观图的面积的求法的面积S可以用等腰梯形的面积公式求解，即S=（上底+下底）×高÷2.例1】画一个边长为2的正三角形的斜二测直观图，用公式法求此直观图面积.解：首先求出原图形的面积S.由于是正三角形，所以S=√3÷4×2²=√3.代入公式S直观图=2S÷4=√3÷2，即可求出直观图面积为√3÷2.点评】公式法比直接法简洁，但需要先求出原图形的面积，再代入公式求解直观图面积.反馈检测1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，求原来图形的面积.解：设原图形上底为a，下底为b，高为h，则根据等腰梯形的面积公式可得S=(a+b)×h÷2.由于直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，所以直观图的面积为√2÷2.代入公式S直观图=2S÷4，即可求得原图形的面积S=√2÷2.已知正三角形ABC的边长为2a，求其平面直观图△A'B'C'的面积。
根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，直观图的面积为：S直观图=S原图/4=√3/4*(2a)^2/4=3a^2/4.所以，答案为A。
3a^2/4.另一个题目是利用斜二测画法，已知一个平面图形的直观图是边长为1的正方形，求该平面图形的面积。
根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，原图的面积为：S原图=S直观图*4=1*4=4.所以，答案为D。
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极值点偏移四种题型的解法及例题
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。
而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。
本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。
在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。
但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。
比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。
令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。
根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。
但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。
也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。
这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。
当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。
而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。
则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。
问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
高中数学解多项式方程题型详解
高中数学解多项式方程题型详解在高中数学中，解多项式方程是一个重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。
本文将详细介绍几种常见的多项式方程题型，并给出解题方法和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
一、线性多项式方程线性多项式方程是最简单的多项式方程形式，其解法也相对简单。
例如，解方程2x + 3 = 7。
解法：首先将方程转化为标准形式，即将常数项移到等号右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
然后将方程两边同除以2，得到x = 2。
因此，方程的解为x = 2。
对于线性多项式方程，解题的关键是将方程转化为标准形式，然后通过移项、合并同类项等基本运算，得到未知数的值。
二、二次多项式方程二次多项式方程是高中数学中常见的一类多项式方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数。
例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
解法：首先观察方程的形式，发现该方程可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零乘法则，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0，即x = 2或x = 3。
因此，方程的解为x = 2或x = 3。
对于二次多项式方程，解题的关键是观察方程的形式，尝试因式分解，找到方程的根。
三、高次多项式方程高次多项式方程是指次数大于2的多项式方程，解题相对复杂。
例如，解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0。
解法：对于高次多项式方程，通常需要使用数值方法或图像法求解。
其中，牛顿迭代法是一种常用的数值方法，可以通过迭代逼近的方式求得方程的近似解。
图像法则是通过绘制方程的图像，观察曲线与x轴的交点来确定方程的根。
对于高次多项式方程，解题的关键是灵活运用数值方法和图像法，通过逼近和观察来确定方程的根。
综上所述，解多项式方程是高中数学中的重要内容，也是学生们需要掌握的基本技能。
通过对线性多项式方程、二次多项式方程和高次多项式方程的解题方法和技巧的介绍，希望能够帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
高中数学题型归纳及方法
高中数学题型归纳及方法一、函数题型。
1. 求函数定义域题型。
题目：求函数y = (1)/(√(x 1))+ln(x + 2)的定义域。
解析：对于(1)/(√(x 1))，要使根式有意义，则根号下的数大于0，即x 1>0，解得x>1。
对于ln(x + 2)，对数函数中真数大于0，即x+2>0，解得x > 2。
综合起来，函数的定义域为x>1。
2. 函数单调性判断题型。
题目：判断函数y = x^2-2x + 3在(-∞,1)上的单调性。
解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴为x =-(b)/(2a)。
在函数y = x^2-2x + 3中，a = 1，b=-2，对称轴x = 1。
因为a = 1>0，二次函数开口向上，所以在对称轴左侧(-∞,1)上函数单调递减。
二、三角函数题型。
3. 三角函数化简求值题型。
题目：化简sin(α+β)cosβ-cos(α +β)sinβ并求值（已知α=(π)/(3)）。
解析：根据两角差的正弦公式sin(A B)=sin Acos B-cos Asin B，这里A=α+β，B = β，所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα。
当α=(π)/(3)时，sinα=(√(3))/(2)。
4. 三角函数图象平移题型。
题目：将函数y=sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），求得到的函数解析式。
解析：将y = sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，根据“左加右减”原则，得到y=sin(x+(π)/(3))的图象。
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则x的系数变为原来的(1)/(2)，得到y=sin((1)/(2)x+(π)/(3))。
三、数列题型。
5. 等差数列通项公式求题型。
题目：已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d = 3，求其通项公式a_n。
高中数学21种解题方法及例题
高中数学21种解题方法及例题高中数学是一门很重要的学科，也是很多学生觉得困难的学科之一。
在解题的过程中，学生通常需要掌握一些解题方法和技巧。
下面我将介绍高中数学中常用的21种解题方法，并给出相应的例题。
1.立体几何解题方法：首先根据题目要求，画出几何图形；然后根据图形的特点，运用相应的几何定理和计算公式，推导出求解所需的等式或关系式；最后代入数据进行计算。
例题：已知正方体的体积是64立方厘米，求正方体的边长。
2.二次函数解题方法：首先确定二次函数的类型，如抛物线开口方向等；然后根据题目要求，列出方程或不等式；最后解方程或不等式，求解出未知数。
例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(-1, 2)和(2, 5)，且在x=1处取得最小值2，求a、b、c的值。
3.反证法解题方法：假设所要证明的结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明假设不成立，即所要证明的结论成立。
例题：证明根号2是无理数。
4.分析法解题方法：根据题目所给的条件，逐步分析问题，提取并利用条件之间的关系，推导出所要求的结论。
例题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD交于点O，设∠ACD=m，求∠BOD的度数。
5.数字特征解题法：根据题目要求，进行分析，找出问题中的数字特征，并利用特征进行计算或推导。
例题：设a，b，c均为正数，且满足等式a+b+c=1，求最大值3a²+6b+9c²。
6.整体与部分解题方法：把题目所给的整体看成若干个部分，通过对部分的分析和计算，得到整体的结论。
例题：某数的20%是30，求这个数。
7.函数与方程解题方法：根据题目要求，根据函数或方程的性质和变化规律，列出方程或不等式，最后求解未知数。
例题：已知函数f(x)=ax²+bx+c与y轴交于点A，与曲线y=x²交于点B和C，且B(1, 1)，求方程f(x)=0的两个根的和的倒数。
8.逐次逼近法解题方法：通过逐步逼近，不断缩小求解范围，最终得到所要求解的值。
高中数学_算法案例
算法案例知识图谱算法案例知识精讲一．更相减损术应用：求两个整数的最大公约数的算法更相减损术的步骤：1.任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．2.以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数为止，则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．说明：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：，，，，，，，，(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．二．辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．辗转相除法的步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．以求117和182的最大公约数为例：，，，，，,故13即为所求．→→→→(117182)(11765)(6552)(5213)(130)三．秦九韶算法—求多项式的值的算法应用：快速的求解对于任意一个n次的多项式在某点所取到的值.秦九韶算法：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下．对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++ ，求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+．这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值．令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++ ，则递推公式为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中12k n = ，，，．到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1.直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++= ，加法次数n ；2.逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．3.秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．<备注>秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现．利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n ．三点剖析一．注意事项1.辗转相除法与更相减损术联系（1）都是求最大公约数的方法，计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差距较大时，计算次数的区别比较明显；（2）从结果的体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为零而得到，而更相减损术则是以减数与差相等而得到；（3）辗转相除法与更相减损术是统一的，因为做一次除法与做若干次减法的效果相同.二．方法点拨1.两个整数的最大公约数是两个整数的公约数中最大的数，与此类似，两个整数的最小公倍数是两个整数的公倍数中最小的数.2.穷举法是将集合中的元素进行一一列举，逐个条件进行验证，知道找出满足条件的元素为止，穷举法可以解决所有问题看，但是一般来说常常可以用来解决一些无规律可循的问题，例如求不定方程的解或者不定方程组的解，运用穷举法思想设计算法时，常常采用循环结构，将验证条件为循环结构的判断条件，将每一个元素作为循环体.求两个正整数的最大公约数例题1、8251与6105的最大公约数是____．例题2、用更相减损来求80和36的最大公约数？例题3、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练1、两个数153和119的最大公约数是______________．随练2、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练3、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？秦九韶算法例题1、用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2-3x-1，当x=2时的值，则v3=______例题2、使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5-2x4+5x3-7x2-2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为________随练1、用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值，v2的结果是______随练2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3-2x2-x-1在x=-4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是_______拓展1、用更相减损术求78和36的最大公约数_________．2、三个数208，351，429的最大公约数是（）A.65B.91C.26D.133、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3B.9C.17D.514、用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，其中V1的值=_______5、用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是。
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高中数学常见题型解法归纳 - 四种算法案例
【知识要点】
算法案例有辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法和进位制.
一、辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：
① 输入两个正整数m 和n ；
② 求余数r ：计算m 除以n ，将所得余数存放到变量r 中；
③更新被除数和余数：m =n ，n =r ；
④判断余数r 是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行
如此循环，直到得到结果为止.
例：利用辗转相除法求6105与2146的最大公约数
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0 最后的除数37是6105与2146的最大公约数.
二、更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.在《九章算术》中记
载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
解题步骤：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止,则这个相等的数就是所求的最大公约数.
例：用更相减损术求98与63的最大公约数
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7
所以98和63的最大公约数是7.
三、秦九韶算法
秦九韶算法适用一般的多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++
的求值问题.用秦九韶算法求一般多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++.当0x x =时的函
数值，可把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题，即求
0n v a = 1v =x v 0+1-n a 2v =1v x +2n a - 3v =2v x +3n a - …… n v =x v n 1-+n a
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.
用秦九韶算法求一般多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++.当0x x =时的函数值，需
要n 次乘法运算，n 次加法运算.
四、进位制
1、概念
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数.
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.
一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：
110()110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
2、进位制间的转换
（1）非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
0111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n n n n n +⨯++⨯+⨯=---
（2）把十进制数转换为k 进制数，一般利用 “除k 取余法”.
例：把89化为二进制数.
2|892|44
12|22
02|11
02|5
12|2
12|1
02|01↑↑↑↑↑↑↑余数
所以289=1011001（）
注意：利用除k 取余法解答时，最后的余数是从下往上写，不要从上往下写.
（3）非十进制之间的转换，先把它转换成十进制，再把十进制转换成其他进制.
【方法讲评】
【例1】数4557,1953,5115的最大公约数是（
）
A ．31
B ．93
C ．217
D ．651
【点评】求三个数的最大公约数，可以先求其中两个数的最大公约数，再求另外两个数的最大公约数，再求这两个最大公约数的最大公约数.
【反馈检测1】三个数390, 455, 546的最大公约数是 （ ）
A.65
B.91
C.26
D.13
【例2】根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．求得144，28的最大公约数为 （ ）
A ．4
B ．2
C ．0
D ．14
【解析】14428116,1162888,882860,602832,32284,-=-=-=-=-=
28424,24420,-=-= 20416,16412,1248,844-=-=-=-=，所以最大公约数是4.
【点评】本题就是利用更相减损术求的最大公约数，也可以利用辗转相除法求解.
【反馈检测2】459和357的最大公约数是（ ）
A ．3
B ．9
C ．17
D ．51
【例3】已知532
()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算当3x =时3v 的值为_________.
【点评】121210()n n n n f x a x a x a x a x a --=+++++利用秦九韶算法要经过n 次乘法和n 次加法.在利
用秦九韶算法计算时，必须把缺的项补充起来，缺的指数幂的项的系数为零即可，并按照降幂排列.
【反馈检测3】用秦九韶算法计算多项式34
()1232f x x x x =+-+当1x =-时的值时，2v 的结果为______.
A ．4-
B ．1-
C ．5
D ．6
【例4】将二进制数)2(11100转化为四进制数，正确的是（ ）
A ．)4(120
B ．)4(130
C ．)4(200
D ．)4(202
【点评】非十进制之间的转换，先把它转换成十进制，再把十进制转换成其他进制.
【反馈检测4】若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239,则=k .
参考答案
【反馈检测1答案】13
【反馈检测2答案】51
【反馈检测2详细解析】由更相减损术知
459357102;357102255;255102153;15310251;1025151-=-=-=-=-=，所以最大公约数为51．
【反馈检测3答案】C
【反馈检测3详细解析】34432()123223021f x x x x x x x x =+-+=-+⨯++ (((23)0)2)1x x x x =-+++
1x =-时，1235v x =-=- ；2105(1)+0=5v v x =+=-⨯- .故选C .
【反馈检测4答案】3
【反馈检测4详细解析】由题3210(6)1051606656239k k =⨯+⨯+⨯+⨯=， 2216239,3k k +==。