【人教A版】高中选修2-1数学：2.4.1-抛物线及其标准方程-教学课件
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.4 2.4.1抛物线及其标准方程 (共55张PPT)
高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.1 抛物线及其标准方程(共23张ppt)
立直角坐标系xOy.
· H yd M（x,y） K O··F x
设M（x，y）是抛物线上任意一点，
点M到l的距离为d．
l
设 F K p（p＞0），
则 焦 点 F的 坐 标 为 （ p ，0） ， 准 线 的 方 程 为 x p ．
2
2
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
P M MF d ,
y2=2px(p>0)
p F ( ,0)
2 x=- p
2
y2=-2px (p>0)
F(- p ,0) 2 p
x= 2
.
.
y轴的
y轴的
正半轴上 负半轴上
x2=2py (p>0)
p F (0, )
2 y=- p
2
x2=-2py (p>0)
F (0, -
p )
2
p y=
2
【提升总结】 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ （1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴 （或Y轴）上；
点坐标是（2.88，0）.
1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)
的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆
过点(0,2),则 C 的方程为 ( C )
A.y2=4x 或 y2=8x
B.y2=2x 或 y2=8x
C.y2=4x 或 y2=16x
思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H
是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平
分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H
人教版高中数学课件 选修2-1 2.4.1 抛物线的标准方程 课件
例1（C层）根据下列条件，写出抛物线的 标准方程： （1）焦点是F (3, 0)； 3 （2）准线方程是 x . 2
例2（B层） （1）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上， 焦点到准线的距离是3，求抛物线的 标准方程、焦点坐标和准线方程; （2）求焦点在x轴正半轴上，并且过点 M (1, 4) 的抛物线的标准方程.
选修2-1第二章
2.4.1 抛物线的标准方程
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条 定直线l ( F l ) 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线
H
l
M
ห้องสมุดไป่ตู้
· F ·
评价检测题1
试着完成课本 P64 习题2-4 A 第1 题
思考一： 若定点F在定直线l上，则到定点F和 定直线l 的距离相等的点的轨迹是什 l 么？
2 2
l
x 5
O
F
x
即 ( x 4) 2 y 2 x 4
两边平方，化简得：
y 16 x
2
解：方法二） 由题意知： x 4 y F (4,0) M 点 到点 的距离与到直线 x 4 的距离相等 所以点 M的轨迹是以 F (4,0) 为 l 焦点，x 4 为准线的抛物线 x 5 O p 8 点 M 的轨迹方程为： 2 y 16 x
.
1 （2） y x 2 2 （3） y ax(a 0) 1 2 2 y y 4x （4） x 4
2
1 1 F ( , 0), x 8 8 a a F ( , 0), x 4 4
F (1, 0), x 1
思考二： 1. p的几何意义是什么？ 焦点到准线的距离 2.焦点到y轴的距离是多少？ p 准线到y轴的距离是多少？ 2 3.抛物线的开口方向？ 开口向右 4.抛物线的顶点是什么？原点 5.焦点的位置？位于x轴正半轴 6.抛物线的对称轴是什么？x轴
高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.1 抛物线及其标准方程
y=1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
2.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程.
(1)y2=6x;
(2)2y2+5x=0.
解:(1)∵2p=6,∴p=3,开口向右.
则焦点坐标是
3 2
,0
,准线方程为 x=-32.
(2)将 2y2+5x=0 变形为 y2=-52x.
∴2p=52,p=54,开口向左.
的距离与它到直线 l:x=-12的距离相等.
由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物
线,其方程应为 y2=2px(p>0)的形式,而���2��� = 12,所以 p=1,2p=2,故轨迹 方程为 y2=2x.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当 A,M,N 三点共线 时,|MA|+|MN|取最小值,即|MA|+|MF|取最小值,这时 M 的纵坐标为 2,可设 M(x0,2),代入抛物线方程得 x0=2,即 M(2,2).
6,
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m 的值为±2 6.
巧妙解法:设抛物线的方程为 y2=-2px(p>0),
则���2���+3=5,故 p=4.
所以抛物线的方程为 y2=-8x.将点(-3,m)代入抛物线方程得
m=±2 6.
案例探究
思悟升华
类题试解
1.常规解法思路易得出,但需要解二元二次方程组,稍有疏忽,则会解出错误的结果.而巧妙解法则是利用抛 物线的定义,得出简单一元一次方程,不易出错,解法简单.
(教师参考)高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程课件1 新人教A版选修2-1
19
【小结】
1、一次项的变量如为x（或y），则x轴（或y 轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 2、一次项的系数符号决定了开口方向。
精选ppt
20
练习1：请判断下列抛物线的开口方向
x2 32y
x2 2y
y2 25x
x2 49y
y2 251x
y x2
y32x2 0
oF x
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它
的形式？
精选ppt
15
问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法， 你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中 抛物线的方程吗?
(1)
(2)
F
F
l
(3)
F
l
(4) l
精选ppt
l F
16
不同位置的抛物线标准方程
图 形
焦点位置
x轴的 正方向
标准方程 y2=2px
·F
点
点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线
l
准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离
想一想 如果点F在直线l上，满足条件的点的
轨迹是抛物线吗？
注 ： 若 F L ， 则 满 足 到 定 点 F 和 定 直 线 L 的 距 离 相 等 的 点 的
轨 迹 是 过 点 F 且 垂 直 于 直 线 L 的 精选一 pp条 t 直 线 .
则 焦 点 F(p,0), 准 线 l:x 2
p
y
l
2
d .M
由抛物线定义知：|MF|=d
即： (xp)2y2 | x p|
2
2
K.
OF
x
x2pxp2y2x2pxp2
人教版高二数学选修21 2.4.1抛物线及其标准方程教学课件共21张PPT
探究: 抛物线的标准方程的其它形式
ly
F
l o F xx
标准方程 焦点坐标 准线方程
yx22=2pxy(p>0) (p0/,2p,/02)
xy=-p/2
y
标准 xy2=2-2ppyxy 方程 ((pp>>00))
o
x
焦点 坐标
(-(p0/,2p-,/p02/)2)
1、建系（建立适当的直角坐标系） 2、设点 3、列式 (寻找等式,并转化为方程） 4、化简 5、验证（方程的解为坐标的点都是 曲线上的点）
合作探究
设焦点到准线的距离为p， 选择你认为合适的建系方式，求出方程
F
l
y
M(x,y)
Ko F x
l
1.建立坐标系 2.设动点坐标,相 关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理 5.验证
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月25日星期三上午4时52分55秒04:52:5521.8.25
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午4时52分21.8.2504:52August 25, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月25日星期三4时52分55秒04:52:5525 August 2021
y 1 24
注意：先化为标准式！
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F(3，0)； (2)准线方程是x=1/4；
yy22==41x2或x y2=-4x或
yx22==4-y或x x2=-4y
高中数学人教版选修2-1：2.4.1-1 抛物线及其标准方程 课件(共18张PPT)
取过焦点F且垂直于准线l的直线 l y
为x轴，线段KF的中垂线y轴. 设︱KF︱= p
· N M
p 则F( 2 ，0)，l：x = -
p 2
·x
Ko F
设点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
(xp)2y2xp
2
2
化简得: y2 = 2px(p＞0)
三、抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
己想要的生活，你最终将不得不花费大量的时间来应付自己不想要的生活。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就 会的底层。身后还有那么多期许的目光，怎么可以轻易放弃。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境 望的意志。生活呆以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可以胜利，也可以失败，但你不能屈服。 人生四然：来是偶然，去是必然，尽其当然，
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
(第一课时)
一、新知探究
你对抛物线有哪些认识？
y
二次函数是开口向
上或向下的抛物线
o
x
一、新知探究
生活中存在各种 形式的抛物线
一、新知探究
投篮运动
抛球运动
一、新知探究
点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到
定直线l: x= 2 5 的距离的比是常数 4 ，求
=1
x = 16
y
5
M(x,y) l
d
M的轨迹是以F为焦点，实轴、 虚轴长分别为8、5的双曲线.
O F(5,0) x
一、新知探究 若点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和
它到定直线l:x=-3的距离的比是常数1，
高中数学人教A版选修2-1配套课件：2.4.1抛物线及其标准方程
掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程，能
根据条件确定抛物线的标准方程．
经历抛物线标准方程的推导过程，对四种不同形式方程加 以对比，提高分析归纳能力．
第二章
2.4
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点：抛物线的定义及标准方程． 难点：建立标准方程时坐标系的选取．
第二章
2.4
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
5.过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的 焦点弦 ． 线段，称为抛物线的__________ 6 ．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于 A 、 B 两点，线段 AB 称为抛物线的通径，通径 |AB| 的长等于 2p _______.
第二章
2.4
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
新知导学 1 ．平面内与一个定点 F 和一条定直线 l( 定点不在定直线 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线，__________ 定点F 叫做抛物线 上)__________ 定直线l 叫做抛物线的准线． 的焦点，__________ 2 ．从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线 有渐近线，而抛物线没有． 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动 直线 ． 点的轨迹是一条________
同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式．
请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准 线方程
图形 焦点
p F(2，0) __________
准线
p x＝－2 __________ p x＝2 __________
(教师参考)高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程课件2 新人教A版选修2-1
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
· N M
· OxKF来自想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。
为坐标轴的抛物线
解：∵焦点到准线的距离为2
解：∵标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上
∴p=2
又∵抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，
又∵焦点的位置不确定
∴焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-
∴该抛物线标准方程有四种形式
12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是 （0，﹣3），
焦点 ( 0 , 1 )，准线
32
y
1 32
(2)x2+8y=0；
焦点 (0, 2，) 准线 y 2
感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物
线的标准方程。
精选ppt
13
强化提高
关键：理解p的几何意义， 熟记标准方程四种形式
根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点到准线的距离是2；
关键：标准方程表示的 是顶点在原点，对称轴
第一：一次项变量决定对称轴。 第二：一次项系数的正负决定了开口方向。
说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图
象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标
和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由
形到数的数形结合思想。精选ppt
11
（三）例题讲解
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第二章 §2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 抛物线的定义
思考1
平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
连接两定点所得线段的垂直平分线.答案
思考2
平面内，到两个确定平行直线l 1，l 2距离相等的点的轨迹是什么？一条直线.
答案
思考3
到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？抛物线.
答案
梳理
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的
，直线l 叫做抛物线的 .(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点
M 到点F 的距离与它到定直线l 的距离之比等于1∶1).
准线相等焦点
知识点二 抛物线的标准方程
思考
抛物线的标准方程有何特点？(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；
(2)对称轴为坐标轴；
(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；
(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；
(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .
答案
梳理
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
题型探究
类型一 抛物线的定义及理解
答案解析
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
设动点Q (x ′，y ′)，则有x ′＝x ＋y ，y ′＝xy ，又有x 2＋y 2＝1，即(x ＋y )2－2xy ＝1，所以x ′2－2y ′＝1，故Q (x ＋y ，xy )的轨迹所在的曲线是抛物线.
(2)已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆x 2＋y 2＝1上运动，则点Q (x ＋y ，xy )
的轨迹所在的曲线是_______.(
在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案解析
抛物线
反思与感悟
抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.
跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解答
类型二 抛物线标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
答案解析
反思与感悟
根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.
因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，
跟踪训练2 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝___
；准线方程为_______.2x ＝－1答案解析
焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10.
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.①y 2＝40x ；解答
②4x 2＝y ；
解答
③3y2＝5x；解答
④6y2＋11x＝0.解答
命题角度2 求解抛物线的标准方程
例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；解答左顶点为(－3，0)，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.解答设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
反思与感悟
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.
跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解答
设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解答
反思与感悟
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA的长是多少？解答
如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛
)在抛物线上，
物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y
所以管柱OA的长为1.8 m.
当堂训练
答案解析
A.y＝－1
B.y＝－2
C.x＝－1
D.x＝－2√
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为A.4 B.－2 C.4或－4 D.12或－2由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知点P 到准线的距离为4，故 ＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入
x 2＝－8y ，
得m ＝±4.答案解析
√
因
为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上
的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 ＝1，p ＝2.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝___.
2答案解析
4.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.答案解析
5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|＋|MF|的最小值为_____.答案解析
规律与方法
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.。