小学奥数：轴对称类全等
1全等三角形及图形轴对称(一对一
师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？ 生：回答师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？ 生：回答师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。
一、认识三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
“三角形”可以用符号“Δ”表示。
2、三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。
3、三角形外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。
4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。
5、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
三角形的三条中线交于一点。
这个点是三角形的重心。
全等三角形及图形轴对称7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线交于一点。
8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。
三角形三条高所在直线交于一点。
9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。
直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于直角顶点。
钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部，三条高所在直线交于一点。
10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高。
小学奥数：轴对称类全等
与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A BOP【例1】 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=︒,证明：12AB BC CD AD ++≥.AB CDM【巩固】设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD +≥. M DCB A【例2】 如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD之长．例题精讲轴对称类全等问题CBAD【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，M E AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBA【例3】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.P DCBA【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.PCBA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC∆的各个内角．AB CD【巩固】如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=︒，60APC ∠=︒，试求ACB ∠的度数.。
轴对称与全等,与翻折与角分线定理
轴对称——角平分线、线段垂直平分线引言：学习轴对称，不仅是简单的为了会做轴对称图形、找出哪些是轴对称图形、利用轴对称构造最短距离等问题，而是要体会轴对称与全等密不可分的关系，初中证明题少不了全等和相似，因此，利用轴对称图形的特点，来补出某条线，是构造轴对称的重要辅助线，更是构造全等的好方法.一、基础知识1.线段垂直平分线：经过线段中点，并垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线（中垂线）三角形三条垂直平分线交于一点，到三角形三个顶点距离相等2.轴对称性质：（1）全等轴对称⇒；（可见利用构造轴对称，是构造全等的一个重要方法）（2）点连线段的垂直平分线对称轴是任何一对对应轴对称⇒3.线段垂直平分线、角平分线所构造出来的都是对称全等，提示了我们遇到角分线和中垂线如何做辅助线来构造出对称全等.（1）线段垂直平分线性质定理：判定定理：联系：对称点连线段被对称轴垂直平分——垂直平分性质——边等——全等——角等（2）角平分线性质定理：判定定理：三角形三条角平分线交于一点，到三角形三边距离相等几何模型辅助线口诀模型1角分线+平行线等腰三角形必呈现模型2角分线，垂两边对称全等必呈现模型3角分线，截一边对称全等必呈现模型4角分线+垂线对称全等必呈现延长一边全等现pNOMCMONC PpNOMCNOMCP1.在△ABC 中，点O 是BC 、AC 的中垂线交点，OB=5，AB=8，求△AOB 周长2.如图，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，若∠A=40°，且∠2=2∠1，则∠B= ，∠ACB=3.如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF=______4.如图Rt △ABC 中，∠C=90°沿过点B 的一条直线将△ABC 折叠，使点C 恰好落在AB 边中点处，则∠A=5.如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CAD ：∠BAD=1:7，则∠BAC 的度数是6.已知：如图，90BAC ∠=︒，AB AC =,BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥，垂足为E.求证：2BD CE =.7.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长为13，AC=9，求△ABC 的周长.8.如图，OP 是∠AOB 的平分线，OM 是∠AOP 的平分线，PN ⊥OA 交OA 于N ，交OM 于M ，MN 与MP 的大小关系 9.若∠MON=45°，其内部有一点P ，P 关于OM 的对称点是A ，关于ON 的对称点是B ，且OP=2,则AOB S ∆= 10.如图，△ABC 中，∠BAC=126°，DE 、FG 分别是AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG=11.如图△ABC 中AB=AC ，D 是AB 中点，且DE ⊥AB ，已知△BCE 的周长为8，AC-BC=2，求AB= ,BC=12.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，求证：BE+CF>EF13.如图，AD 为△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD.求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B14.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角 平分线交于点F ，求证：OE=OF15.如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD ，P 为AB 上任一点.求证：CP=DP16.如图，MN 是BC 边上的垂直平分线，射线AD 交MN 于点M ，交BC 于点D ，连接BM 若∠BAM=∠CAM ，求证：∠BAM+∠BMN=90°17.如图，△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C)，点E 在BC 的延长线上，且点D 恰好在线段CE的垂直平分线上，连接AE 交BD 于点F,交CD 于点G ．求证：∠EAD=∠ABDGF A BDMN F EDCBA18.（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交 于点F 。
全等、轴对称知识点归纳_共4页
全等三角形知识点归纳一、定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．二、性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高相等；（4）全等三角形的对应角的平分线相等；（5）全等三角形的对应边的中线相等；（6）全等三角形的周长相等；（7）全等三角形的面积相等．三、判定公理及推论：1、三组边分别相等的两个三角形全等（简称“SSS”或“边边边”)；2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“SAS”或“边角边”)；3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称“ASA”或“角边角”)；4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简称“AAS”或“角角边”)；5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称“HL”或“斜边，直角边”)；注：A是英文角的缩写（angle），S是英文边的缩写（side）．四、角平分线的定义：（1）角的平分线定义：如果以角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．（2）三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线．五、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．六、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．七、尺规作一个角的角平分线：（1）要点：三段弧；（2）依据：SSS．轴对称知识点归纳一、轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．二、轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．三、轴对称的性质：1、成轴对称的两个图形一定全等；2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．四、轴对称与轴对称图形的区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．五、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．六、轴对称作图：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．七、用坐标表示轴对称：（1）点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是（a，－b）；（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（－a，b）；（3）点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（－a，－b）．八、关于坐标轴夹角平分线对称：（1）点P（a，b）关于一、三象限夹角平分线对称的点的坐标是（b，a）；（2）点P（a，b）关于二、四象限夹角平分线对称的点的坐标是（－b，－a）．九、关于平行于坐标轴的直线对称：（3）点P（a，b）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－a，b）；（4）点P（a，b）关于直线y＝n对称的点的坐标是（a，2n－b）．十、等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．十一、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．十二、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“等角对等边”．十二、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．十三、等边三角形的性质：（1）边：三条边都相等；（2）角：三个角都相等，并且都等于60；（3）对称性：它是轴对称图形，有三条对称轴．十四、等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
【四升五】小学数学奥数第12讲：轴对称、平移与旋转-课件
例题三
（1）向（上）平移了（ 2 ）格 （2）向（左）平移了（ 4 ）格 （3）向（右）平移了（ 6 ）格。
练习三
画出房子向右平移5格，小船先向 下平移4格，再向左平移5格的图形。
例题四
做出三角形绕O点顺时针旋转90°的图形。
练习四
画出三角形绕B点逆时针旋转90°再 向下平移2格后的图形。
平移：把一个图形整体沿某条直线方向平行移动 一定距离的过程。（大小、方向不变）
旋转：把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆 时针方向转动一定的角度的过程。 （固定点、旋转方向、旋转角度）
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
B
A
O
例题五（选讲）
下列图形中不能由 得到的图形是哪个？
平移或者旋转
a
b
c
d
平移 不同图形 旋转 旋转 b不能通过旋转或平移得到的。
练习五（选讲）
画出下列图形绕O点逆时针旋转90°得到的图形，在 旁边写上颜色。
黑色
紫色
O
红色
黄色
总结
轴对称：一个图形沿着一条直线对折，对折后如果折 痕两边的部分完全重合，这个图形就是轴对 称图形。折痕所在的直线就叫做对称轴。
我在看国旗 呢，它们有 什么特点？
米德快看， 飞机！
轴对称、平移 与旋转
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
第7讲 全等与轴对称(一)
第七讲 全等与轴对称（一）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称. 如下图，ABC ∆是轴对称图形.两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴.A 和'A ,B 和'B ，C 和'C 是对称点.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形 两个图形轴对称区别图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条数 一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的 对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB =.线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； ⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．一 轴对称与轴对称图形的认识【例 1】 下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【巩固】（10年广东省）下列图形中是轴对称图形的是 （ ）【巩固】（10苏州）下列图形中，轴对称图形．．．．．的是【例 2】 （10湖南株洲）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【巩固】（2010泸州）下列各种图形不是轴对称图形的是（）【巩固】（2010吉林）下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【巩固】⑴（10湖南株洲）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．⑵（10山东烟台）下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）⑶（10年广东省）下列图形中是轴对称图形的是（）【例3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.【例4】(10黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【巩固】（2010北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形 B．等腰梯形C．正方形 D．平行四边形【巩固】（2010天津）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【例5】（2010四川）我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）【例6】（2010北京市海淀区）羊年话“羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）A．1； B．2； B．3； D．4【巩固】⑴(10山东省青岛市）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例7】（上海）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【巩固】（2010河北省）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）【巩固】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【巩固】⑴（10苏州）下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【例8】作出下图所示的图形的对称轴：【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【例 9】 求作线段AB 的垂直平分线BA【例10】 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N 。
全等三角形、轴对称复习专题
全等三⾓形、轴对称复习专题全等三⾓形、轴对称复习专题（⼀）知识要点1.全等三⾓形的概念：能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形。
理解：①全等三⾓形形状与⼤⼩完全相等，与位置⽆关；②⼀个三⾓形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三⾓形全等不因位置发⽣变化⽽改变。
2.全等三⾓形有哪些性质（1）全等三⾓形的对应边相等、对应⾓相等。
（理解：①长边对长边，短边对短边；最⼤⾓对最⼤⾓，最⼩⾓对最⼩⾓；②对应⾓的对边为对应边，对应边对的⾓为对应⾓）。
（2）全等三⾓形的周长相等、⾯积相等。
（3）全等三⾓形的对应边上的对应中线、⾓平分线、⾼线分别相等。
3.⾓的平分线：从⼀个⾓的顶点得出⼀条射线把这个⾓分成两个相等的⾓，称这条射线为这个⾓的平分线。
性质：⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等。
判定：⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上。
4.全等三⾓形找法（运动法寻找）翻折法：找到中⼼线经此翻折后能互相重合的两个三⾓形，易发现其对应元素旋转法：两个三⾓形绕某⼀定点旋转⼀定⾓度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三⾓形沿某⼀直线推移能重合时也可找到对应元素5.全等三⾓形的判定（证明⽅法）边边边：三边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“SSS”)边⾓边：两边和它们的夹⾓对应相等两个三⾓形全等（可简写成“SAS”）⾓边⾓:两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“ASA”)⾓⾓边:两⾓和其中⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“AAS”)斜边.直⾓边：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等（可简写成“HL”)⼩贴⼠：学习全等三⾓形应注意以下⼏个问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应⾓”与“对⾓”的不同含义；（2）表⽰两个三⾓形全等时，表⽰对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个⾓对应相等”或“有两边及其中⼀边的对⾓对应相等”的两个三⾓形不⼀定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共⾓” 、“公共边”、“对顶⾓”（5）截长补短法证三⾓形全等。
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与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，
A
B O
P
P
O
B A A B
O
P
【例1】 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=︒,证明：1
2
AB BC CD AD ++≥.
A
B C
D
M
【巩固】设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒
，求证：AB CD AD +≥. M D
C
B A
【例2】 如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD
之长．
例题精讲
轴对称类全等问题
C
B
A
D
【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，M E AD ⊥且交AC 的延长线于E ，
1
2
CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．
E
M
D
C
B
A
【例3】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.
P D
C
B
A
【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，
求CBP ∠的度数.
P
C
B
A
【例4】 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC
∆的各个内角．
A
B C
D
【巩固】如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=︒，60APC ∠=︒，试求ACB ∠
的度数.。