平方差公式优质课课件
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《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
平方差公式上课课件
04
平方差公式的常见应用
整数幂次方计算
总结词
高效、准确
详细描述
平方差公式可以用于计算整数的幂次方，通过拆分幂次方为两个因式相乘，可以快速得到结果，例如 计算4的3次方，可以拆分为4乘以4乘以4，即4^3 = 4 * 4 * 4 = 64。
分数的平方计算
总结词
简单、方便
VS
详细描述
平方差公式可以用于分数的平方计算，通 过将分数拆分为两个数相乘，可以快速得 到分数的平方值，例如计算2/3的平方， 可以拆分为(2/3)乘以(2/3)，即(2/3)^2 = (2/3) * (2/3) = 4/9。
式，例如微积分中的泰勒级数展开等。
06
总结与回顾
重点回顾
平方差公式的定义和公式 平方差公式的应用范围和条件
平方差公式的证明方法
学生互动环节
学生自我介绍和分享学习心得 学生提问和回答问题
学生小组讨论和展示成果
下课预告
下节课的主题和时间安排 提醒学生做好预习和准备
鼓励学生在课后继续学习和探索
感谢您的观看
完全平方公式
完全平方公式概述
完全平方公式是一个基本的数学公式，它描 述了一个数的平方与另外两个数的平方和的 关系。这个公式在代数、几何和三角函数等 领域都有广泛的应用。
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用于解决一些涉及到平方 的数学问题，例如求解一元二次方程、计算 三角形的面积等。它还可以用于进行一些复 杂的数学运算，例如简化分式的分子和分母 等。
幂的运算法则
幂的运算法则概述
幂的运算法则是数学中的一个基本法则，它 描述了幂的一些运算性质。这个法则可以用 于进行一些复杂的数学运算，例如求解高次 方程、计算阶乘等。
《平方差公式》优质课件
培养学生的数学思维和问题解决能力。
课件目标
能够熟练运用平方差公式解决各种问题 。
理解平方差公式的概念和基本性质。
平方差公式的定义和应用领域
平方差公式的定义
平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项 互为相反数。相乘的结果为：右边是乘式中两项中相同项的平方减去相反项的 平方。
步骤四
合并同类项，即 $-ab$ 和 $ab$ 相消，得 到 $a^2 - b^2$。
综合以上步骤，得出 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，即为平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的应用实例
在代数运算中的应用
01
02
03
简化计算
利用平方差公式，可以将 一些复杂的代数式简化， 从而更容易进行计算，提 高效率。
乘法分配律
$(a+b)(c)=ac+bc$，乘法分配律是 平方差公式的基础，平方差公式可 看作乘法分配律的特例。
平方差公式的深入拓展与研究
高次幂的差分
通过反复利用平方差公式，可以求出 高次幂的差分，例如 $a^n-b^n$ 的 形式。
在解析几何中的应用
平方差公式在解析几何中求解两点间 距离等问题时有着广泛应用。
综合应用题
设计一些涉及平方差公式的综合应用题，引导学 生在实际问题中运用所学知识。
思考题
提出一些有关平方差公式的思考题，供学有余力 的学生深入探究。
自主学习与拓展阅读建议
01
自主学习建议
鼓励学生通过查找资料、观看视频等方式，自主学习与平方差公式相关
的拓展知识。
02
拓展阅读材料
推荐一些与平方差公式相关的优秀教材、论文或网络资源，供学生自主
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式》公开课一等奖课件
=x4-y4
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 解：原式= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8) =(x8－y8 )(x8+y8) =x16－y16
（3） (3a＋b＋c)(3a＋b－c) 解：原式=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
（1）解：原式=(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996
例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
运用平方差公式计算：P108 (1) (a+3b)(a-3b） (2) (3+2a)(-3+2a）
( a+b) ( a − b) = a2 − b2 解：(1) (3x+2)(3x − 2）=(3x)2−22
= 9x2 − 4
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x − 2）
(2) (b+2a)(2a − b） (3) (− x+2y)(− x − 2y） 分析：在（2）中，可以把（ 2a）看成a, （ b ）看成b 解：(2) (b+2a)(2a − b）=(2a+b)(2a − b）
(相同项)2 （相反项）2
判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 解：原式= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8) =(x8－y8 )(x8+y8) =x16－y16
（3） (3a＋b＋c)(3a＋b－c) 解：原式=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
（1）解：原式=(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996
例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
运用平方差公式计算：P108 (1) (a+3b)(a-3b） (2) (3+2a)(-3+2a）
( a+b) ( a − b) = a2 − b2 解：(1) (3x+2)(3x − 2）=(3x)2−22
= 9x2 − 4
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x − 2）
(2) (b+2a)(2a − b） (3) (− x+2y)(− x − 2y） 分析：在（2）中，可以把（ 2a）看成a, （ b ）看成b 解：(2) (b+2a)(2a − b）=(2a+b)(2a − b）
(相同项)2 （相反项）2
判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
平方差公式 优质课获奖课件
14．3
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
《平方差公式》优质课一等奖课件
观察这些结 果，你发现 了什么规律 ？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)(a-b) =
相加和为0
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
例1 运用平方差公式计算：
人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
难点：平方差公式的结构特征，能运 用公式进行简单的计算
目录
1 复习导入 3 课堂练习
2 课堂讲解 4 课堂小结
导入
请快速的计算98×102=？
98×102 =（100-2）（100+2） =1002-22 =10000-4 =9996
运算结果（注意符号变化）
=（-3x)2-22=9x2－4 =(-3x)2-(2y)2=9x2 - 4y2 =(-2a)2-b2=4a2－b2 =(-7m)2-(8n)2=49m2－64n2
课后小练
3.用简便方法计算: 20202-2019×2021
课堂小结
043 学而时习之，不亦说乎
一同一反=同方-反方
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am + an + bm + bn
计算：
探索平方差公式
1）(x+1)(x-1) = 2）(m+2)(m-2) = 3）(2x+1)(2x-1) =
相加和为0 相加和为0 相加和为0
《平方差公式》优质课教学一等奖课件
(1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
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2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
平方差公式优质课课件
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
平方差公式优质课课件
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式 平方差公式优质课课件
拓展提升
利用平方差公式计算:
ห้องสมุดไป่ตู้
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
解：（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
=(2000 −8) ×(2000+8 )
=(40 −0.2) ×(40+0.2 )
=20002 −82 =4000 000−64
=402 −0.22 =1600−0.04
=3 999 936
=1599.96
平方差公式优质课课件
=( 2 x)2 – y2 3
=
4 9
x2 -
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
平方差公式优质课课件
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
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助学解疑
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做一做
计算下列各题 :(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ;
(2) (1+2a)(1−2a) ；=1−2−4(a22a;)2 ; (3) (x+4y)(x−4y) ；==xx2−2−(41y6)y22 ;; (4) (y+5z)(y−5z) =；=yy22−−(255zz)2 ;.
(5)(a+b)(-a-b)= ____________不___能_
(6)(a-b)(-a+b)=平方差公_式_优__质_课_课_件______不___能
纠错.互教
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小明的计算正确吗？如果不正确应怎样改正？ 解：(1) (-3a-2)(3a-2) 改正：解：(1) (-3a-2)(3a-2)
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寄语
如果你智慧的双眼善于观察，善 于发现，那你一定会觉得数学就在我 们的身边。
老师相信：你辛勤的汗水一定会 浇灌出智慧的花朵！
平方差公式优质课课件
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25 平方差公式优质课课件
2 利用平方差公式计算：[]
= 9a2 - 4 ( )
(2) ( 2 x-y)( 2 x+y)
3
3
=
2 x2 – 3
y2
(
)
(3) (2a-3b)(3b+2a)
= (-2-3a)(-2+3a) = (-2)2 - (3a)2 = 4 - 9a2
(2) ( 2 x-y)( 2 x+y)
3
3
= (2a-3b)(2a+3b) = 4a2 - 3b ( )
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16
平方差公式优质课课件
1.计算 20042 － 2解0：032×0024020－5; 2003×2005
= 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042 － （20042－12 )
= 20042 － 20042+12 =1 2.计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
通过计算，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
2猜想：(a + b)(a － b)=—a—2—－—b—2—.
平方差公式优质课课件
(a + b)(a － b)=a2－b2.
证明：
(a+b)(a－b)
a2a ba bb2 （多项式乘法法则）
a2b2
（合并同类项）
∴(a + b)(a － b)=a2－b2.
给我最大快乐的，不是已懂的知识， 而是不断的学习.----
平方差公式优质课课件
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
平方差公式优质课课件
你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(ab)a (b) a2b2
平方差公式优质课课件
平方差公式 两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方差.
相同为a
相同项平方减去相反项 的平方
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b 相同项的平方 相反项的平方
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
注：这里的两数可以是两个数字，也可以是两
个整式等等．
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运用新知:
能否运用公式，若能直接说出结果
(l)(-a+b)(a+b)= ____b__2-_a__2 (2)(a-b)(b+a)= ______a_2_-_b_2 (3)(-a-b)(-a+b)= _____a_2_-_b2 (4)(a-b)(-a-b)= ______b_2_-_a2
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14.2.1 平方差公式
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1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算 ．
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【预习导学】
自学指导:
自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌握平方差 公式，完成 P108页的练习1，2两题
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【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
点拨精讲：可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方
差公式结构。
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解:10.2×9.8 = (1 0 0.2)(1 0 0.2) =1020.22 =100-0.04 =99.96(元).