基于EM算法的最小一乘估计研究
EM算法详解.一种参数估计的方法
EM算法种参数估计的方法一种参数估计的方法提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献高斯混合模型⏹混合模型(Mixed Model)：其中，满足即混合模型由K 个成分组成，每个成分即合模个成分成每个成分的权重为⏹若混合模型中每个成分为高斯分布，则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)()GMM 的例子⏹例1：一个班级每个学生的身高为假设男生和女生的身高分别服从高斯分布则其中为男生的比例，⏹问题：给定独立同分布(independent and identically (p ydistributed----IID)的数据，求参数),,,,,(222111σμασμα⏹混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用GMM的例子例2：分布的随机数的直方图n = 10000;z = zeros(1,n);pw1 = 0.6;)1,3,4.0,2,2,6.0(),,,,,(222111-=σμασμαu1 = -2;std1 = 2;pw2=04;pw2 = 0.4;u2 = 3;std2 = 1;y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1;y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2;z(1,1:floor(n*pw1)) =y1;z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献极大似然估计与EM 算法的关系⏹计算极大似然估计(maximum likelihood MLE)需要求似然函数的极值estimate ,MLE)，需要求似然函数的极值o解析法:如求正态分布均值和方差的MLEo值计算：如高斯混合模型EM 算法()极大似然估计(MLE)⏹独立同分布(IID)的数据),,,(21n X X X Λ=X 其概率密度函数为)|(θx f n似然函数定义为log 似然函数定义为∏==X =X i iX f f L 1)|()|()|(θθθ)|(log )|(X =X θθL l ^⏹的极大似然估计为θθθθ)|(max arg X =L θθ)|(max arg X =l完整数据⏹观测数据：观测到的随机变量的IID 样X 本),,,(21n X X X Λ=X ⏹缺失数据：未观测到的随机变量的值Y ),,,(21n Y Y Y Λ=Y 在GMM 中，若来自第k 个成分，则i X k Y i =⏹完整数据：包含观测到的随机变量和未观测到的随机变量的数据，X Y ),(Y X =Z ))),(,),,((11n n Y X Y X K =Z完整似然函数若隐含变量的值已知，得),,,(21n Y Y Y Λ=Y 到完整数据的log 似然函数为：log θθL l Y X =Y X )|,(log),|(g ),|(θniiY X f ∏=)|,(log 1θiink Y X f ∑==))|(),|(log(1θθiiini Y f Y X f ∑==1i =iEM—Expectation ⏹观测数据X 已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中缺失数据)tθ在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y 未知，完整log 似然函数对Y 求期望。
EM算法对不完全数据下指数分布的参数估计
EM算法对不完全数据下指数分布的参数预估一、引言EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的参数预估方法，它常用于具有隐变量或不完全数据的统计问题。
指数分布是概率密度函数形式简易而广泛应用的一种分布，它具有指数递减的特点，在各种领域都有重要的应用，如生物学、经济学、物理学等。
本文将介绍EM算法在不完全数据下预估指数分布的参数的过程及其应用。
二、EM算法概述EM算法是一个迭代的优化算法，它通过两个步骤交替进行，分别是E步和M步。
在E步，通过已知的观测数据和参数的初始值，计算隐变量的后验分布期望值。
在M步，通过最大化E 步计算得到的隐变量的期望值来更新参数的预估值。
如此迭代进行，直到收敛得到最优的参数预估值。
三、不完全数据下的指数分布不完全数据指的是在观测数据中存在着缺失值或隐变量。
在指数分布中，缺失值可能是由于试验数据采集的限制，或是由于缺失变量难以观测到所导致的。
在不完全数据下，我们无法直接使用观测数据进行参数预估，需要利用EM算法进行预估。
四、EM算法在指数分布中的应用假设我们的观测数据是来自指数分布的随机变量，但其中有一部分数据是缺失的。
我们想通过观测到的数据来预估指数分布的参数λ。
其中，λ是指数分布的一个参数，它代表了指数分布的一个特征，即指数递减的速度。
起首，我们初始化λ的初始值，在E步中，我们通过已知的观测数据计算出隐变量的后验分布期望值。
依据指数分布的概率密度函数，我们可以得到隐变量对应的完全数据的似然函数。
对于缺失的数据，我们使用观测到的数据的似然函数的积分来近似计算。
这样，我们可以得到E步的值。
接下来，在M步中，我们通过最大化E步计算得到的隐变量的期望值来更新参数λ的预估值。
详尽地，我们求解似然函数对λ的偏导数，并令其等于0，从而得到λ的最优预估值。
然后，我们使用这个最优预估值作为新的λ值，继续进行下一轮的迭代。
我们不息地重复进行E步和M步，直到迭代收敛，表示已得到λ的最优预估值。
EM算法在恒加试验线性模型中的应用
长江大学学报 （ 自然科 学版） ２０ 年 ３ 第 ５ 第 １ ０８ 月 卷 期：ＮＴ Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｇ ｅＵ ｉ ｒｉ Ｎａ Ｓ ｉ ｄｔ Ｍａ． ０ ８ ｏ． ． ：Ｓ ｉ － ｎ ｏｒａ ｏ ｎ ｔ ｎｖ ｓ ｙ（ ｔ ｃ Ｅ ｉ Ｙ ｚ ｅ ｔ ） ｒ２ ０ ，Ｖ １５Ｎｏ １ ｃ ８ Ｅ ｇ
尾 Ｅ 算法对模型进行参数估计 ，步骤如下 ： Ｍ 第 １ （～ ／ ） 步 Ｅｓ ｐ ：将数据重新排序， －－ ｅ 使得前 个观测数据没有截尾 ， 即在时间 ￡时失效发生 ， 那么其
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长 江大 学 学 报 （ 然 科学 版 ） 自
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系统发育树构建中用EM算法进行参数估计
系统发育树构建中用EM算法进行参数估计
唐晓嗣;伍超标
【期刊名称】《应用概率统计》
【年(卷),期】2010(026)004
【摘要】系统发育学研究物种之间的进化关系,其核苷酸替代模型通常假设序列进化没有数据的缺损和删失,而现实中这个假设条件是很难满足的.针对这种事实,本文将运用EM算法对存在插入或缺失但序列长度假设不变的观测序列构建系统发育树进行参数估计,为含缺损数据序列构建良好的系统发育树作铺垫.重点在于运用EM算法做Jukes-Cantor模型、Kimura模型下含缺损数据的DNA序列构建有根树或无根树最佳分枝长度等的参数估计.
【总页数】10页(P357-366)
【作者】唐晓嗣;伍超标
【作者单位】广州南华工商学院,广州,510507;暨南大学数学系,广州,510632
【正文语种】中文
【中图分类】O212.8
【相关文献】
1.16SrRNA和secA1基因构建临床诺卡菌的系统发育树比较 [J], 王颜颜;夏茂宁;欧维正;黄劲;明春艳;刘涛华;吕倩;周兵;康颖倩;
2.16S rRNA和secA1基因构建临床诺卡菌的系统发育树比较 [J], 王颜颜;夏茂宁;欧维正;黄劲;明春艳;刘涛华;吕倩;周兵;康颖倩
3.梅花鹿瘤胃液中芽孢杆菌的分离鉴定与系统发育树构建 [J], 刘晓颖;王卓;刘晗璐;
鲍坤;李光玉
4.β溶血表型摩根摩根菌的鉴定及系统发育树构建 [J], 贾琴妹; 满宝华
5.基于ITS序列构建系统发育树鉴定市售黄芪饮片基源的研究 [J], 刘建军; 黄世锋; 代文婷; 翟丹丹; 宗凯
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EM算法在多层线性模型参数估计中的应用的开题报告
EM算法在多层线性模型参数估计中的应用的开题报告一、课题背景多层线性模型是一类多层次模型，通常用于探索不同层级的因素对某个结果变量的影响。
它通常包括基础层、随机效应层和固定效应层。
这种模型应用广泛，例如社会科学和医学领域的研究。
对于多层线性模型的参数估计，传统的最大似然估计法存在许多困难，如计算错误、收敛慢等问题。
因此，人们开始探索使用EM算法来估计多层线性模型的参数。
EM算法是一种迭代算法，它在统计参数估计和模型选择问题中被广泛使用。
二、研究目的本研究的目的是探索EM算法在多层线性模型参数估计中的应用。
具体而言，我们将使用EM算法估计固定效应、随机效应和方差等参数，并与传统最大似然估计方法进行比较。
我们还将分析EM算法在不同数据集上的稳定性和收敛速度。
三、研究方法我们将使用R软件和lme4包来实现多层线性模型的参数估计。
我们将使用EM算法并比较其结果与传统最大似然估计法。
我们还将在不同样本大小和数据集上测试算法的效率和收敛性能。
为了评估算法质量，我们将比较估计参数的相对偏差和均方误差等指标。
四、研究意义本研究将探索EM算法在多层线性模型参数估计中的应用。
这项研究有助于提高多层线性模型参数估计的准确性和效率，帮助研究人员更好地理解和应用多层线性模型。
它还将为其他研究领域提供EM算法在模型参数估计和模型选择方面的经验。
五、研究计划1.收集相关的研究和文献，了解多层线性模型和EM算法的基础知识。
2.使用R软件和lme4包，构建多层线性模型，并实现EM算法进行参数估计。
3.使用模拟数据和真实数据，比较EM算法和传统最大似然估计法的效率和准确性。
4.分析EM算法的收敛性和稳定性，并确定其应用范围和局限性。
5.撰写实验报告和论文，总结研究结果和结论，提出建议和未来研究方向。
中子能谱测量中的解谱技术研究进展
㊀第42卷㊀第4期2022年㊀7月㊀辐㊀射㊀防㊀护Radiation ProtectionVol.42㊀No.4㊀㊀July 2022㊃综㊀述㊃中子能谱测量中的解谱技术研究进展黄迁明,刘㊀斌,陆㊀婷,王㊀波,唐松乾,吕焕文,应栋川,翟梓安(中国核动力研究设计院核反应堆系统设计技术重点实验室,成都610213)㊀摘㊀要:中子能谱解谱技术为中子能谱测量系统必要的组成部分,近几十年来国内外开展了大量研究㊂本文首先介绍了中子能谱常规解谱流程,包括解谱模型㊁响应函数㊁解谱误差等内容;接着详细介绍了国内外中子能谱测量技术研究现状以及中子能谱解谱算法研究现状,包括比较成熟的最小二乘算法㊁最大熵算法等,也有新兴的神经网络算法㊁遗传算法等,总结了不同解谱算法的特点;接着介绍了根据不同解谱算法发展的解谱程序,对比了不同解谱算法及程序的优缺点,基于最小二乘算法开发的SAND 系列程序和基于最大熵算法开发的MAXED 程序是解谱功能强大㊁使用最广泛的程序;最后梳理了中子能谱解谱方法的发展脉络,总结了国内和国外研究的区别,未来开发包含多种解谱方法的综合性解谱程序具备较强的应用需求㊂关键词:中子能谱测量;中子能谱解谱方法;广义最小二乘算法;最大熵算法;蒙特卡罗算法;压缩感知理论中图分类号:TL8;O571.54文献标识码:A㊀㊀收稿日期:2021-07-21作者简介:黄迁明(1992 ),男,2015年毕业于四川大学核工程与核技术专业,2020年毕业于北京大学粒子物理与原子核物理专业,获博士学位,工程师㊂E -mail:qianming.huang@通讯作者:刘斌㊂E -mail:liubin871204@㊀㊀中子能谱测量是中子探测学的重要组成部分[1-4],主要用于获取准确的中子能谱信息,通过相应解谱算法的研究,可在一定程度上提高实验测量的精度,且解谱算法性能的提高有助于在有限测量条件下降低探测系统硬件的要求,在各类核装置的设计和运行㊁辐射防护计量学和屏蔽验证㊁核军备控制以及反恐等应用中发挥着关键作用㊂近年来,在核不扩散和核军备反恐安检的大应用背景下,基于中子能谱的核素识别技术对于核材料准确㊁高效的识别具有很强的优势[5-9],国内外在中子能谱的解谱方法上进行了广泛研究㊂中子能谱测量难度较大,主要面临中子能谱差异大㊁中子能量跨度区间大㊁伽马本底干扰㊁中子场的统计涨落和测量系统噪声等问题[10-12]㊂目前中子能谱测量的手段主要有:飞行时间方法[13]㊁有机闪烁体测量方法[14-19]㊁多球谱仪方法[20-23]以及多箔活化方法[24-26]等㊂除飞行时间法外,其余三种测量方法的中子能谱均不能直接获取,而是需要结合探测系统的响应函数从测量值中进行解谱获得,即通过探测器探测到一个输入能谱,根据探测器对不同中子的响应特性,反推出测量点的真实能谱㊂现阶段能谱测量的难点主要由探测器测量数据统计误差㊁测量系统的噪声干扰㊁解谱函数不具有唯一解以及先验谱的可靠性造成,通过优化探测系统和解谱算法能一定程度上提高中子能谱测量精度㊂1㊀国内外中子能谱解谱方法研究现状1.1㊀解谱模型㊀㊀在经典的解谱模型中,对于有机闪烁体㊁多球谱仪以及多箔活化测量系统,探测器测量结果均可用式(1)所示的第一类Fredholm 积分方程表征[27-28]:M i ʃεi =ʏE max E minR i (E )ϕ(E )d E (1)式中,M i 为探测器计数,对于有机闪烁体测量系统,其为第i 道闪烁光子脉冲高度;对于多球谱仪测量系统,其为第i 个慢化球对应的热中子探测器计数;对于多箔活化测量系统,其为第i 个活化箔辐照结束后的放射性活度;εi 为测量结果的不确定度,其通常与探测器计数的统计特性㊁中子场统计涨落以及测量系统电子学噪声等因素相关;R i㊃562㊃㊀辐射防护第42卷㊀第4期为第i 个探测器的中子能量响应函数,对于有机闪烁体测量系统,其为第i 道多道不同中子入射产生的闪烁光子脉冲高度分布;对于多球谱仪测量系统,其为第i 个慢化球对应的中子能量响应函数;而对于多箔活化测量系统,其为第i 个活化箔对应的活化反应的多群截面;ϕ(E )为所要求解的中子能谱㊂而求解式(1)面临诸多困难,包括:(1)方程组不具有唯一解;(2)误差引起解的剧烈震荡,从而造成求解的失败;(3)探测器计数的统计特性㊁测量系统的噪声及中子辐射场本底造成求解困难;(4)解的非负值约束㊁系统响应不确定性的传递等问题㊂因此,该类问题在测量领域被称为 逆问题 ,利用测量系统的响应函数对真实能谱进行倒推成为解谱的新思路㊂1.2㊀响应函数获取响应函数的获取是中子能谱解谱的前提,针对不同的中子能谱测量方式可以制定对应的响应函数测量方法,一般有实验测量方法和理论计算结合实验标定方法㊂1.2.1㊀实验测量㊀㊀在有机闪烁体测量实验中,通常的手段主要采用单色性较好的加速器中子源结合飞行时间法对中子能量进行甄别,比如Lawrence 等人[29]采用加速器中子源结合飞行时间窗对EJ -309和EJ -299-33有机闪烁体的响应函数进行测量得到图1的响应函数㊂而在多球谱实验中,主要的实现方法是采用加速器中子源结合慢化材料以实现不同能量中子的响应函数标定,同样采用飞行时间方法对中子能量进行甄别,图2为Pioch 等人[30]采用加速器中子源对多球谱仪系统进行能量标定的方案㊂图1㊀EJ -309和EJ -299-33有机闪烁体相关能点的系统响应函数Fig.1㊀Response functions for organic scintillator EJ -309and EJ -299-331.2.2㊀理论计算结合实验标定㊀㊀在有机闪烁体测量实验中,Dickens 等人[31-32]开发了基于蒙特卡罗算法的SCINFUL㊁NRESP7等程序进行闪烁体响应函数计算,但它们仅适用于圆柱几何,且无法描述复杂的粒子源分布㊂2007年,Pozzi 等人[33-34]基于MCNP 程序开发了MCNP -PoliMi㊁MCNP -PHOTRACK 等程序,其可对探测器的复杂几何结构进行描述且可描述复杂分布的中子源,其中MCNP -PoliMi 程序计算的系统响应函数如图3所示[33],由于其采用耦合计算的策略,后处理的工作量十分巨大㊂2014年,Hartwig 等人[35-37]建立了基于Geant4程序的有机闪烁体中子物理过程模拟方法,并成功应用于EJ -301有机闪烁体的系统能量响应函数及粒子甄别情况的模拟,模拟结果与实验结果吻合较好,如图4所示[37]㊂而在多球谱实验中,随着Monte-Carlo 计算方法的发展,采用MCNP 和Geant4程序进行多球谱㊃662㊃黄迁明等:中子能谱测量中的解谱技术研究进展㊀图2㊀采用加速器中子源标定多球谱仪能量响应方案Fig.2㊀Programme for using accelerator based neutron source to calibrate multi-spherespectrometer图3㊀采用MCNP-PoliMi 程序计算的系统响应函数Fig.3㊀System response functions usingMCNP-PoliMi图4㊀EJ -301有机闪烁体系统响应Geant4模拟Fig.4㊀Geant4based system response function for organic scintillator EJ -301仪系统响应函数计算的研究越来越多,图5(a)㊁5(b)为Mares 等人[22]采用MCNP 对不同热中子探测器6LiI(Eu)和3He 正比计数管多球谱仪能量响应函数的模拟结果㊂Geant4程序由于其具备对高能物理过程的模拟能力,近年来研究者们建立了基于Geant4程序进行多球谱仪系统能量响应函数的计算方法,图5(c )为Garny 等人[38]采用Geant4程序对10-11~100MeV 能量范围内多球谱仪能量响应函数的模拟㊂与有机闪烁体测量方法㊁多球谱仪测量方法㊃762㊃㊀辐射防护第42卷㊀第4期图5㊀多球谱仪系统响应函数MCNP 模拟以及Geant4模拟结果Fig.5㊀Multi-sphere spectrometer system response functions from MCNP and Geant4不同,多箔活化测量方法的能量响应函数为多箔活化材料的中子多群活化截面,能量响应函数的获取本质上为活化材料中子多群活化截面的制作㊂早在1969年,McElroy 等人[26]建立了用于SAND 程序解谱的640群活化截面㊂2008年,中国工程物理研究院的邓勇军等人[39]针对厚活化㊀㊀㊀㊀箔和活化箔包裹热中子吸收材料后多群截面的修正方法开展了相关研究,得到不同厚度(0.048mm㊁0.28mm)Au 活化箔640群多群截面和包裹0.5mm 厚度Cd 的Au 活化箔修正截面,理论和实验符合较好,如图6所示㊂图6㊀179Au 活化箔多群截面修正Fig.6㊀Correction for the multiple groups cross-section from179Au activated foil1.3㊀解谱不确定度㊀㊀中子能谱测量的误差主要来自两方面:一是输入数据的不确定度,二是用于描述物理过程的数学模型近似表示的不确定性以及算法本身缺少唯一解等,一般假设数学模型近似表示的不确定性可以忽略㊂Manfred Matzke [40]于2002年提出了针对最小二乘法和最大熵方法的中子能谱解谱误差传递方法,最小二乘算法可通过数学推导由先验谱㊁活化率㊁截面等信息的协方差数据精确给出中子能谱的不确定度,但该方法限制较多通用性不强,SAND 程序的适用性更强,但其中子能谱不确定度相对不完善,通常采用不考虑先验谱的影响和截面协方差的蒙特卡罗抽样方法,或将相关输入量的不确定度按相关性为零的假设进行处理,给出合成不确定度,其他解谱方法的误差处理方式类似㊂2009年,王松林等人[41]在采用多箔活化法测量Am-Be 中子源屏蔽辐照腔内的中子能谱时,考虑了初始谱引入的误差㊁解谱所用的截面误差㊂在活化箔片灵敏区不能覆盖或覆盖较弱的能区,最后的解谱对初始谱有很大的依赖,而在活化箔片灵敏区覆盖较好的能区,最后的解谱对初始谱依赖较小;不同的截面库之间存在微小差异,一般通过选取合适的截面库进行解谱,这部分误差可㊃862㊃黄迁明等:中子能谱测量中的解谱技术研究进展㊀忽略㊂2015年,陈晓亮等人[42]基于广义最小二乘法开发了NSAGLS程序并进行了误差分析,在考虑了输入谱㊁核反应截面及测量活度不确定度导致的误差后,解谱效果良好㊂2016年,李达等人[43]针对SAND-II程序解谱过程提出了一种基于先验谱㊁活化率和截面协方差的不确定度蒙特卡罗分析方法,首先建立基于线性变换的截面协方差抽样方法,然后利用MCNP计算误差,使用迭代方法估计先验谱的不确定度,最后结合活化率的测量不确定度,利用蒙特卡罗抽样方法计算中子能谱的不确定度,与传统方法计算的不确定度比较接近㊂2㊀主要解谱算法及程序㊀㊀中子能谱的解谱方法主要有:广义最小二乘算法㊁奇异值分解和正则化算法㊁最大熵算法㊁贝叶斯算法㊁蒙特卡罗算法㊁遗传算法㊁神经网络算法㊁MLEM算法以及基于压缩感知理论的中子能谱解谱方法,具体情况列于表1㊂表1㊀常用解谱程序介绍Tab.1㊀Neutron spectrum unfolding packages㊀㊀广义最小二乘算法由于发展成熟,目前已有大量解谱程序应用,其他解谱方法由于数学上的复杂性以及发展历史较短的缘故,基于其开发的解谱程序较少,而对于其他一些较新的方法,如神经网络算法以及压缩感知方法,目前研究者们仅对其建立了相应的算法,而未专门开展相关的程序开发㊂2.1㊀广义最小二乘算法㊀㊀早在1964年,Gold等人[44-45]就提出采用解谱计算值和实验测量值之间的最小二乘偏差作为求解目标,通过迭代策略的设置来保证解的非负性进行中子能谱解谱㊂2010 2015年,陈晓亮㊁孙征等人[46-47]基于广义最小二乘原理对迭代策略进行了修正并开发了程序NSAGLS和2NP㊂随后Chen等人[42]在有机闪烁体测量实验中采用GRAVEL算法进行了解谱研究,采用GRAVEL程序对测量结果进行了解谱处理,解谱结果与参考解基本吻合,如图7所示㊂Seghour等人[48-49]在2001年采用SAND-II程序对ANO例题进行了解谱研究,中国工程物理研究院在2014年开展了采用多箔活化方法对中物院某临界装置的中子能谱测量实验,并采用SAND-II程序对测量结果进行了解谱研究,得到不超过2%的偏差,证明了SAND-II解谱的准确度,如图8所示㊂广义最小二乘法通过将计算值和实验测量值之间的最小二乘偏差作为求解目标,从而将中子能谱解谱问题转化为围绕先验值的拟合问题,先验信息通常作为迭代的初值进行使用㊂目前应用最广的迭代策略为GRAVEL算法,以GRAVEL算法作为核心的解谱程序主要有SAND系列程序,主要包括SANDC㊁SAND㊁SAND-II㊁MSAND等㊂广义最小二乘解谱算法在有机闪烁体㊁多球谱仪和多箔活化中子能谱测量实验中进行了广泛的应用,其解谱结果与参考解吻合较好,对于闪烁体解谱的超定问题,该方法对与矩阵病态问题的适应能力尚有提高空间,解谱结果呈现出一定的震荡性;对于多球谱仪以及多箔活化解谱的欠定问题,求解准确程度对迭代的初值依赖性很大㊂㊃962㊃㊀辐射防护第42卷㊀第4期图7㊀GRAVEL 算法解谱结果Fig.7㊀Neutron spectrum unfolding results from GRAVELmethod图8㊀SAND-II 程序解谱结果Fig.8㊀Neutron spectrum unfolding results from SAND-II2.2㊀最大熵算法㊀㊀1989年,Weise 等人首次将 熵 的概念引入到解谱问题当中[50],并定义了解谱问题的熵函数,如(2)式所示:S =-ð{ϕjln(ϕj/ϕjDEF)+ϕj DEF -ϕj}(2)式中,ϕDEF为求解中子能谱的先验信息,在最大熵算法中称为预置谱;ϕj 为所求解的中子能谱,其中j 为中子能量分段数量;S 为所求的熵㊂1998年,Reginatto [51]采用基于最大熵算法的MAXED 程序对多球谱仪测量结果进行了解谱研究,多球谱仪由8个聚乙烯球组成,对普林斯顿大学等离子物理实验室的托卡马克聚变反应堆装置120m 处中子能谱进行了测量,如图9(a)所示㊂解谱结果靠近预置谱收敛,但由于测量值与理论值之间存在的偏差,造成解谱结果也与预置谱存在一定的偏差㊂Reginatto [52]于2002年针对大气层中~20km处宇宙射线激发中子的多球谱仪测量结果进行了解谱研究,Green 等人[53]于2008年采用MAXED程序对加速器驱动次临界装置的多箔活化测量结果进行了解谱研究并采用MCNP 程序对装置中子能谱进行了模拟,祝庆军等人[54]于2014年采用最大熵算法对多球谱仪测量结果开展了解谱研究,雄厚华等人[55]于2018年采用多箔活化方法对聚变包层DFLL-TBM 中子能谱进行测量,均证实MAXED 程序解谱效果与模拟值吻合较好,如图9(b)㊁9(c)㊁9(d)所示㊂最大熵算法通过求取约束条件下熵值最大的解来实现解谱,从而将解谱问题转化为优化问题,该方法可以给出非负㊁连续的中子能谱㊂最大熵方法在多球谱仪和多箔活化测量结果的解谱中应㊃072㊃黄迁明等:中子能谱测量中的解谱技术研究进展㊀图9㊀MAXED 程序解谱结果Fig.9㊀Neutron spectrum unfolding results from MAXED用较广,其对聚变㊁裂变以及放射性同位素中子源各种类型的中子能谱也具有较好的适应性㊂最大熵方法最大的特点为先验信息通过 预置谱 的方式在熵函数构造中进行使用,因此该方法又被认为是先验信息与实测信息相干性最小的解谱方法之一㊂2.3㊀贝叶斯算法㊀㊀2006年,Reginatto 等人[56]又提出基于贝耶斯分析方法进行中子能谱解谱,该方法以贝叶斯理论为基础,将中子能谱解谱问题转化为贝叶斯参数估计问题进行求解,并对多球谱仪测量结果进行解谱研究,解谱结果与Monte-Carlo 模拟结果吻合较好,相对偏差通常小于4%,如图10所示㊂2018年,Mazrou 等人[47]提出将中子注量率按热区㊁超热区以及快中子能量区间采用麦克斯韦分布㊁1/E 分布以及瓦特裂变谱的叠加:ϕ=ϕt +ϕe +ϕf(3)式中,ϕt=a tET 2e -ET 0,E ɤ0.1eV㊂图10㊀多球谱仪测量结果贝叶斯解谱结果Fig.10㊀Neutron spectrum unfolding results formulti-sphere spectrometer measurement usingBayes method ,vertical ordinate shows thenormalized neutron fluenceϕe=a e (1-e-E 2E2d)Eb -1e -Eβᶄ,0.1eV ɤE ɤ10keVϕf=a f E αe -Eβ,10keV ɤE ɤ20keV(4)式中,a t ㊁a e ㊁a f 分别代表热区㊁超热区㊁快中子能量区间能量峰的重要性;T 0为麦克斯韦分布最可几能量,取0.025eV;E d 为超热区最低能量,取㊃172㊃㊀辐射防护第42卷㊀第4期0.0707eV;b 和βᶄ分别为控制曲线上升和下降的斜率参数;α和β分别为描述快谱形状和峰值的参数㊂在他们的研究中采用贝叶斯算法对多球谱仪241Am -Be 源中子能谱测量结果进行解谱,如图11所示,采用贝叶斯算法解谱结果与GRAVEL㊁MAXED 等程序结果吻合较好,但在能量峰值上有细微差别,贝叶斯法中该值比MAXED 法㊁GRAVEL 法中稍低,这可能与是否设置预置谱和采用不同的解谱方法有关㊂采用贝叶斯算法解谱结果可以达到较高的精度,解谱结果中子总注量率和剂量率相对偏差小于1%㊂图11㊀多球谱仪测量241Am -Be 源中子能谱Fig.11㊀Neutron spectrum for241Am -Be source using multi-sphere spectrometer㊀㊀2017年,宋鸿鹄等人[57]采用贝叶斯算法对241Am -Be 源中子能谱有机闪烁体测量结果进行了解谱研究,解谱结果如图12所示㊂在形状上与ISO 的标准谱吻合较好,解谱不确定度与实际源的分布㊁ISO 选取有关㊂图12㊀241Am -Be 源中子能谱解谱Fig.12㊀Neutron spectrum unfolding results for241Am -Be measurement贝叶斯算法以贝叶斯理论为基础,通过将中子能谱进行参数化表征从而将解谱问题转化为基于贝叶斯理论的参数估计问题,目前的参数化表征方式主要有将中子注量率按热区㊁超热区以及快中子能量区间采用麦克斯韦分布㊁1/E 分布以及瓦特裂变谱的叠加表征方法㊂该方法经验性强,在先验较为充分的情况下可以取得比较精确的结果,但目前的参数化表征方式也限定了其使用范围㊂2.4㊀蒙特卡罗算法㊀㊀2007年,Bedogni 等人[58]提出了采用蒙特卡罗算法进行中子能谱解谱㊂在贝叶斯参数化方法的基础上,增加了蒸发谱和高斯谱模型对快中子能量分布进行表征,增加了蒸发谱对高能区中子能量分布进行表征,代表性的程序为FRUIT㊂Bedogni 等人[59]采用FRUIT 程序对241Am -Be 源中子能谱㊁252Cf 自发裂变中子能谱㊁252Cf(D 2O)中子能谱㊁12C 离子束碰撞中子源能谱㊁LINAC 放疗中子能谱以及CERF 装置中子能谱开展了解谱研究,如图13示㊂采用蒙特卡罗解谱可以取得较好的解谱效果,解谱结果与参考解吻合较好㊂对于241Am -Be 源中子能谱,解谱结果显得过于光滑,参考解中特征能峰部位有一定的偏差,如图13所示,表明蒙特卡罗算法可以取得较好的解谱精度,其解谱结果总注量率与参考解的最大偏差在5%以内㊂㊃272㊃黄迁明等:中子能谱测量中的解谱技术研究进展㊀图13㊀蒙特卡罗解谱方法求解效果Fig.13㊀Neutron spectrum unfolding results for Monte Carlo method蒙特卡罗中子能谱解谱算法在对中子能谱参数化的基础上,采用蒙特卡罗方法随机生成可表征中子能谱的参数集,然后依据该参数集表征的中子能谱和测量系统的响应函数计算探测器的计数并与实验值进行比较,重复该过程直至满足相应的收敛㊂该方法的使用具有很强的经验性,其优点为仅需指定中子场类型而无需提供初始能谱,其比较适用于无法通过理论计算获取初始谱的情况㊂由于采用蒙特卡罗方法作为迭代策略,该方法需要较长的计算时间,另外该方法解谱结果也有可能出现不符合物理意义的结果㊂2.5㊀其他解谱方法㊀㊀1999年,Freeman 等人[60]通过将探测器计数的计算值与实验值差值的平方和作为适应度函数,从而将解谱问题等价为可应用遗传算法进行求解的全局优化问题,然后采用标准遗传算法实现解谱㊂此后Mukherjee㊁王东等人[61-65]也进行了相关研究,但该算法始终存在精度较差和能谱不光滑特性㊂2002年,Braga 等人[66]首次利用神经网络技术对多球谱仪测量结果进行了中子能谱解谱,其采用三层神经网络结构,应用于中子能谱解谱的神经网络结构均比较简单且需要大量样本进行训练,在所求解中子能谱能群数目较少的情况下可以给出比较好的解,但也容易产生 过拟合 或 拟合不足 等学习现象㊂2013年,Pehlivanovic 等人[67]采用ML-EM 算法对特征峰中子能谱㊁252Cf 中子能谱的有机闪烁体测量结果进行了解谱研究,解谱结果与参考解基本吻合,但结果不够平滑,出现了较多不属于参考解的错误峰值,如图14所示㊂2017年,Molina 等人[68]使用ML-EM 方法对RECH -1反应堆中子能谱的多箔活化测量结果进行了解谱研究,如图15所示,结果表明在先验信息充足的情况下,ML-EM 方法可以取得较好的解谱结果㊂2004 2006年间由Candes㊁Romberg 和Tao等人[69-73]提出了压缩感知理论,其被认为是对经典采样理论Nyquist-Shannon 定理的突破和补充,已广泛应用于信号处理,医学㊁雷达图像重建,数据压缩㊁数据传输等领域㊂刘斌等人[74]于2019年建立了基于压缩感知理论的中子能谱解谱方法,对于核反应堆屏蔽结构典型中子能谱,解谱结果与参考解的总注量率相对偏差在4%以内,如图16所示,对于反应堆辐照监管中多处位置的中子能谱解谱结果与参考解相对偏差小于2%,说明其对高欠定程度的解谱问题也有较好㊃372㊃㊀辐射防护第42卷㊀第4期图14㊀闪烁体中子能谱Fig.14㊀Neutron spectrum fromscintillator图15㊀RECH -1反应堆Fig.15㊀Reactor RECH -1适应性㊂由于研究起步晚,遗传算法㊁神经网络算法等新兴算法的研究成果还比较少,在解谱稳定性或精度方面不及最小二乘算法等经典算法,但由于新兴算法具有较大的解谱精度和扩展潜力,若能解决现存问题并达到可应用的程度,遗传算法㊁神经网络算法等将有望在中子能谱解谱中发挥重要作用㊂3㊀总结和展望文章总结了中子能谱解谱模型㊁响应函数获取方法,以及解谱过程中的误差产生㊁处理方法,重点介绍了国内外中子能谱测量技术研究现状以及中子能谱解谱算法研究现状,总结了不同解谱算法的特点,接着介绍了根据不同解谱算法发展的解谱程序,对比了不同解谱算法及程序的优缺点,并推介了目前最适合用于中子能谱解谱的程序㊂针对解谱方法的原创性研究国外研究者占大多数,国内学者的研究主要集中在跟踪研究㊁已有算法应用改进以及依据已有算法开展解谱程序的研发等方面,对于解谱方法本身突破性的研究,尚有较大的提升空间㊂现有解谱程序主要依赖于发展较早㊁较成熟的算法开发,基于最小二乘算法的程序最多,包括SAND 系列程序㊁NSAGLS㊁ANNs 等,基于最大熵算法的有MAXED 程序,基于蒙特卡罗算法的有FRUIT 程序,功能较强㊁应用最广泛的还属SAND 系列程序和MAXED 程序㊂而对于较新的算法,如贝叶斯算法㊁正则化算法虽然已有较多研究,解谱效果也一般,尚无通用的程序公开,其他诸如遗传算法㊁神经网络算法等尚处于原理研究阶段,而遗传算法㊁神经网络算法具有功能强大㊁扩展性强的特点,若能解决现在遇到的一些问题,这些新兴算法将在中子能谱解谱中发挥重要作用,这方面还有很多工作可以做,包括解决遗传算法的解谱结果不光滑问题㊁优化算法提高求解速度等㊂经过梳理可发现,目前大多数解谱程序都是㊃472㊃图16㊀几种典型中子能谱解谱效果Fig.16㊀Unfolding results for several typical neutron spectrum采用单一解谱算法,尚无综合多种解谱方法的解谱程序研发,而就目前对解谱效果的调研来看,每种解谱方法对特定的中子能谱类型往往具有适用性,比如ML-EM方法对特征峰类型的能谱往往具有很好的适应性,正则化算法对于平滑的中子能谱具有很好的适应性,尚无对所有中子能谱㊀㊀㊀㊀㊀都有很好适应性的解谱方法㊂因此,开发包含多种解谱方法的综合性解谱程序具备较强的应用需求,相信随着中子能谱解谱技术的发展,必将在各类核装置的设计和运行㊁辐射防护剂量学和屏蔽验证以及核军备控制和反恐等领域发挥重要作用㊂参考文献:[1]㊀Ikuo Kondo,Kiyoshi Sakurai.Experimental evaluation of reactor neutron spectrum in irradiation field[J].Journal ofNuclear Science and Technology,1981,18(6):461-472.[2]㊀Griffin P J,Kelly J G,Luera T F,et al.Effect of new cross section evaluations on neutron spectrum determination[J].IEEE Transactions On Nuclear Science,1992,39(6):2078-2085.[3]㊀DavideChiesa,MassimilianoNastasi,Carlo Cazzaniga,et al.Measurement of the neutron flux at spallation sources usingmulti-foil activation[J].Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A,2018:14-24.[4]㊀Klein H.Workplace radiation filed analysis[J].Radiation Protection Dosimetry,1997,70(1):225-234.[5]㊀Flaska M,Pozzi S A.Identification of shielded neutron sources with the liquid scintillator BC-501A using a digital pulseshape discrimination method[J].Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A,2007,577:654-663. [6]㊀Pehlivanovic B,Avdic S,Marinkovic P,et parison of unfolding approaches for monenergetic and continuous fast-neutron energy spectra[J].Radiation Measurements,2013,49:109-114.[7]㊀Horst Klein,Sonja Neumann.Neutron and photon spectrometry with liquid scintillation detectors in mixed fields[J].Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A,2002,476:132-142.[8]㊀Guillaume H V,Matthieu H,Normand S,et al.Pulse shape discrimination between(fast or thermal)neutrons and㊃572㊃。
EM算法及其应用
EM算法及其应用EM算法作为一种常用的统计方法，被广泛应用于各种领域，如计算机视觉、自然语言处理、生物信息学等。
在本文中，我们将详细探讨EM算法及其应用。
一、EM算法概述EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于概率模型参数估计的迭代算法，由Arthur Dempster等人于1977年提出。
它可以用于处理带有隐变量的模型参数估计，也可以被看做一种极大化带有隐变量的数据似然函数的方法。
EM算法的核心思想是将似然函数分解为两部分，一部分是观测数据，另一部分是隐变量。
在每次迭代中，EM算法首先根据当前参数的值计算出对隐变量的期望，即E步。
然后，它通过极大化在E步中计算出的隐变量的期望下的似然函数来更新参数，即M步。
这个过程不断迭代，直到收敛为止。
二、EM算法应用案例1. 高斯混合模型高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种用来描述多个高斯分布的模型。
在计算机视觉中，GMM被广泛应用于图像分割和姿态估计等领域。
由于图像中的像素值往往服从高斯分布，因此使用GMM进行图像分割时，可以将像素分为多个高斯分布。
使用EM算法进行GMM参数估计的步骤如下：1) 初始化高斯分布的个数和参数；2) E步：计算每个样本属于每个高斯分布的概率，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新高斯分布的均值和方差。
4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
2. K均值聚类K均值聚类是一种无监督学习的算法，它将n个样本划分为k 个簇，使得每个样本都属于距离它最近的簇。
这种算法被广泛应用于图像分割和文本聚类等领域。
使用EM算法进行K均值聚类的步骤如下：1) 随机初始化k个簇的中心点；2) E步：将每个样本分配到距离它最近的簇中，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新每个簇的中心点；4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
EM算法及其应用的开题报告
EM算法及其应用的开题报告
1. 研究背景和意义
随着数据科学和机器学习的不断发展，一些实际问题需要估计未知
参数，然而，正式参数估计需要知道数据的概率分布。
不幸的是，这些
概率分布经常是未知的。
EM算法可以在数据参数估计时处理这些问题，因此它在数据科学和机器学习中得到了广泛的应用。
EM算法可以用于无监督学习算法，如聚类、潜在语义分析、混合高斯模型和条件随机场。
2. 研究内容和方法
本研究着重研究EM算法及其应用。
首先，我们将介绍EM算法的概念、步骤和算法。
同时，我们将介绍EM算法用于高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫模型（HMM）等多个应用场景中的具体实现，重点在于EM 算法如何计算最大似然估计值。
接着，我们将使用Matlab和Python等数值计算工具来进行实例分析，具体包括使用EM算法实现聚类和图像分割等任务。
最后，我们将对EM算法进行评估和讨论。
3. 研究成果和意义
通过本研究，我们可以深入理解EM算法的原理和应用，并掌握如
何使用EM算法实现聚类、分类和图像分割等任务。
这对于机器学习领域研究者的实际工作和未来研究都具有重要意义。
同时，本研究对于展示EM算法在机器学习、数据科学和其他领域中的应用也具有一定的贡献和启示意义。
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５ ２ ６
安 徽 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２ ０ １ ３正
（ － ｚ ， ｌ ６ ）＝ ｅ ｘ ｐ （ 一
和 风 险性 的考 虑 ， 采用 Ｌ Ａ Ｄ准则 更合 理 ． 在模型（ １ ）中 ， 我 们考 虑 的 Ｌ Ｄ 估计 ， Ａ 即使 得 以下 目标 函数 Ｌ ２ Ｊ
Ａ － 一
卢 ＝ａ ｒ ｇ ｍｉ ｎ ￣ （ ／ ９ ） ， 其中 ｓ （ 卢 ）＝
Ｐ
Ａ
ｌ Ｙ ｉ 一 卢ｌ ，
＝ ｌ
（ ２ ）
达到最小 ， 所得的估计记为 ． ＝ § Ｉ Ａ Ｄ ． 大量的研究表明Ｌ Ｄ 估计对数据中的异常点具有稳健性， Ａ 同时若误差项服
从 重尾 （ 厚尾 ） 分 布 或者 受 到了污 染 时 ， Ｌ Ｄ 估 计 比最小 二乘 估计 更加 有效 ． Ａ
尽管 Ｌ Ｄ 估计具有很好 的稳健性 ， Ａ 但其估计和推断的最大麻烦在于其 目 标 函数不是处处可微 ， 在数学 上 不易 处 理 ， 且 回归 系数估 计 没有显 示 表达 式 ， 需要 借 助线性 规划 方 法进行 计 算 ［ ． 文献［ ３ ］ 使用 了 Ｌ Ｄ 内 Ａ
摘
要： 在 实际数据 分 析 中 ， 收 集到 的数据 中可 能 受到“ 污染” ， 或 出现异 常 点 ， 或数 据 分布 具有 明显
的厚 尾特 征 ， 基 于最小 二 乘方 法进行 数据 分 析效 果 可 能很 差 ， 需要 寻找 稳健 的估 计 方 法 ． 最 小 一乘
估 计 亦称 为 中位数 估计 ， 是 一种 常 用的稳 健估 计 方 法之 一 ． 由于 最小一 乘估 计 的 目标 函数 可 以看作 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 分 布 的核 ， 且Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 分 布 可以 由正 态分布 和 指数分 布 混合 生成 ， 本 文基 于 Ｅ Ｍ 算 法提 出 了 最 小一 乘估 计 的新 方 法 ， 并给 出了详 细 的算 法 步骤 ． 通过 大量 的 数值 模 拟 和 实例 数 据分 析 ， 并 与其
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３一Ｏ ９ 一Ｏ 】 基金项 目： 江苏省 教育厅 自然科学基金（ １ ３ Ｋ Ｊ Ｂｌ １ ０ ０ ２ ４ ） ； 南 通大学杏林学院 自然科学牲 金（ ２ ０ １ ２ Ｋ１ ０ ８ ， ２ （ ｝ １ ２ １ （ １ １ ６ ） ．
作者简 介： 李泽安 （ １ ９ ７ ７ 一） ， 女， 江苏南通人 ， 讲师， 硕士 ， 主要研究方 向： 数据挖掘 ． 引用格式 ： 李泽安 ， 赵为华 ， 邱艳 ． 基于 Ｅ Ｍ 算法的最小一乘估计研究 ［ Ｊ ］ ． 安徽师范大学学报 ： 自然科学版 ， ： ｎ １ ３ ， ３ ６ （ ６ ） ： ５ ２ ５ — ５ ３ ０
点 算法 ， 文献 ［ ４ ］ 使 用 了 ＭＭ 算 法 ． 本 文 的 目的是基 于拉 普拉 斯分 布 的性质 和 Ｅ Ｍ 算 法寻 找 Ｌ Ａ Ｄ估计 的新方
法， 并采用模 拟分析和实际数据分析验证了新方法 的有效性 ．
． １ Ｌ ａｐ ｌ ａ ｃ ｅ 分布 如果随机变量 的概率密度函数为
他 已有 方 法相 比 ， 验 证 了新 方 法的有 效性 ． 关键词 ： 最 小一乘 ； Ｅ Ｍ 算法； Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 分布 中 图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ １ ２ ， Ｏ２ １ ２ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ １ —２ ４ ４ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ —０ ５ ２ ５ 一Ｏ ６
一
般 线 性 回归 模 型可表 示 为 Ｊ
Ｙ ＝ 卢＋￡ ， ｅ ～ （ ０ ， 盯 ） ， ｉ＝ １ ， Ｌ， ｎ， （ １ ）
其中 Ｙ 是响应变量 ， Ｘ ＝（ ｚ １ ， Ｌ， ） 丁 为 Ｐ维 自变量 ， 卢＝（ 卢 １ ， Ｌ， ） 为 Ｐ维 回归系数 ， ｅ ｌ ， Ｌ， ￡ 是均值为
０ ， 方差 为 的独 立 随机误 差 ．
对于线性 回归模型（ １ ） ， 我们最常用最／ １ ， －乘（ １ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｌ Ｅ Ｓ ） 估计 ， 因为其计算过程简单
且具 有 很 多优 良 质 ， 多年来 受 到普 遍欢 迎 ． 然而， 当数 据 在 收集 过 程 中受到 “ 污 染 ”或者 数 据 的分 布具 有 明 显 的厚 尾 特 征或 远 离正 态分 布 时 ， Ｌ Ｓ Ｅ表 现很差 ， 经 常 失效 ． 另外 ， 最 小二 乘对 响应 变量 中的 异 常点 较 敏感 ，
第３ ６卷 ６期 ２ ０ １ ３ 年１ １ 月
安 徽 师 范 大 学 学ｉ 报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
受其影响较大 ， 此时需要研究其它的稳 健估计方法 ， 最小一乘 （ Ｌ ｅ ａ ｓ ｔ Ａ ｂ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｅ Ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，Ｌ Ａ Ｄ ） 估计就是重 要 的稳 健 估 计 方法 之 一 ． 在 许 多应用 领域 中 ， 譬 如银 行 、 金融 、 证 券 的 风 险管理 和 投 资组 合 中 ， 出于 经济 利 益
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ ． ６
Ｎｏ ｖ ．２ ０１ ３
基于 Ｅ Ｍ 算 法 的 最 小 一 乘 估 计 研 究
李泽安 ， 赵 为华２ ， 邱
（ １ ． 南通大学 计算 机科 学与技术学院 ， 江苏 南通
艳２
２ ２ ６ ０ ０ ７ ）
２ ２ ６ ０ １ ９ ； ２ ． 南 通大 学 理学 院， 江苏 南通